大连理工大学《矩阵与数值分析》2007年真题答案.doc

1、大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页装 订 线一二三四五六七八九十总分标准分4281515155/100得 分 一、填空（每一空2分，共42分）1为了减少运算次数，应将表达式.改写为；2给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为，用Simpson公式求得的近似值为。1 设函数，若当时，满足，则其可表示为。4已知,则 6 , 0 ，逼近的Newton插值多项式为。5用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。6已知，则的Jor

2、dan标准型是或；7设是阶正规矩阵，则；8求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为：。9设12为的近似值，且，则至少有 5 位有效数字；10将，化为的Householder矩阵为：；11；12用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。13若为Newton-Cotes 求积公式，则，若为Gauss型求积公式，则。14设，则在Schur分解中，可取为或。15设，则, 。二、（8分）已知近似值，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。 解：由已知，；。令，由函数运算的误差估计式+从而，相对误差可写成三、（15分）设线性方程组：（1）列

3、主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出（要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gau

4、ss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和 #四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。解：（1）注意，从而 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：。（2）令，得，满足根条件；又方法阶，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题：(), 取而要使得 的充要条件为：而 自然成立。现在再由 得由 ，可推出，即。#五、（15分）（1） 用Schi

5、midt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，; （2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式；（3） 利用2)的结果求出的数值解。解：由，即应构造具有3个Gauss点的求积公式。首先构造3次正交多项式，令+ ；令即得，得，取，令 即得到方程组：，解之，得，从而具有5次代数精度Gauss求积公式（2），则有六、证明题（5分）任选一题1设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。（1）由题意，可知矩阵奇异。故奇异。反证法，若存在某种范数，使得，则，则可知非奇异，与条件矛盾。 （2）由于有非零解，故对，取与向量的范数相容的矩阵范数，则由得 。#2 已知，求出，证明 收敛。证明, ，由于，而级数和均收敛，有矩阵级数收敛定义可知，收敛。 -7-