专题二新课程理念下空间与图形教学的研讨 第二讲新课程理念下空间与图形的教学研讨.docx

1、专题二新课程理念下空间与图形教学的研讨 第二讲新课程理念下空间与图形的教学研讨专题二：新课程理念下空间与图形教学的研讨 第二讲：新课程理念下“空间与图形”的教学研讨 第二讲新课程理念下“空间与图形”的教学研讨主讲人：张 丹：北京教育学院数学系孙京红：北京市海淀区教师进修学校数学教研员孙雪林：北京大学附属小学数学教学主任王雪峰：北京大学附属小学数学教师慈 艳：北京中关村第四小学数学教师第二场 观点分享经过上面对一些案例及问题的研讨，我想很多老师都有了自己的思考。那么，下面，我们对有关空间与图形的教学提出自己的想法，主要分图形的认识、图形与位置、图形与变换以及图形的测量，最

2、后是空间观念，与大家展开一个进一步的交流。需要强调的是，这些观点是这个项目组集体讨论的结果，是有着我们自己的思考的。当然，肯定还有一些不成熟的地方，但求能引起大家更多的讨论。一、图形的认识在这部分中，有两个内容跟大家交流，一个是图形的认识整个内容呈现的线索；第二就是提出一些教学上的建议。1内容呈现的主要线索（1）从立体到平面再到立体为什么新课程提倡先认识立体，再认识平面，反过来再去认识立体：首先从孩子的认知规律这个角度进行考虑，在孩子的现实生活当中，他们首先接触到的应该是立体的，比如说他们的铅笔盒，比如说他们每天看到的黑板、桌椅这些都是立体的。而平面图形是附着在立体上的。学生的数学学习自然要遵

3、循孩子的认知规律，体现从整体到局部再到整体的过程。再有从立体到平面再到立体，如果我们再把它细化，应该是从立体到平面到基本元素，之后再到平面、再到立体，而前后的两个平面，两个立体是有着区别的。开始学生们是从直观上来认识立体图形和平面图形的，而后来则要尝试把握这些平面图形和立体图形的特征。举一个例子，就像我们去看一个人，你首先是对他一个整体的认识，然后你才会去关注这个人的眉毛、鼻子、眼睛；反过来当你关注了眉毛、鼻子、眼睛以后，你再去整体认识这个人，你就会有一个更新的认识。还有一个原因，新课程强调空间观念，空间观念其中有一个重要的方面：就是三维和二维的转化，即从立体转换到平面，反过来由平面再转换到立

4、体。对于这一点，当然可以通过观察物体这样的素材来体现，但是在学生的学习过程中，也可以体现这样一个过程：从立体图形中找到平面图形，从平面图形中去还原立体图形。我们再去回顾一下前面讨论过的第一个案例，就是一年级直观认识平面图形的两个教学过程。根据上面的讨论，过程1给了学生比较充分地操作和探索空间，使学生感受从立体到平面的过程，从这一点来说，过程1还是非常有价值的。（2）从生活中抽象出图形到应用于生活第二个线索就是从生活中抽象出图形，然后学习了图形及其特征以后，再应用于生活的过程。我们再去回顾一下前面讨论过的第一个案例的过程2，就体现了这一过程，这一点也是非常具有价值的。有的老师可能会说，你们到底喜

5、欢过程1啊，还是喜欢过程2，其实，这个没有什么定论，关键是这节课教师所确定的目标是什么。有的老师认为两个过程都很好，那么就需要单元备课的思想，这两个过程不是一节课就能完成的。还想强调的是，现在老师都比较重视从生活中抽象出图形的过程，但是反过来将图形及其特征应用到生活中去，教师似乎挖掘的比较少。这就需要教师们和学生们共同思考，学习了长方形、正方形、三角形等的特征以后，在生活中能不能运用这些特征。举一个中学的例子，希望能给大家一些启发。案例1当一个建筑工人为一个修理厂建造长方体底座时，要判断底座表面的形状是否为长方形形。你能为他设计一种判断的方法吗？如果他只有一圈皮尺，能否完成这个任务？当学生在尝

6、试解决这个实际问题时，他们需要将所学的有关图形特征充分利用起来，这不仅促进了对这些特征的理解，并且发展了学生解决问题的能力。学生可以探索出不同的方法。在只有皮尺的情况下，可以量出底座表面所有边长及对角线的长度，由此进行判断（如图1）；也可以量出底座表面的某些长度，再利用勾股定理的逆定理来判断直角（如图2)当然上面的例子不能应用在小学，只是提供一个例子希望教师们重视应用图形特征的过程。（3）从直观辨认到探索特征（边、角、对称性……）第三条线索就要从直观辨认到探索特征。比如一年级直观辨认长方形等平面图形，到一定年级后，需要继续探索这些图形的特征。图形的特征既包括边的特征、角

7、的特征，另外就是图形的对称性的特征。图形的对称性是非常重要的，这一点可能以前没有受到重视。举一个例子，对于长方形的特征，我们不仅要探索它的边是否相等、角是否为直角，还应关注长方形的轴对称性。这里向大家介绍已经得到比较广泛公认的，荷兰范·希尔夫妇的几何思维水平，当然这个研究主要针对的是平面图形的认识：水平1：直观化水平2：描述/分析水平3：抽象/关联水平4：演绎/形式化推理水平5：严密/元数学从这几个水平可以看出，按照范·希尔夫妇的理论，学生通过思维水平的进步，从一个直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。这实际上也说明了从直观辨认到探索特征是符合儿童的认知规

8、律的。进一步，小学阶段对于平面图形的学习，显然主要是上面的第一、二、三水平，而第四、五水平呢，应该是初中、高中，甚至大学学习应达到的。我们前面也提过这样的一个问题，就小学几何和中学几何，它们之间还是有不同的。虽然到了中学还要学三角形内角和，还要学三角形两边之和大于第三边，包括基本图形的基本特征都要重新学，但是那时候呢就需要从一些公认的前提出发去证明它们。而学生对于三角形内角和为180度等特征的一个直观认识，或者对其证明过程的直观积淀，就需要在小学的时候完成。比如，对于三角形内角和，小学阶段学生把角撕下拼在一起，或者折一下，这些为中学的添辅助线奠定了直观经验。所以，老师们千万不要认为，学习一个重

9、要知识一下子就可以学完，或者说小学管小学的、中学管中学的，而需要以一个整体的观点看所教学的内容。有关范·希尔夫妇的几何思维水平和教学阶段，感兴趣的老师可以进一步参看拓展资源1。（4）从直线到圆在这个过程中，会有一些思想方法上的变化，到了图形的测量中再详细阐述。（5）基本上是从静态到动态对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识，这是跟过去相比比较加强的。比如对角的认识，曾经有一个老师举过学生的一个常见错误：低年级学生老有一种混淆，认为角的大小与画出的角的两条边的长短有关。其实，这对于低年级学生也是正常的，如果从静态上去观察一个角，孩子比较容易关注

10、它的明显因素两条边，而相对不是那么明显的“角的张口的大小”，学生不容易观察到。如果这时候呢，教师鼓励学生动态地去认识角，比如利用活动角不断张开，学生会慢慢关注角的张口，事实上，利用图形的运动（变换）来认识图形，是一个将静态认识与动态认识相结合的途径。关于这一点，我们将在图形的变换中再提及。2教学的主要建议（1）重视图形分类的价值图形分类不仅仅在数学中是非常重要的，而且通过分类活动，学生可以不断体会图形的特征。因此，在图形的认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。以前，教师往往会在图形学习完以后，在复习整理阶段进行图形分类的活动，当然这还是非常重要的。实际上，在图形性质探

11、索的初始阶段，也可以安排图形分类的活动，鼓励学生在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等的特征。对此，我们的一位老师作了有益的尝试，感兴趣的老师请参见拓展资源2。下面再提供一个低年级渗透图形分类的教学案例：准备下面的一些物品或类似的东西：一个橘子、一条肥皂、一罐牛奶、一顶生日帽、一个楔子。引导学生借助操作思考下面的问题： 哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？哪些是平的，哪些是曲的？哪些有直的边？哪些有曲的边？哪些面是方形的？哪些面是三角的？哪些面是圆的？哪些有点或角？哪些没有？总结一下，教学中，教师可以从以下几个方面引导学生对图形进行分类：第一，将图形分成平面的和立体的；第二，将平面图

12、形分成直的和曲的；第三，将多边形按照边、角等图形的特征进行分类。（2）重视在运动中认识图形特别希望老师们能鼓励学生把静态和动态结合起来，鼓励学生在运动变化中，去观察认识图形及其特征。老师们也有这个感觉，有的图形按照标准位置放，学生们就能认出来，换一个角度学生就不认识了。教学中，教师就可以将图形转一转、移一移、翻一翻，使图形动起来，帮助学生认识图形变化中不变的特征。这部分内容还将在图形与变换中进一步涉及。（3）重视从复杂图形中辨别基本图形鼓励学生能够从复杂图形中辨别一些基本图形，发展识图能力。比如对于长方体直观图中长宽高的辨认，学生往往存在着困难，这里有一个教师的好的做法。他首先画一个长方体的直

13、观图，然后问学生说：擦掉一条边，你们能不能把这个长方体还原。逐步的擦去长方体的某些边，只剩下了这个长方体的长宽高时，学生发现不能再擦了，再擦就还原不回原来的长方体了。于是，在这个过程当中，学生不但感受了长方体的特征，同时加深理解了长宽高。（4）恰当的运用标准图形和变式图形对于这一点，老师们都有了很好的做法，这里就不赘述了。（5）重视观察、操作、想象、推理、表达之间的结合在图形的认识和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学几何跟中学几何学习的一个区别。这些活动呢，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。当然，还包括一些非常简单的

14、推理，以及对图形及其特征的表达。教学中非常重要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机的结合，既认识到它们各自的价值，又能在一些活动中把它们结合起来。我们来举个例子，比如说对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想：它的两个对边相等……。在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，教师还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。这里需要强调的是学生动手操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建造模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身感受，这不仅为正式地学习图形的性质奠定了基础，同时积累了数学活动经验，发展了空间观念

15、。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。总结一下，操作的价值主要体现在以下几个方面：第一，操作是探索图形性质的有效手段。第二，操作可以对通过观察等得到的猜想进行验证。第三，操作可以加深对图形及其性质的理解。比如将长方形对折，发现长方形对边相等，实际上学生也进一步体会长方形的轴对称性；又如，画的活动非常有助于学生在头脑中建立图形的表象。在动手操作中，也不要忽视推理的价值。虽然小学阶段不要求学生进行严格的证明，但是不代表孩子没有推理的意识。而且推理还能够帮助我们解决操作中出现的误差。比如前面讨论过的“两边之和大于第三边”教学中，由于操

16、作中的误差，造成了当两边之和等于第三边时，学生“拼出”了三角形。面对这一情况，最好的解决方法是借助一些推理。其实，学生也有这个意识，比如有的学生说得非常的形象：4+5=9，9与9都平行（重合）了，拼不成了。有的学生可能会根据“两点之间线段最短”来说明等于的时候是拼不成的（三角形三边关系的课堂实录见拓展资源3）。关于这个问题，我曾经请教过王尚志教授，他是一个数学专业工作者，也是课程标准的制订者，他就提到了“两点之间线段最短”，这实际上也是一个非常重要的公理，进一步，他提供了一个如何教学“两边之和大于第三边R

17、21;的思路，供大家思考：首先通过具体情境使学生认识到“两点之间线段最短”，然后画出两个点，两点之间画一条线段和若干条折线。实际上，折线与两点之间的线段就形成了一个一个的三角形。接着鼓励学生思考，如果把它们看成一个一个的三角形的话，你能发现什么，即“两边之和大于第三边”。还想在这里强调的是，教师还要注意鼓励学生在操作中积极思考，否则缺乏思考的盲目操作会造成操作的无效性。为了说明问题，下面介绍一个老师设计的三角形内角和的练习活动：老师撕了4个不同的三角形,分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和不等边三角形，得到了12个角，分别为60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。这四个三角形每个角分别是多少度？在解决这个问题的过程中，学生不仅要应用“三角形内角和是180度”的结论，并且学生要思考从何下手比较合适。（6）注重图形之间的联系教师还应重视在图形及其性质之间建立联系。学生学习的时候是分散的，这就需要老师以适当的形式把分散的内容串起来。下面的两张表是周玉仁教授提供的有关图形性质的两个表：表1 边角正方形四边相等四角都是直角长方形对边相等四角都是直角平行四边形两组对边分别平行对角相等梯形只有一组对边平行