全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析.doc

1、中国人口增长预测与控制摘要近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点， 建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测

2、，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。对于问题二，采用所建模型对090岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007

3、年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图26-30)，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在

4、短期预测时准确度稍差。关键词：人口控制 差分模型 预测 拟和 Leslie模型 Logistic方程一、 问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长

5、的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；还 要指出你们模型中的优点与不足之处。二、 问题分析为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。其次

6、，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic模型和Leslie模型进行求解并与本文模型进行比较。三、问题的假设假设一 每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移假设二 本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率假设三 生育妇女一年只生一胎假设四 九十岁以上的人口变化对总人口变化影响

7、不大，因此不予以考虑假设五 人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城假设六 国际迁入迁出对于人口的影响较小四、 符号说明第年初年龄为的总人数第年末年龄为的人的死亡率第年末平均每个育龄女性的生育数生育加权因子（即生育模式） 第年末生育性别比第年末迁移人口比例老龄化程度城镇化程度性别比五、 模型建立与求解5.1中国人口增长的影响因素分析人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化。其中，人口性别结构、年龄结构的变化影响人口增长量及增长速度。为了建立中国人口增长的数学模型，并进行预测，首先须考虑人口变化的影响因素。其中，老龄化、城镇化、性别比的增高等中国人口变化的特点须给与考虑。当前各地区的人口

8、总数和人口比例、人口年龄结构决定以后的人口总数和人口比例、人口年龄结构。人口总数和人口比例、人口年龄结构表现为老龄化程度、城镇化程度和性别比。其变化情况由出生率、死亡率、迁移率决定。国家政策影响出生率、死亡率、迁移率。5.2中国人口增长总模型将男、女人口，城、镇、村的人口分开考虑，得到六个子对象，如图2所示：总人口男性人口女性人口城市男性人口城镇男性人口农村男性人口城市女性人口城镇女性人口农村女性人口图2以下建立适用于各个子对象的通用模型。男、女性分别用下标，表示；城、镇、村分别用下标表示。将第年初的人口分为在第年末出生的人口与第年末未死亡未迁出的非新生人口两类，即：设有年龄结构向量：其中，为

9、第年初年龄为的该类地区人数4.1.1求第年末出生的人口数设为第年末年龄为的人的死亡率，表示各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布（即生育模式），为第年末平均每个育龄女性的生育数，可以得到：第年末年龄为的妇女人数为第年末年龄为的妇女生下的婴儿数量为另外，设为第年末生育性别比，则有：第年末年龄为的妇女生下的男婴数量为第年末年龄为的妇女生下的女婴数量为表示为矩阵形式可得：第年末出生的男婴数量为第年末出生的女婴数量为5.1.2求第年末未死亡未迁出的非新生人口数设从农村到城镇迁移率、从农村到城市迁移率分别为则第年末未死亡未迁出的非新生人口数可表示为：对农村人口对城镇人口，未死亡未迁出的非新生人口包括城镇

10、原来的剩下人口加上从农村迁移至城镇的人口：同理得，对于城市人口：5.3各影响因素模型5.3.1死亡率模型记死亡率（1）年龄对死亡率的影响众所周知，在同一时期的人口中，少年儿童的死亡率随年龄增长而下降，中青年人的死亡率变化较平稳，老年人的死亡率随年龄增长快速升高；总体来说，死亡率-年龄曲线为一“U”字型。因此，考虑利用模型（文献11）通过数据拟合对死亡率随年龄增长的变化进行描述：其中，为年龄为的人的死亡率，和为参数，通过数据拟合得到。对于城市、乡镇拟合曲线大致如图3所示（不考虑90岁以上的人口）死亡率图3通过对上面图形分析可知：1 死亡率大致与年龄反相关，这说明中国的城镇医疗发展水平以已经较高，

11、儿童的成活率比较高。2 随着年龄的增加，死亡率明显增大，而且增大的趋势明显。对于乡村死亡率，变化图形如图4所示：图4通过图4分析可知：1. 小于10岁的人口死亡率比较高，整个趋势大体为U字型。这说明乡村的医疗等水平比较低，严重影响了儿童的成活率，因此对于乡村来说，提高医疗水平是非常重要的。2. 随着年龄的增长，死亡率逐渐增加。通过上面拟合可以得到市，镇，乡0岁到90岁死亡率的离散化数据。用于后面人口的预测。（2）时间对的影响a. 中短期内，随时间的变化速度改变不大，我们采用线性回归的方法，得出如下结果：对于城市男性： 对于城市女性：对于城镇男性： 对于城镇女性：对于农村男性： 对于农村女性：各

12、方程均通过显著性检验。回归情况如图5：时间死亡率图5可见，短期内农村和城镇的死亡率在增加，主要原因是农村和城镇的老龄化程度不断加深，以及从农村迁出的中青年人口增多。b. 长期内， 由于不断降低，最终将会趋于一个理想值，我们利用SIS模型对其进行描述，体现制约与控制因素。有：，其中，为参数，的终值为改变和对终值的影响如图6：死亡率时间死亡率时间图6其中： 城、镇、村不同初值的影响如图7所示：图7其中： 4.3.2出生人口模型出生人口的影响因素如图8所示：出生人口男女性别比生育性别比平均生育数生育模式生育数图8生育人数对年龄符合一定的概率分布，每个年龄段的生育率归结为总和生育率与生育概率的乘积。这

13、样对于生育率的预测，归结为总和生育率的预测上。以下分别讨论各个子模型。4.3.2.1生育模式模型记为各年龄生育的女性占总生育女性的概率分布，即生育模式（生育加权因子）。由于生育模式主要受生理因素影响，假设其不随时间变化。考虑到生育的女性中中青年人口占较大比例的特点，我们设不同年龄女性的生育加权因子满足分布：， 数据的选取，在模型中用到附录中的数据。用附录中的数据进行分析,初步发现2003年的数据与其余数据相差较大：我们选用更权威的数据。两组数据的对照表所示：统计年鉴数据附表三中数据23.831.8639.793.7360.566.1895.778.94117.7811.37123.8511.5

14、1123.6610.65108.129.9186.547.5366.385.5749.394.5136.773.29因此我们采用统计年鉴的数据来代替附表三中的数据。通过对数据进行拟合得到：a. 对城市：=19.86，=1.232拟合情况见图9年龄 生育加权因子图9b. 对城镇：=19.213，=1.011拟合情况见图10年龄 生育加权因子图10c. 对农村：=24.023，=0.932拟合情况见图11年龄 生育加权因子图11从结果可知，对于三类地区，用此模型得到的从23岁到28岁的生育模式比较准确。由于这一年龄段时生育高峰期，其他年龄段的生育模式微小变化对总人口的变化影响较小，所以用Gamma

15、分布描述生育模式随年龄的分布是合理的。另外，受当前农村人口文化、经济条件影响，早生现象存在，这一点从对农村生育模式的拟合情况图也可以看出来。但是，由于将来农村的发展，早生现象必会慢慢消除。因此用此模型对农村地区作长期预测将会得到更准确的结果。4.3.2.2平均生育数模型记平均生育数通过分析数据，我们发现从2001年到2005年平均生育数上下波动，但总体来说有所减小。（1）中短期内，采用如下线性回归方程：根据各年平均生育数数据，利用软件SAS得到如下结果： 对城市人口：对城镇人口：对乡村人口：三方程均通过显著性检验。回归情况如图12。时间平均生育数图12（2）长期内，平均生育数下降必将趋近一个定

16、值。我们采用SIS模型：，终值为改变终值可以体现国家政策影响的力度，如下对此做出分析：a. 初值相同，终值设定不同的情况：曲线一0.50.350.00035曲线二0.50.400.00035曲线三0.50.400.00035曲线比较如图13时间平均生育数图13b. 城、镇、乡初值不同的影响：参数选择为：如图14，初值不同不影响终值。平均生育数图144.3.2.3生育性别比模型记生育性别比由于中国当前对女性的歧视，许多女婴不能正常出生或存活。但由于社会的进步，必会下降。a. 在中短期内，农村生育性别比降低趋势较为明显，城镇生育性别比在一定值周围上下波动。简单起见，我们采用如下线性回归方程：其中为

17、初始时刻生育性别比，为表示其变化快慢的系数。利用SAS软件得到如下结果：城市城镇乡村116.8117.4111.10.43570.084270.1051方程通过显著性检验。b. 在长期内，生育性别比不断上升，最后必将趋近1。我们采用SI模型来描述生育性别比：，其中，为参数。曲线斜率最大点在处，因此在初值一定的情况下，控制的值就可以控制生育性别比变化的快慢。4.3.3迁移模型记迁移率、分别是从村到镇、从村到城的迁移率。分别为城、镇、乡外来人口比重。在中国经济快速发展的一个很长的时期内，国内人口迁移主要是从乡到镇、从乡到城，因此只考虑这两种迁移。假设迁移率没有性别差异。从数据得出迁移率的性别区别不

18、明显，而且随着迁出的人在城镇的工作多元化，迁移率的性别区别将会减小。（1） 时间的影响：迁移率长期发展情况将是先增大后减小。这是由于当前城镇发展速度高于农村，所以中短期内迁移率将增加；但是，经济发展最终将消灭城乡差别，外来人口比重最终将变为零。a. 中短期内，外来人口比重变化速率改变不大，假设其随时间线性增加，通过线性回归得到如下结果：三个线性回归方程均通过显著性检验。b.长期内，城镇的外来人口比重减小并最终趋于零，我们采用SIS模型描述其变化：， 且由附录数据计算出城、镇的外来人口比例初值及变化趋势，求得其随时间的长期变化曲线如图15：时间外来人口比重图15其中，绿线为转移到城市的比例，红线

19、为转移到镇的比例。（2）年龄的影响：对数据的初步分析可以得知：青年和中年人口迁移率比幼年和老年人口迁移率高得多；迁移率在25岁到30岁间达到峰值；迁移率的变化率随青少年的年龄增长不断增高，遂老年人的年龄增长不断降低。所以，我们考虑用Gamma分布来描述迁移率随年龄增长的变化：， 其中，为参数。下面通过数据拟合确定，。a. 对于从村到城的迁移率：拟合得到：= 2.73=2.21拟合情况如图16图16b. 对于从村到城的迁移率：拟合得到：= 13.03=2.414拟合情况如图17图17可见，用离散化的Gamma分布来描述迁移率随年龄增长的变化结果非常准确。4.4中国人口增长的特点4.4.1 老龄化

20、程度题目附录一指出，60岁以上的人属于老年人。设第t年末中国老年人总数为，则老龄化程度描述老年人口在总人口中的比例，所以老龄化程度表示为其中，为第t 年末全国的总人口数。4.4.2 性别比第t年末的公民性别比为男性公民总人数与女性公民总人数之比，可表示为其中、分别为第t年末男性公民、女性公民总人数。4.4.3 城镇化程度第t年末城镇化程度体现出此时城镇人口与乡村人口之比，可表示为：其中，分别为第t年末城、镇、乡人口总数。4.5中国人口增长的中短期预测通过对上面影响因素模型的求解，我们得到各个参数及其变化规律将上面的参数带入模型求解，首先通过01-04年的数据05年的数据进行检测，得到图18中比

21、较曲线：图18（横坐标表示年龄，纵坐标表示各年龄段人数占总人数的比例）通过对此图分析可以知道：1 除少数比较不规则的点外，在整个年龄上，预测得数据与实际数据吻合的比较好。1-8岁阶段，实际预测的数之比实际数值稍小，假设实际数据准确，那么可能时我们对生育率的把握不够准确，体现在参数上，可能是1-8岁的概率分布并不能和实际某一年的数据完全吻合，但在允许变动的范围内，本文的模型还是较好的进行了预测。8-30岁阶段，预测不是非常吻合。这可能体现在概率分布的问题上，也可能体现在迁移率上。30-50岁阶段较好的吻合，而且还表现了一个人口高峰期。50-90岁阶段实际数值比预测数值稍小，可能是死亡率预测的问题

22、。2 预测数据成功的预测了三个人口高峰期，说明，模型能够较好的反映年龄结构的变化，随着时间的变化，此模型的预测峰值还会变化。3 模型比较健壮，能够较好的反映在整个年龄上的分布。在模型中我们引入了三个概率密度，这三个密度总和起来使得模型比较强壮，对于预测问题有较好的稳定性。通过上面的分析，发现模型比较适于预测，而且准确度比较高，下面我们用01-05年的数据进行短期预测。4.4.1 对总人口增长的预测通过模型的求解得到结果如图19图19由此可知：在2006-2007年期间，人口增长比较平缓，每年平均增加500万人，虽然总和生育率小于更替水平。但由于人口基数巨大，使得总人口仍然在增加。在2010年人

23、口大体达到13亿3千万人左右。国家的发展计划是将人口控制在13亿6千万以内，因此反映了我们的模型较好的进行了预测。下面我们对每个年龄段的数据进行分析，得到图20：图20（横坐标表示人数，纵坐标表示年龄）由图20得知：1. 对于年龄在小于18岁的人，人口数目逐年减小，这说明，人口的总和生育率在一定时期内发挥了作用，大约在30年前开始计划生育，这可以体现出计划生育政策对控制小孩的出生发挥了作用，但有一定的延时。2. 对于年龄在18岁以上的人，随时间的增加越来越多，这说明计划生育之前那部分人对中国人口的增长产生了剧烈的冲击。3. 在曲线上有三个高峰，19岁左右，41岁左右，64岁左右，这三个高峰期的

24、存在，使得人口的变化很不规律。一个高峰期的来临可能直接影响到人口的变化。4. 曲线的高峰在逐渐的变化，人口结构正在向老龄化迈进。5. 新出生的婴儿在总人口中的比例有增加的趋势，很有可能是婴儿的父母是处于生育高峰。（19831989是一个生育高峰）4.4.2 对老龄化程度的预测分别对农村城镇，城市的老年人数进行统计可以得到图21图21（横坐标表示年份，纵坐标表示老年比例）通过对上表的数据进行分析得到如下结论：1 从总体上来讲，老龄化程度将在07到08年中期这段时间有较快的提高，在08年中期后保持相对的稳定。2 提高最快的是农村女性老龄化程度，较快的是农村男性老龄化程度。这主要是由于乡村向外迁移人

25、口多且多为男性，3 城镇男、女性老龄化程度都将在08年中期后有微小降低，在此之前变化不明显。4.4.3 对性别比变化的预测总趋势体现在图22中：图22通过对上面图形的分析知道：1总的性别比例的变化在短期内没有特别的规律，且变化不大。这可以解释为，虽然出生人口的性别比例比较不均衡，但由于男士的死亡率相对较高等原因，使得社会上总的人口比例基本上为1:1。2在基本恒定的同时，也产生小小的波动，可以理解为随机现象。对每个年龄段的性别比例进行分析，得到图23：图23总坐标表示各年龄的人占总人数的比例。通过对上图进行分析，可以知道：1对于年龄小于22岁的人，男性比例大于女性比例，体现出生育性别比较高。2随

26、着年龄的增长，这种比例在减小，到了50岁以上，女性的比例大于男性的比例，体现出中年后女性死亡率低于男性。3控制男女比例对于稳定社会发展有重要作用。4.4.4 对城镇化的预测分别对城市，城镇，农村人口的比例进行统计，得到如图24：图24曲线1：镇人口比例曲线2：市人口比例曲线3：村人口比例通过上面图形可以得到以下结论：1城镇和城市人口在不断增加。2农村人口由于向城镇和城市的迁移，在不断减小。3农村迁往城市和农村迁往城镇的速度不同，大致为线性关系。对各个年龄段的人口比例进行统计，得到图25：图25通过对上图分析可得，1农村人口比较多，城镇次之，再次为城市，这也体现了现有的城镇化发展情况，中国的城镇

27、化发展情况比较低。2农村的人口结构大致为增长型，可以解释为，农村的总和出生率比较高，对于小孩比例的增加起作用。3城镇，城市的人口结构大致为稳定型，可依据解释为总和出生率不高，且很多成年人会搬到城镇和城市去。4.6中国人口增长的长期预测对人口增长的长期预测必须考虑政策的影响。国家可以采取的政策下：计划生育方面：加强，保持，放松。加强计划生育力度：降低育龄妇女的总和生育率；由于中国传统观念的影响，新生婴儿的性别比失衡会进一步加剧；新生婴儿进一步减少，使老龄人口比重加大，我国将提前进入老龄社会。保持计划生育力度：育龄妇女的总和生育率维持不变；新生婴儿的性别比将基本维持不变。放松计划生育力度，增加育龄

28、妇女的总和生育率；由现在新生婴儿性别比的失衡向平衡发展；新生婴儿增加，降低老龄人口比重，延缓我国老龄化进程。以下分别考虑五种政策对人口增长长期形势的影响。政策1：国家保持现有政策不变化；政策2：国家加强计划生育工作的力度，限制城市化进程；政策3：国家放松计划生育工作的力度，限制城市化进程；政策4：国家放松计划生育工作的力度，保持城市化进程；政策5：国家放松计划生育工作的力度，严格限制城市化进程；图26是我国在不同政策下25内总人口数量，国家的政策对总人口的发展趋势有很大的影响。其中政策1是保持现有政策不变，17年后达到峰值，并基本稳定在13.7亿附近。比较各政策下总人口趋势，发现计划生育对总人

29、口趋势影响很大，例如政策5情况下，人口在15年内快速攀升到峰值，达到14.8亿。而政策2情况下，人口增长缓慢，峰值只有13.5亿。图26（纵坐标是未来25年的人口数量（单位：百人），横坐标是时间）图27是我国在不同政策情况下25年内城镇化速度的趋势，可见国家政策对城镇化进程的控制是相当有效的，例如政策5，减缓了城市基础设施的压力。我国的城市化速度很快，在25年后会达到一个很高的水平。图27（纵坐标是未来25年的城市化比例，横坐标是时间）综合比较图26和图27，发现一个有趣的现象，延缓城市化进程会降低人口总量，例如图26中的政策5后半段以及政策2。这符合本文所构建的模型，因为城乡死亡率不同，一般

30、来说，乡村高于城市，所以出现上述现象不足为奇，反而说明了模型的合理性。图28是我国在不同政策情况下25年内人口老龄化的趋势，我国人口的总体趋势向老龄化发展，不管采取何种政策我国都将在15内迈进老龄化社会。政策1，2，3，4的比较发现如果只是稍微放松计划生育工作力度，不会对延缓老龄化进程产生影响。政策5还表明，医疗条件的改善，在降低死亡率的同时会使；老龄化进程加快。图28（纵坐标是人口老龄化比例，横坐标是时间）人口老龄化进程图29 是我国在不同政策情况下25年内人口性别比例的变化，图像的趋势表明，在5种政策下，性别比例都变化不大，集中在106.0102.5之间，是相当合理的；但是这个性别比例是总人口的性别比例，而各年龄段的性别比例是很不协调的。图29（纵坐标是男女性别比例（100*男性总数/女性总数），横坐标是