不用极限怎样讲微积分Word格式文档下载.docx

1、取M =2（|a| |b|），即知函数y=x2在a,b上差商有界.例1.2 求证函数yhjx在区间0 , 1上非差商有界，但对于任意的a0,它在a,上差商有界.证明 先用反证法证明其在区间0,1上非差商有界.若不 然，有正数M,使得对0 , 1上任意两点u 1.取 u =0,v 代人推出2W 1,矛盾.（图2）.4M 2而当a0时在a,垃上，由于 匚且=亠,可见它是差v-u Ju+Jv 2ja商有界的。几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的 斜率的绝对值有界，也就是不能太陡，多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的 闭区间上，总是差商有界的.两个差商有界函数的和，

2、积.以及复合 函数也是差商有界的，显然有定理1.2 如果函数F（x）在区间a , c上和区间c , b上都 是差商有界的，则它在区间a . b上也是差商有界的.反过来，若函 数F（x）在区间a , b上差商有界，则它在a , b的任意子区间上也 是差商有界的.差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”.练习计算函数的差 分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助.2换一个眼光看3个经典例子不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？例2.1用S=S（t）表示直线上运动物体在时刻t所走过的路 程，V二V（t）表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间u，v 上的平均速度的大小

3、，应当在u,v上的某两个时刻的瞬时速度之间.也就是说，有u , v上的p和q,使得下面的不等式成立：u -vV（p）乞 S（u）_S（v）乞 V（q） （2.1）上式可用语言表达为“函数S（t）的差商是v（t）的中间值”.要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某 两个时刻的瞬时速度之间”，但要提炼出不等式（2.1）并不容易.从直 观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼，例2.2 记函数y= F（x）的曲线上在点x处的切线的斜率为 k（x）.则过两点A=（u,F（u）和B=（v ,F（v）的割线的斜率，应当在u , v上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间（图 3）.图3

4、割践絆車在两切线無率之间k（p） J（U）_F（v）mk（q） （2.2）u v上式可用语言表达为“函数F（x）的差商是k（x）的中间值” 上面两个例子，在数学上是一回事.但从平均速度和瞬时速 度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值.例2.3 考虑a , b上的函数f（x）的曲线和x轴之间的面 积.若记a,b上曲边梯形面积为F（x）（如图4）,则u,v上这块面 积为F（v） -F（u）.如果把这块面积去高补低折合成长为 v-u的矩形, 则矩形的高应当在u,v上的某两个变量值对应的f（x）的值之间（图 5）./（X）O 工 $ Xf（pF（U）F（vf（q） （2.3）上式可用语

5、言表达为“函数F（x）的差商是f（x）的中间值”注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义.但从几何直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为 v-u的矩形后，矩形的上面3个例子中，都涉及两个函数，其中一个函数的差商是另一个函数的中间值，从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的基本问题：若f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？这个问题解决了，求作曲线切线的问题，求瞬时速度问题， 求曲边梯形面积问题就都解决了.牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极 限来解决这些问题：无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所 以长时期内使普通人困惑，普通人的平常的推理，只

6、能想到平常的不 等式（2.1） , （2.2）和（2.3）.对这些不等式，小学生都不会困惑。问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，能得到问题的答案吗？3用平常的推理寻求答案我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型：若函数 f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？为了方便，引入定义3. 1若在I的任意闭子区间u，v上，函数f（x）的差 商都是g（x）的中间值，则把f（x）叫做g（x）在I上的甲函数，把g（x） 叫做f（x）在I上的乙函数，显然有 定理3.1 若g（x）是f（x）在a，b上的乙函数，又是f（x）在b，c上的乙函数，贝卩g（x）是f（x）在a

7、，c上的乙函数，这是因为，对于任意的uvvvw,差商f（w） 一 f （u）总在f（w） f（u） w-u w-u和f（v）-f（u）之间的缘故.V -u学过一些微积分的读者心知肚明，f（x）的乙函数似乎就应当是f（x）的导数.但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？例3.1 函数g（x）=2x是f（x） = x2的乙函数.事实上，对任意uv, f（x）=x2的差商为f（V）- f （u） V2 - u2（3.1）u VV u V 一 u不等式 g（u）=2u u+V 0时，u2 uv v2显然在g （u） = 3u2和g（v） = 3v2之间；这表 明，在（一汽 O和O, +C0）上，

8、g（x）=3x2都是f（x）的乙函数.因 此在（一 , + 00 ）上函数g （x） = 3x2是f （x） = x3的乙函数，例3.3 对任意正整数n,函数g（x）= nx2是f（x）=xn的乙函数.推导类似于上例，从略.例3.4在（0 , +）上，函数g（x）=1_是f（x）=、,x的乙函数. 2品同样道理，对Ovuvv有f（V） f（u） _ _ 1 （33）v-u _卞丁右一 （）不等式g（v） 1 - 1 - 1 = g （u ）表明，g（x）是f（x）的乙函2 Jv Ju 2 Ju数.例3.5 在（0 , +）和（一, O上，函数g（x）二丄是f （x）=丄x x的乙函数.此时f

9、（v） - f （u） _ V_ = z! （3 4）:v-u v-u uv不等式g（u）二丄_二二g（v）表明，g（x）是f（x）的乙函数.u uv V例 3.6 在（一, + oo）上，函数 g（x）= cosx 是 f（x）= sinx的乙函数.只要对任意的整数 n,证明在牛，豊丄上函数g（x）=cosx是f（x）=si nx 的乙函数即可.注意当 0 ： h 时，有 sinhhtanh，从而 cosh ： $ ： 1 ；于2 h是对警，宁，斗上的任意两点uv,有:v _u v +usinv-sinu sin（）cos（-）另一方面，有2si n（匕土）cos匸巴）sinv-sinu 2

10、 2V-U “v+u、 cosu+cosv -cos（ ）cos（这表明，在宁,呼上COSX是sInx的乙函数.成立.例3.7在0宀）上，函数g 是f（x这个例子计算起来稍繁，但方法大体相同，对 ow uv,先计算出f（v）-f（u）（而）3 -（vu）3 u+v+vuvv-u （M2-（u）2（37）再根据ow u0时，（3.9）和（3.10）都非负，即g（u） D g（v）,说明在_?,：）上g（x）是f（x）的乙函数； 3当 3v+a 0 时，（3.9）和（3.10）都非正，即 g（v） A（或f（u）vA），则有 一个包含u的开区间，使对一切X - I都有f（x） A（或f（x）O使|

11、。冋|F（xo hF（xo）g）|_M|h|于是得|d 円 f（X。）-g（x）|定理4.3告诉我们，一个函数的乙函数中，至多只有一个是差商有界的，它就是导数.直观上看，它就是例2.1中要求的瞬时速 度，就是例2.2中要求的切线的斜率.5导数计算初步用强可导的定义来计算导数，和前面计算乙函数的方法相比各有千秋.但用于探索计算的法则，有时更方便，规律性更强.例5.1验证函数f（x）-x3在任意区间a , b上强可导，且（x3）=3x2解根据函数的差分计算结果得2 2 3 2 2| f（x h） - f （x）-3x h |=|3xh h |=|3x h|h _3（|a| |b|）h （5.1）取

12、M=3（|a|+|b|），由强可导定义，即得所要结论.例5.2验证函数F（x） J 土在任意不含0的闭区间a , b上X强可导，且（丄）丄-gX X解计算函数的差分得到11 h h h hF（x h） -F（xr 石-寸二 V （厂刁）2）移项，并且设 m=min|a|,|b|，则有取M = A，由强可导定义即得所要结论.m例5.3 验证函数G（x）-上在在任意不含0的闭区间a , b计算函数的差商和的差，得到2jxG（x h）-G（x） 1 h 2x=_1 L|y/x+h +yfx 2yfx （Jx +h _仮）2/x（Jx +h + 依）例5. 4 验证：（i）f（x）=ax+b 在任意区间I上强可导，且（ax b） （5.5）（ii） f（x）=xn （n为正整数）在任意区间a，b上强可导，且（xnf = nxn（5.6）解（i） 由于 |f（x+h） - f（x） - ah|=|a（x+h） - ax - ah|=02|F（x +h） - F（x） -f（x）h| Mh于是得 |cF（x +h） - cF（x） -cf（x）h| 0使（5.11）$F（x+h）_F（x）_f （x）h WMh”G（x+h） G（x） g（x）h| EMh.立| F（x h） G（x h） -（F（x） G（x） -（ f （x） g（x）h 卜 2Mh2 （5.12）这证明了所要结论（