《数学思想方法》单元辅导1.docx

1、数学思想方法单元辅导1数学思想方法单元辅导1第一章 数学思想与方法的两个源头学习要求1知道几何原本和九章算术形成的原因和基本内容；2理解几何原本和九章算术数学思想的特点和意义。主要内容指导一、几何原本思想方法的体例及特点几何原本共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆的理论，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。几何原本思想方法上的特点，可以表述如下。（1）封闭的演绎体系几何原本就是一个最早的标准的演绎体系

2、：由少数不定义的概念，如点售线、平面等等，和不证明的命题公理与公设出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在几何原本的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，几何原本的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然，在实际上，几何原本在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为几何原本的“缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们

3、按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格 的数学理论体系，其指导思想正是由几何原本开始的。由于几何原本的这种思想原则和结构方式，从实质上说，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。（2）抽象化的内容几何原本以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。比如在几何原本中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在几何原本

4、中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是几何原本的基本倾向。（3）公理化的方法作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的几何原本开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，几何原本作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由几何原本的公理法发展出来的。作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几

5、里得的几何原本开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。几何原本13篇，共给出475个(有的版本是477个)命题，其中10个作为公理(原书分为5个“公理”，5个“公设”公理是指在“所有”科学中都适用的而公设则仅适用于“几何学”，现代人们不加区别，一概称为公理)，其余465个命题都是由这些公理及有关概念的定义演绎推导出来的。在每一篇的开头都先给出本篇中所需要的概念的定义，共给出119个定义。其中除了“点”、“线”、“面”等应看作不定义的概念以及个别定义不确外，基本上都是符合逻辑上对定义的要求的。从结构上来看，在第一篇开头给出了10个公理

6、，这是对全书都有效的，然后给出23个定义，定义之后开始逐一引入和证明定理。定理的引入是有序的，因为在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公理和前面已经证过的定理。以后各篇除了不再给出公理外也都照此办理，全书来看也符合这种有序性：后面各篇中可以利用前面各篇中的定义和定理作为证明的依据。除了个别定理的证明不够严格，例如利用了图形的直观等，还有个别证错的以外，大部分证明从今天的观点来看也是正确的。欧几里得的公理法对后世影响极大，几何原本作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由几何原本的公理法发展出来的。二 几何原本的思想方法源远流长几何原本可以说是古希腊

7、数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点，数学思想方法的特点发扬光大了。考察古希腊数学思想的来源，则要追溯到古希腊人进入文明的自然历史条件。希腊文明是一个海上文明，希腊半岛被海湾地峡和高山分隔为彼此几乎隔绝的小区域，又有爱琴海上和爱奥尼亚海上希腊两边诸岛屿，把希腊半岛和小亚细亚)意大利连接起来。当船在海上航行时，前后都有肉眼可以望得见的岛屿，能够指示航程，这种条件几乎是世界上任何其他地区都不具备的。希腊海上文明以向海外移民的方式进行发展，移民点首先形成城邦国家，海外贸易成为极其重要的经济活动。正是希腊奴隶制国家的这种独特的城邦制度决定了古希腊文化以及数学的特点。在古希腊的社会生活中，需要应用数

8、学来解决的问题，当然包括办理事务、商业贸易、以及最基本的社会生产实践农业、手工业一等方面的问题。对于利用数学来解决这些问题，方面在古埃及数学，巴比伦数学中已小有基础，稍加改变就可以应用；另一方面由于古希腊城邦制度，大量使用奴隶劳动，而同时，古希腊的手工业和商业都是私人的事业，因而实际上在颇大的程度上，它们也是由奴隶(管家)具体经营的，奴隶可以采用古代东方传来的数学解决这些问题。在奴隶社会中，奴隶主阶级是不会从事奴隶所做之事的，这就使得作为奴隶主阶级中人的古希腊数学家所创立的数学体系中不包含实际应用数学的内容。古希腊数学家十分鄙视“应用”数学，这也是一个重要的原因。那么当时的社会实践向数学家(他

9、们都是哲学家)提出了什么问题呢？提出了在政治生活中怎样提高辩论技巧的问题。由于古希腊的城邦制度，奴隶主阶级成员都享有广泛的民主，“民主生活又使得议事会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地，雄辩术可以使一个普通公民成为民众的领袖。” 辩论术成为希腊哲学家(他们也是数学家)所努力研究的对象，而数学是辩论术的有力工具。不过辩论术需要的数学和农业、手工业及商业中需要的数学是不一样的。用数学作为辩论术的工具就要强调数学概念的准确性、逻辑推理的严谨性、发展数学证明的技巧和方法等等。实际上，古希腊的逻辑学就是与数学有关地发展起来的。古希腊社会生活中的实践需要，促使了数学演绎方法的发展，

10、促进了形式逻辑的发展，这种家展反过来又作用于数学，在一定程度上左右了数学发展的方向，于是逐渐发展了公理化的方法，强调抽象化的理论，形成了封闭的演绎体系。当然，这个体系的形成是一个较长的历史过程。 古希腊的泰勒斯(Thales，约公元前624547年)首先开始采用数学证明的方法，他是公认的希腊哲学的鼻祖。泰勒斯早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，学到了古代的知识。后来开始从自然现象中去寻找真理，创立了伊奥尼亚学派。据说，泰勒斯曾测量过埃及金字塔的高度，还预言过公元前585年5月28日发生的一次日蚀。他的最大的贡献则是开始采用证明方法，它标志着希腊人的数学走上了抽象化发展的道路。稍后，有毕达哥

11、拉斯(Pythagoras，约公元前580500年，希腊)及其学派的数学工作。他们企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。毕达哥拉斯发现了勾股定理，可能他学派中的成员还给出了证明(西方称为毕达哥拉斯定理)，并且由此导致不可通约量的发现。他们还找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，发现了五种正多面体。在毕达哥拉斯学派那里，数学完全离开了人们的实际应用(泰勒斯还把数学应用于实际问题)成为一门抽象的科学。公元前5世纪，雅典出现了智人学派，他们把数学与雄辩术、文法、逻辑、天文等结合起来探讨。他们在数学上研究的中心问题是尺规作图的三大问题：1三等分任意角；2倍立方一求作一

12、个立方体，使其体积是一已知立方体的二倍；3化圆为方求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这三个问题当时并没有解决，但对它的研究促进了数学的抽象化发展，实际上，“智人”们探讨作图问题的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是数学从实际应用向理论研究过渡的一个重要的步骤。尺规作图的研究为公理的形成奠定了基础关于尺规作图的规定与后来欧几里得几何原本中的若干公理是一致的。爱利亚(E1ea，意大利半岛南端)学派的巴门尼德(Parmenides，约公元前6世纪末一公元前5世纪中叶以后，希腊)第一个采用了反证法，反证法的采用使得人们得到某种抽象的思想事物的“存在”性，从而实现

13、了认识中从个别到一般的转化，对数学理论的发展具有重大的意义。这一个学派的芝诺(Zeno，约公元前4943年，希腊)在证明中使用了归谬法，而且他提出的四个悖论(二分悖论，追龟悖论、飞箭不动、运动场悖论)对逻辑的发展也起了巨大的推动作用。雅典学派的柏拉图(Phton，约公元前427347年，希腊)非常重视数学，论述了许多论证方法、定义方法及一些逻辑规律，他最先要求数学定义要准确，假设要清楚并提出证明的某些逻辑要求。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotcles，公元前384322，希腊)对古希腊数学体系的形成作出了重大贡献。首先，他给出西方第一个逻辑系统；他对各种逻辑规律，例如矛盾律、排中律、同一

14、律都作了论述，指出它们在逻辑证明中的重要意义；他发展了三段论法这种演绎推理的基本方法，实际上，他的三段论体系就是一个初级的公理体系，明显的表现出公理化的倾向；他论述了一个体系内不定义的概念和不证明的公理存在的必要性，并在实际上给出后来欧几里得所采用的某些公理。亚里士多德奠定了古希腊数学的、逻辑基础，欧几里得正是在这个基础上完成了自己的体系的。几何原本的公理化方法是一种严格的演绎推理方法，每一步推理都要求有根据，这种严格性本身就不能接受“无限”的观念。这也是古希腊数学思想的一个传统，亚里士多德就不承认“实无限”实际上的、真实存在的完成了的无限的存在，他认为只有“潜无限”一种潜在的、不断继续的、不

15、能完成的过程概念。几何原本继承了这种思想并以一种数学体系来表达出这一点。但不承认“实无限”与数学本身是有矛盾的，例如巴门尼德的存在性证明，芝诺的归谬法，都是几何原本中采用的有效论证方法，但它们实际上是依赖于“实无限”的观念的只有承认无限集合是一个完成了的“存在”，才能对其使用排中律，这是反证法的依据。此外，“不可通约”量的“存在”也就是实无限的存在，在古希腊数学发展之初，就由于发现不可通约量而引起了一场“危机”，这实际就是这种矛盾的种表现。对这个矛盾，几何原本采取了回避的办法，例如一条直线的延长可能，不说成可以“无限”延长，而说成可以“任意”延长；第五公设的表述方式最能体现这一点：不采用过直线

16、外一点只能引该直线的一条平行线这一命题，而采用“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角所在的一侧相交”这种说法，回避了检验平行的无限延长问题。但回避并不等于不存在矛盾，几何原本的些缺点，例如有的地方过于依赖直观没有引入相应公理夕在很大程度上也与这种“回避”有关，因为例如连续性也是依赖于“实无限”观。几何原本是古希腊数学由泰勒斯和毕达哥拉斯开其端的传统发展的产物，可以说是古希腊数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的一个取之不竭的源泉，对人类文化的发展做出了重大的贡献。但它本身，随着希腊文明的兴衰，却有着一段曲折的经历。公元前4世纪，由

17、于马其顿人征服了希腊，希腊文化得以传到地中海沿岸的广大地区，特别是埃及的亚历山大成为学术的中心，希腊本土反而退居次要地位。公元前146年，罗马人灭亡希腊，并主宰了地中海沿岸地区，亚历山大的希腊学者仍能继承前人的工作，数学上有所建树。在当时的社会急剧变化的情况下，数学也有了多方面的发展，如数论、大地测量、算术等，而欧几里得几何原本提供的体系上、思想方法上的范例仍然是一条主线。公元325年，罗马帝国君土坦丁大帝开始利用宗教作为统治工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马 帝国皇帝查土丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多学者逃到叙利亚和波斯等地。希腊数学受

18、到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆被毁，古希腊数学至此中断。这时的欧洲，已进入中世纪的“黑暗时代”，数学受到了冷遇，几何原本也无人问津了。三、九章算术思想方法的体例及特点九章算术共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法，它具有如下的特点。（1）开放的归纳体系九章算术是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若干个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的

19、体系从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，九章算术是它的一个典型代表。九章算术的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型来解决的多种应用问题。为了认识其体系上的特点，我们简述各章的内容。第一章，“方田”，计有38道问题，其中计算各种形状的田地面积的题目有24道，提供了“方田术”、“圭田术”、“邪田术”、“箕田术”、“圆田术”、“宛田术”、“弧田术”、“环田术”等多种算法。还有与计算

20、面积有关的分数四则计算题14道。这一章里注重研究了各种具体田地面积的计算法。第二章，“粟米”，有46道题。其中有计算各种粮食互相兑换的问题，其他有关砖、竹、漆、丝、缣、布、矢弊等生产、生活资料的问题15道，都是比例问题，本章里提供了有关的具体算法。第三章，“衰分”，收集了20道题。这章的开头，首先揭示出“衰分术”，即按一定比例分配的算法，突出了算法的重要性。与这种算法有关的应用问题，包括按等级制分配物品，出钱、关税、罚款、出工、计工，贷款利息、粮食买卖等，涉及到当时社会生活的一些主要问题。第四章，“少广”，共计24道题。其中已知矩形田地面积及其边求另一边的问题有11道，其余是关于正方形，圆形、

21、立体，球形的求积有关的问题。给出了“开方术”、“开圆术”，“开立方术”、“开立圆术”四种重要算法，开启了我国古代解一元高次方程的先河。第五章，“商功”，有28道题，都属于土方工程的计算问题。从筑城、开渠、凿运河、修堤坝、建粮仓等大量的建设工程中提炼出来的应用问题。给出了“方褓祷”(正四棱柱)、“圆坝祷”(正圆柱)、“方亭”(正四棱台)、“圆亭”(正圆台)、“方锥”(正四棱锥)、“塑堵”、“鳖脯”、“羡除等多种“立体”的求积算法。这些“立体”实质上就是几何图形概念，这些算法创立了我国独特的几何证明方法。第六章，“均输”，共有28道题，其中大部分问题，是关于按各地区人口多少、路途远近、粮食种类、交

22、纳实物或摊派徭役的计算方法。其他少数问题，是为了运用上述计算方法，而编制的应用问题。第七章，“盈不足”，有20道题。这20道题都是为给出和运用“盈不足术”(即“双设法”)而编制的。这种“盈不足术”是从大量应用问题的计算中提炼出来的数学模型，也是一种算法。第八章，“方程”，有18题。“方”指的是算筹排列的形式，“程”则指左右“课率”相比较的意思。其涉及到的实际问题的解法，相当于今天布列线性方程组求解，当时是利用算筹摆布(运筹)采解线性方程组的，摆布算筹的过程相当于我们现在利用线性方程组累数增广矩阵解方程的方法。其中“正负术”给出了正负数的概念、记法和加减运算规则。这两点都是九章算术对数学发展作出

23、的世界性贡献。第九章，“勾股”，有24道题。它继承和发展了商高(约公元前1100年)提出的勾股定理，与天文算法和大地测量相结合，开创了直角三角形相似法和出入相补原理，解决了关于高度、深度和难度的各种测量问题。通过九章的内容，可以看出它确实是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系：其中方田、粟米、衰分、少广、商功、均输等章属于当时社会生产和生活的几个主要方面需要的数学问题，如田亩测量，工程建设售交通运输、税收和商业等，这些都是一个以农业为主的封建社会的生产和生活所必需的。通过这些章中给出的算法，就解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。至于盈不足、方程、勾股三章，则分别阐述了三种常用的数

24、学模型及其用法用例，是为在各个领域中应用服务的。既有高度的应用价值，又有深刻的数学思想，其所达到的成就具有世界意义。所以九章算术是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。九章算术之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本，而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。不仅如此，九章算术的开放性，应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。（2）算法化的内容前面我们已谈过九章算术的结构特点：按应用方

25、向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。九章算术中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对九章算术的注售校夕基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。 举一个例子：九章算术第一章“方田”的第5、6题及有关的“术”。第5题：今有十八分之十二。问约之得几何？答日：三分之二。第6题：又有九十一分之四十九。问约之得几何？答日：十三分之七。约分术日：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。这个“术”的意思是，若分子、分母全是偶数，则可用2约简；

26、若分子、分母不全是偶数，则可以把分子、分母(表示它们的算筹)置于不同的地方夕然后由较大的数减去较小的数，并辗转相减直到两边所得的数相等，就用这个数(等数)来约分。这个等数实际上就是分子和分母的最大公约数。所以“约分术”就是求两数最大公约数的一个算法。值得深思的是，即使在现代算法意义下考察这个“术”，它也是一个“合格”的算法。“约分术”提供的算法具有如下特点： (1)是严格“一义”的规定，不可能有歧义的理解；(2)在执行这个算法时，每一时刻都知道下一时刻(或每一步都知道下一步)怎么办，有严格的顺序性；(3)能够解决求两个数(任意正整数)的最大公约数这一类问题；(4)由于任意给定的数都是有限数，辗

27、转相减，在有限步内一定可以减到“最后”一步，即在有限步内可以求出结果。九章算术中大多数“术”都是这样的，而“术”才是该书的主要内容，问题是为了引出术或是作为术的应用而给出的。所以说，九章算术具有算法化的内容。算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。还应该特别指出，九章算术的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。（3）模型化的方法从方法论的角度来看，九

28、章算术广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。九章算术中体现了这一生产发展过程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。九章算术各章都由相应

29、的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模型化方法的另一个侧面由模型到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方

30、法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。在模型化的方法中，各个数学模型之间的联系是什么呢？当然有实际原型之间的联系的反映，但就数学中表述出来的模型以及针对模型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通过计算工具算筹所产生的联系。算筹的实际可应用性和布列算筹

31、的规则九章算术中没有谈及就是各种模型以及各种算法之间的联系，并且还是九章算术所隐含的数学上的前提，这一点是一个要进一步深入研究的课题。四、九章算术的思想方法承前启后考察九章算术的思想方法的形成也要追溯到我国古代文明产生和发展的各种条件。我国古代文明是一个大河背景之下的农耕文明，产生于黄河、长江流域的河谷地带，以农业生产为主。生产与生活离不开水源，因而也就离不开水利治水工程。但无论是水源的分配，或水利工程的兴建，都不是个别部落或少数人就能解决得了的，必须动员全社会的力量，因此就必须有一个协调全社会的人的一个“超社会”的力量，这样的需要下就产生了中央集权的大领土国家。中国古代奴隶社会里就有了中央集权的国家，公元前221年秦统一中国，建立了一个中央集权的大一统的封建专制国家。对于古代中国这样一个大一统的封建国家来说，它的首要功能就是组织社会生产。例如“男耕女织这一农业和手工业的特殊?，结合方式是由政府去组织并管理的，是由“大司农”以至“户部”这样的公私财政统一的中央政府机构指挥的。历代的盐、铁、织造以至贸易等等工商业都集中由政府的机构去组织管理。无论公共工程、农业、手工业、商业还是财政军事等等都是由政府官员负责管理指挥的。