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圆锥曲线的定点、定值和最值问题.doc

1、 总结方法比做题更重要!圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题本节目标:会处理动曲线(含直线)过定点的问题;会证明与曲线上动点有关的定值问题;会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法:在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,然后再进行一般性证明或计算,即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效。对满足一定条件曲线上两点连结所得直

2、线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线(曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决。解析几何的最值和范围问题,一般先根据条件列出所求目标的函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析 【举例1】 (广东改编)在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足()求得重心的轨迹方程;()的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由【举例2】已知椭圆

3、上的两个动点及定点 ,为椭圆的左焦点,且,成等差数列.求证:线段的垂直平分线经过一个定点;设点关于原点的对称点是,求的最小值及相应的点坐标.【举例3】(全国改编)已知抛物线的焦点为,、是抛物线上的两动点,且()过、两点分别作抛物线的切线(切线斜率分别为0.5xA,0.5xB),设其交点为。()证明为定值;()设的面积为,写出的表达式,并求的最小值问题4直线:和双曲线的左支交于、两点,直线过点和线段的中点,求在轴上的截距的取值范围. (四)课后作业: 已知椭圆()的右焦点为,过作直线与椭圆相交于、两点,若有,求椭圆离心率的取值范围.过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的弦、,求证:交抛物线的对称轴上

4、一定点. 如图,在双曲线的上支上有三点,它们与点的距离成等差数列.求的值;证明:线段的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.(六)走向高考: (重庆)已知椭圆的方程为,双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点.()求双曲线的方程;()若直线:与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点,且与的两个交点和满足(其中为原点),求的取值范围.(江西)是双曲线的右支上一点,分别是圆和上的点,则的最大值为 (重庆)如图,中心在原点的椭圆的右焦点为,右准线的方程为:.求椭圆的方程;在椭圆上任取三个不同点,使证明:为定值,并求此定值.(全国)已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,斜率为且

5、过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点,与共线。()求椭圆的离心率;()设为椭圆上任意一点,且,证明为定值.(全国)、四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线,与共线,且求四边形的面积的最小值和最大值(浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为,点、在双曲线的右支上,点到直线的距离为,若直线的斜率为,且, 求实数的取值范围;当时,的内心恰好是点,求此双曲线的方程.(重庆文)如图,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于、两点.求抛物线的焦点的坐标及准线的方程;若为锐角,作线段的垂直平分线交轴于点,证明:为定值,并求此定值.(山东)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为()求椭圆的标准方程;()若直线:与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标(上海)已知双曲线,为上的任意点。(1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点的坐标为,求的最小值;(安徽文)设椭圆其相应于焦点的准线方程为.()求椭圆的方程;()已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点,求证: ; ()过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值【圆锥曲线的定点、定值和最值问题】 | 11

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