选修45 不等式选讲一轮Word格式文档下载.docx

1、又|x1|x2|（x1）（x2）|3，当且仅当（x1）（x2）0，即1x2时等号成立故f（x）的最小值为3.规律方法11.本题常见的错误：（1）不能由?A，得a；（2）第（2）问中，不能利用绝对值三角不等式进行放缩，这是失分的主要原因2利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件对点训练对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值【解】x，yR，|x1|x|（x1）x|1，|y1|y1|（y1）（y1）|2，|x1|x|y1|y1|3.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.考向二含绝对值不等

2、式的解法（2014课标全国卷）设函数f（x）|xa|（a0）（1）【证明】f（x）2；（2）若f（3）0，有f（x）|xa|a2.所以f（x）2.（2）f（3）|3a|.当a3时，f（3）a，由f（3）5，得3.当0a3时，f（3）6a，由f（3）5，得0；（2）|x2|1|1.【解】（1）原不等式化为|2x1|2|x1|，两边平方，化简得4x148x，解之得x原不等式的解集.（2）由|x2|1|1，得1|x2|11，即0|x2|2，2x22,0x4.原不等式的解集为x|0x42若关于x的不等式|x1|x3|a的解集是R，求实数a的取值范围【解】（1）当a0时，由于|x1|x3|（x1）（x3

3、）|4恒成立若使原不等式的解集为R，只需a4，则0，a2.综合（1）、（2）知，实数a的取值范围是（，0）23设f（x）|x2|x，g（x）|x1|，解不等式g（x）f（x）【解】由g（x）f（x），得|x1|0， （*）当x1时，（*）式化为（2x）（x1）x0，3x1.当1x10，则x3.综合（1）、（2）、（3），原不等式的解集为x|334设函数f（x）|xa|3x，其中a0.（1）当a1时，求不等式f（x）3x2的解集；（2）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【解】（1）当a1时，f（x）3x2化为|x1|2，x3或x1.所以f（x）3x2的解集为x|x3或x1（2）f（x）

4、0?|xa|3x0. （*）不等式（*）化为或由于a0，不等式组的解集为.依题意，得1，故a2.5（2014重庆高考改编）若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围【解】设f（x）|2x1|x2|，则f（x）当x5；当2x；当x时，f（x）.因此f（x）的最小值为，于是原不等式对?xR恒成立，则a22，解之得1a.故实数a的取值范围为.6已知函数f（x）|xa|.（1）若不等式f（x）3的解集为x|1x5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）f（x5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围【解】（1）由f（x）3，得|xa|3.解得a3xa3.又已知不

5、等式f（x）3的解集为x|1x5所以解得a2.（2）当a2时，f（x）|x2|.设g（x）f（x）f（x5）|x2|x3|.由|x2|x3|（x2）（x3）|5（当且仅当3x2时等号成立），g（x）的最小值为5.因此，若g（x）f（x）f（x5）m对xR恒成立，知实数m的取值范围是（，57（2015大连模拟）设函数f（x）|x1|x2|.（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若不等式|ab|ab|a|f（x）（a0，aR，bR）恒成立，求实数x的范围【解】（1）f（x）不等式f（x）3的解集为0,3（2）因为|ab|ab|2|a|，得2|a|a|f（x），由a0，得2f（x），即|x1|x2|

6、2.解得x或x.实数x的取值范围是x或x.8（2015郑州质检）已知函数f（x）|2x1|2xa|，g（x）x3.（1）当a2时，求不等式f（x）1，且当x时，f（x）g（x），求a的取值范围【解】（1）当a2时，不等式f（x）g（x）化为|2x1|2x2|x3设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x（0,2）时，y所以原不等式的解集是x|0（1）当a2时，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2xa）2f（x）|2的解集为x|1x2，求a的值【解】（1）当a2时，f（x）|x4|当x2时，由f（x）4|x4|得2x64，解得x1；当

7、20，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均值不小于（即大于或等于）它们的几何平均值定理3：如果a，b，c为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立一般形式的算术几何平均值不等式：如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2比较法（1）比差法的依据是：ab0?ab.步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号（2）比商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法（1）综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所

8、需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义，公理或已证明的定理，性质等），从而得出要证的命题成立4几个重要的不等式（1）定理1（二维形式的柯西不等式）：若a，b，c，d都是实数，则（a2b2）（c2d2）（acbd）2，当且仅当adbc时，等号成立（2）定理2（柯西不等式的向量形式）：设，是两个向量，则|，当或是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立（3）定理3（二维形式的三角不等式）：设x1，y1，x2，y2R，那么.（4）柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则（aaa）（bbb）（a1b1a2b2anbn）2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi（i1,

9、2，n）时，等号成立.考向一比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.【解】法一（）0，.法二由于111.又a0，b0，0.规律方法11.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1（b0）2作差（商）证明不等式，关键是对差（商）式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号对点训练求证：（1）当xR时，12x42x3x2；（2）当a，b（0，）时，aabb（ab）【证明】（1）（12x4）（2x3x2）x42x3x2x42x21（x1）2x2（x21）20，12x42x3x2.（2），当ab时，1；b0时，1，1；当b0时，01，0，

10、y0，证明：（1xy2）（1x2y）9xy.【证明】因为x0，所以1xy230,1x2y3故（1xy2）（1x2y）339xy.考向三分析法证明不等式（2015郑州质检）若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m.（1）若x21比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3b3比a2bab2远离2ab.【解】（1）由题意知|x210|10|，即|x21|1，所以x211或x211，解得x或x，所以x的取值范围是x|x或x（2）要证明a3b3比a2bab2远离2ab，即证|a3b32ab|a2bab22ab|，因为ab，故a2bab222ab，a3b322a

11、b.所以只需证a3b32aba2bab22ab.即证明a3b3（a2bab2）0，化简得（ab）2（ab）0显然成立，所以a3b3比a2bab2远离2ab.规律方法31.（1）善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作（2）第（2）问证明关键有两点：将结论转化为证明绝对值不等式；抓住基本不等式，巧妙去绝对值符号2分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：.对点训练已知a0，求证：a2.【证明】要证原不等式，只需证2a，a0，两边均大于零因此只需证a244a2222，只需证2，只需证2a22，即证a22，又a22显然成立，原不等式成立考向四柯西

12、不等式的应用福建高考）已知定义在R上的函数f（x）|x1|x2|的最小值为a.（2）若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.【解】（1）因为|x1|x2|（x1）（x2）|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即a3.由（1）知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以（p2q2r2）（121212）（p1q1r1）2（pqr）29，即p2q2r23.规律方法41.第（1）问活用绝对值不等式的性质，回避分类讨论，优化解题过程2第（2）问构造两个数组，使之与柯西不等式有相似的结论，从而利用柯西不等式给出证明当然本题亦可利用基本不等式放缩将条件平方转化证明，

13、请读者完成对点训练已知a，b，cR，且a2b3c6，求a24b29c2的最小值【解】由柯西不等式，得（a24b29c2）（121212）（a12b13c1）236，a24b29c212， （*）又a2b3c6，当且仅当，即a2，b1，c时，（*）式取等号从而a24b29c2的最小值为12.课时检测不等式的证明1（2015太原调研）已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，求（ambn）（bman）的最小值【解】a，b，m，n为正数，且ab1，mn2，（ambn）（bman）abm2a2mnb2mnabn2ab（m2n2）2（a2b2）2abmn2（a2b2）4ab2（a2b2）2（a2b2

14、2ab）2（ab）22，当且仅当mn时，取“”故（ambn）（bman）的最小值为2.2设a0，b0，ab1，求证：8.【证明】a0，ab1，2ab1.因此，4.则（ab）2248.故8成立3（2014陕西高考改编）设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值【解】由柯西不等式（manb）2（a2b2）（m2n2），得255（m2n2），m2n25.当且仅当时，等号成立，故的最小值为.4设不等式|2x1|1的解集为M.（1）求集合M；（2）若a，bM，试比较ab1与ab的大小【解】（1）由|2x1|1得12x11，解得01.所以Mx|01（2）由（1）知a，bM可知01,0b0.故

15、ab1ab.5已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立【证明】因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23（abc）， 3（abc），所以29（abc）. 故a2b2c223（abc）9（abc）.又3（abc）9（abc）26， 所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当3（abc）9（abc）时，式等号成立因此当且仅当abc3时，原式等号成立6（2014课标全国卷）若a0，且.（1）求a3b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由【解】（1）由，得ab2.当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.（2）由（1）知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.7已知m0，a，bR，求证：2.【证明】m0，1m0.欲证2成立只需证明（amb）2（1m）（a2mb2），即证m（a22abb2）0，只要证明a22abb20，又a22abb2（ab）20显然成立，故2.8已知a，b，c0且互不相等，abc1.试证明：