分部积分法练习题讲解.docx

1、分部积分法练习题讲解 分部积分法练习题讲解 主要适用于以下类型： ?xexdx 令 u?xdv?exdx ?xcosxdx令 u?xdv?cosxdx ?excosxdx 令 u?exdv?cosxdx ?xlnxdx 令 u?lnxdv?xdx ?xarctanxdx 令 u?arctanxdv?xdx Th1:如果函数 u,v，都可导，则 ?udv?uv?vdu d?udv?vdu， udv?d?vdu， 公式： ?udv?uv?vdu， 选取 u 和 dv 需考虑以下两点 注: v 要较容易求出 ?vdu 要比原积分 ?udv 更容易求出e.g1 求 ?xexdx e.g求 ?x2exd

2、x e.g 求 ?xcosxdx e.g求 ?x2sin2xdx e.g5. 求 ?excosxdx e.g6. 求 ?xlnxdx e.g求 ?xarctanxdx xee.g求 ?dx e.g求 ?sec3xdx e.g 10 求 ?sinlnxdx 分部积分法习题： 1求下列函数的不定积分 x?xcos2dx xsinxcosxdx ? ?sin2xdx ?tsindt 2 ?xtanxdx ?x5ex3dx x2dx ? ?x ? ?5lnxdx lnx2?dx logaxdx ?cosxlndx xln2xdx 1?x ?xln1?xdx 2lnxdx ? 2lndx ? lnx?2

3、dx ?ln x?1dx 2xesin3xdx ? 1?arccosxdx ?arctan xdx ?arcsinx ?xdx x2arctanxdx ?21?x ?e?2xxsindx 2xarctanxdx ? ?sinxcosxdxcos2x?sinx?1 ?sindx 答案： xx ?2xsin2?4cos2?c x1 ?4cos2x?8sin2x?c 1211?2cos2x?4sin2x?4cos2x?c ?t ?cos?1 ?2sin?c x2 xtanx?lncosx?2?c 13x1x?3xe?3e?c3 12x43xx?2e?4xe?4e?3x?c 1616?xlnx?x?c

4、66 lnxlnx22?c xxx2 x?xlogax?c lna ?sinxlnsinx?sinx?c 3 2323228162?xlnx?xlnx?x?c927 x21?x11?x?ln?ln?c1?x21?x ?xln?x?c2 x332x332?x?x)lnx?c ?4?x?C 412x32x?C = 1324 12xarccos?lnx?x?1?C =x 第四讲 授课题目： 5.分部积分法 教学目的与要求： 熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。 教学重点与难点： 重点：分部积分法。 难点：分部积分法 讲授内容： 一、分部积分法 怎样计算不定积分?xcosxdx呢？ 我们已

5、经知道?cosxdx?sinx?c，如果猜测F?xsinx 是函数 f?xcosx 的一个反导数，是否正确呢？对函数F按乘积法则求导 Fsinx?xcosx 与f不同，多出一项 sinx。但是，我们知道 ?sinxdx?cosx?c 如果给F加上一项cosx而变成G，即 G?cosx?xsinx 那么 Gxcosx?sinx?sinx?xcosx 所以 ?xcosxdx?cosx?xsinx?c 把上面的思路对一般的函数表达出来就是：为了计算 ?fg?dx按照导数的乘积法则 ddxd fg?f?g?fg?, f?gdx? ?dxfg fg?dx? d ? fg?dx, f?gdx ?dxfg?

6、 ? fg?dx?fg? ? f?gdx 如果不定积分 ?f?gdx 比较容易计算，那么?fg?dx就有可能算出.这种思路方法叫做分部积分法。 一般地，称公式 ?udv?uv?vdu 为分部积分公式。 分部积分的作用是把求 ?udv 转化成求 ?vdu因此，利用分部积分法求 ? 将fdx 改写成udv 的形式，即把被积函数的一部分fdx 的关键是： 与 dx 凑成dv。 二、分部积分法举例 例1求?xsinxdx. 解 设u?cosx,v?x那么 ?xsin xdx.?x? ?dx 2 ?xcosx? ?cosxdx ?xcosx?sinx?c 但是，为什么不选择 u?sinx,v? x 2

7、2 呢？如果这样 x 2 ?xsin xdx? ?d? ?cosxdx 而积分? 2 cosxdx. 更加不容易计算，此路不通，不符合分部积分的思路。因 此在运用分部积分方法时，怎样选择u和v是个问题，解决这个问题的有效途径是多观察，多积累。 例 求?x10dx. 解 设u?x,dv?10dx, 10 ? xdx.?x 111 11 ? 111 ?dx? 11 111 x 11 ? 1132 12 ?c 例 求?2xexdx. 解 设 u?ex,2xdx?dv 同时 du?exdx,dv? 12 x x，按分部积分法 2 ?2xedx? x ?2xd?2xe xx ?2?edx?2xe x ?

8、2e?c?2e?c xx 例 求?xlnxdx 解 设 u?lnx,xdx?dv同时 du? I? 1x 2 dx,dv?d，按分部积分法 2 ?xlnxdx?lnxd?x2 x 2 lnx?x 2 ? x 2 2x dlnx 2 ?c 2 lnx? ? dx? 2 lnx? 4 例 求?4xcosdx 解 设u?4x,dv?cosdx ?4xcosdx? 114xd?4x?33 ?3sin3xd 1 43 x? ?9 4 sin3xd? 43 x? 49 cos3x?c 例6求?e2xcosxdx 解 ?e 2x cosxdx? 2x ?e 2x d?e 2x sinx?sinxd?e 2x

9、 sinx?2?e 2x sinxdx 2x ?e?e sinx?2?esinx?2e 2x d?e 2x sinx?2)?2?d 2x2x cosx?4?e15e 2x cosxdx 即?e2xcosxdx? ?c 一般地，当被积函数f是如下形式时，必须采用分部积分法： f?xneax 这里n是正整数，a为常数； f?xnsinbx 这里n是正整数，b为常数； f?xnlnx 这里n是正整数； f?xnarctgx,f?xnarcsinx,? 这里n是正整数； f?eaxsinbx， 这里a,b为常数。 并且一般的规律是，对两种情况，宜将指数函数或三角函数与dx合起来凑成dv；对两种情况，宜

10、将幂函数与dx合起来凑成dv;而第类函数的积分往往需要连续几次使用分部积分法。 再举一例子说明，有时为了计算不定积分，凑微分法和分部积分法这两种方法需要同时使用。 例 求?sinxdx 先设法去掉根号，令 x?u 或 x?u2 ?sin xdx? ?sinud?2?usinudu ?ucosu?sinu?c x?c 这时，再利用分部积分法 ?usinudu 所以 ? ?ud?u?du ?sin xdx?2?c?2xcosx?2sic 小结与提问： 最后，请大家注意：在计算导数的时候，我们知道，初等函数的导数一定还是初等函数。作为求导数的逆运算，是不是可以说初等函数的反导数一定是初等函数呢？答案

11、是否定的，也就是说：初等函数的反导数不一定仍然是初等函数，例如 e ?x 2 , sinxx , xlnx ,? 这些函数的反导数都不能用初等函数表示！但是，这并不意味着这些函数没有反导数，实际上，任何连续函数都有反导数，也就是说，按照上面介绍的积分的计算方法，是 计算不出积分 ?e ?x 2 dx,? sinxx ,? xlnx dx,? 的。它们的计算需要借助一种称为无穷级数的数学方法。 课外作业： 1.计算下列不定积分：-） 1 2.设f?1,f?3,f?5, 计算?xf?dx 3.设f?xex,f,求f. 如果需要计算定积分? ba f)gdx 那么，按照不定积分，因该存在函数F，使得. ? f)gdx?F)?c 按照微积分学基本定理，有 b ?bf)gdx?F)a?F)?F) a同时，由于? g gba fdu?F gg ?F)?F) 结合起来就有 ?例3.39求? 12 f)gdx? u?g ? gg fdu 这就是定积分的换元积分公式。 x1 23 2 3 dx 解 因为x2?d)，令u?1?x3,积分变为 ? 10 x 23 2 dx? u?1?x 3 ? 注意：积分变量由x变到u，积分上限和积分下限也同时变动。 例3.40求 解因为 、 所以 例3.4求 解 设 同计算不定积分一样，采用分部积分法计算定积分法计算定积分只要注意连用积分限一起计算就可以了。