人教九年级数学第23章旋转旋转基础的知识点整理及专题word版含答案.docx

1、人教九年级数学第23章旋转旋转基础的知识点整理及专题word版含答案旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中

2、心的对称点。5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。二、旋转相关结论如 图 ， 将 ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 角 到AB1C1 。点 B 和点 B1 为对应点，点C 和C1 为对 应点。结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB1 的垂直平分 线l1 、线段CC1 的垂直平分线l2 都经过旋转中

3、心点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。如图， ABB1 和 ACC1 均为等腰三角形， BAB1 = CAC1 = 。结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， BAB1 CAC1 。结论 4：旋转前、后图形全等。如图， ABC AB1C1 。示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O1 A1 ，

4、其中O1 (-1,-1) 、A1 (-3,-4) ，O1 为点O 的对应点， A1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 AA1 和线段 OO1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。解析： A(-3,2) ， A1 (-3,-4) 直线 AA1 : x = -3直线 AA1 的垂直平分线l1 : y = -1 O(0,0) ，O1 (-1,-1) 直线OO1 : y = x直线OO1 的垂直平分线l2 : y = - x - 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立：，可得： P(0,-1) 。点 P 的坐标为 P(0

5、,-1) 。附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线l 。 处理方法如下：第一步：根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标首先求出直线 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 k2 = -1 ，从而求出k 2 = -，因此线段 AB 的垂直平分线l 的解析式转化为：第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点

6、M (,) 。分析：既然直线l 为线段 AB 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 AB 的中点，也即线段 AB 的中点在直线 l 上。第四步：将线段 AB 的中点 M (,)代入 l : 中求出 b2 的值。最后将 b2 的值代入中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式。示例：已知点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。处理方式如下：第一步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以

7、k1 k2 = -1 ，从而求出k 2 =2 ，因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b2 。第三步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 。 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 。 因此，最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y = 2x + 3 。提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应 点坐标。示例：将点 A(-3,4

8、) 绕点 P(-1,1) 逆时针旋转90 ，求点 A 的对应点 A1 的坐标。 分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。因此有 PA = PA1 。由于旋转角为90 ， 即 APA1 = 90 ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA = PA1 ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。很显然，这两个直角三角形时全等三角形。然后利用直角边线段长度关系 即可求出点 A1 的坐标。解析：如图，过点 P 作直线l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ，过点 A 作 AM l 于 M ，过点 A1 作 A1 N l于 N 。易证 AMP PNA1 （ ASA ），则有： AM = PN ，

9、 PM = A1 N 。 A(-3,4) ， P(-1,1) AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识 解决相关问题。因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰 三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。以下通过

10、一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。例 1：已知如图 ACB ，ACB = 90 ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 BPC 的度数？ 分析：这里明显可以判断 ACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。图（1） 图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形 ACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋转90 与另一腰 BC 重合，从而带动 CAP 逆时针旋转90 至 CBH ，可得：CAP CBH ，CP = CH，

11、HCP = 90，PA = BH = 3 CPH = 45 ， PH =2PC = 2 PH 2 + PB 2 = BH 2 HPB = 90 BPC = 135图（2）中是将等腰直角三角形 ACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90 与另一腰 AC 重合，从而带动 CPB 逆时针旋转90 至 CHA ，可得 CPB CHA ，可得 CHP = 45 ，再利用勾股定理证PHA = 90 即可。例 2：已知，如图所示，等腰 RtACB ，ACB = 90 ， D 为 ACB 外一点， 且满足 ADC = 45 ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的值？分析：这里已知等腰 RtAC

12、B ，可以将 等腰 RtACB 的一腰 BC 顺时针旋转90 与 另一腰 AC 重合，从而带动 DCB 顺时针旋转90 至 HCA 。解析：将 DCB 绕点C 顺时针旋转90 至 HCA 。则有， DCB HCA ， DC = HC，DCH = 90，HDC = 45，DH = DC = 4又 ADC = 45 HDA = 90 ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。例 3：已知如图， ABC 为等边三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 APC 的度数？分析：这里已知 ABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将 ABC 一边 AC 顺时针旋转 60 与另一边

13、 AB 重合 解析：将 APC 绕点 A 顺时针旋转 60 至 AHB ，则 APC AHB，AP = AH，HAP = 60，PC = HB = AHP 为等边三角形 HP = PA = HB 2 + HP 2 = PB 2 BHP = 90 APC = AHB = 150 。例 4：已知如图，四边形 ABCD ，ADC = 60 ，ABC = 30 ，且 AD = AC ，求证：AB 2 + BC 2 = BD 2 。 分析：这里实际可知 ADC 为等边三角形，满足旋转条件。解析：将 ADB 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 可得 ABH 为等边三角形，又 ABC = 30 从而

14、可得 CBH = 90 ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5：如图，已知等边 ABC ，点 D 为 ABC 外一点，且满足 BDC = 120 ，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里 ABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 则有， ABD ACH ， ABD = ACH 。ADH 为等边三角形 DA = DH BDC = 120 ， BAC = 60 ABD + ACD = 180 ACH + ACD = 180 D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DA = DC + DB 。变式拓展：如图已知等

15、边 ABC ，点 D 为 ABC 外一点，但 BDC 大小不确定，BD = 3 ，DC = 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析：这里 ABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 则有， ABD ACH ， ADH 为等边三角形 CH = BD = 3 ， DA = DH DH DC + CH DA 7 。 DA DC + CH例 6：如图，已知正方形 ABCD ， E 为正方形 ABCD 外一点， AE = 2， DE = 1 ，求 CE 的最大值？分析：这里出现了正方形 ABCD （正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），

16、符合旋转条件。解析：将 EDC 绕点 D 顺时针旋转90 至 HDA ，则有：EDC HDA ，CE = AH ， DE = DH ， EDH = 90 EH =2DE = AH AE + EH = 2+=3 CE 3 五、旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。 两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。如图， ABC AB1C1 ，则有 ABB1 ACC1 。证 明 ： ABC AB1C1 BAC = B1 AC1 ，BAB1 = CAC1 ABC AB1C1 ABB ACC例 1：如图，已知 ABC 为等边三角形， D 为 AB

17、的中点， DE = 1 ， EA = 2 ，求CE 的最大值？分析： ABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点，则ACD = 30 ， ADC 为直角三角形，可以利用这个ACD = 30 特殊角进行构造相似三角形。 解析：连 CD ，则CD AD ，且 AC = 2 AD ，即。构造 RtAEH ，使得则 RtADC RtAEH DAC = EAH = 60 EAD = HAC又 AHC AEDCH = 2DE = 2 EAH = 60，AEH = 90 EH = AE = 2 CE EH + CH CE 2+ 2 。小结：这里可以看出 RtADC RtAEH ，则 AHC AED 。例

18、2：如图，已知 RtABC 中， ACB = 90 ， CD = 3 ， AD =，求 BD 的最大值？分析：这里 ACB 为直角三角形，。可以利用这个直角三角形直角边的比构造相似三角形。解析：过点 C 作 CH CD ，且满足，连 DA，AH 。则有： RtACB RtHCD 。 ACH = BCD又 DCB HCA BD = AH又 AH DH + DA ， DH = CD = 3 AH 4 BD 2小结：这里 ACB HCD ，则有 DCB HCA 。六、旋转的四种模型（仅作了解）（1）绕点模型 普通绕点模型很容易看出旋转中心，一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以绕顶点进行旋转，

19、使两腰重合，从而构造三角形全等来解题。AB = AC ，则有： BC = CD ，则有： CB = CA = CD ，则有：BAM BCN BCM DCN CBE CAF示例：如图，正方形 ABCD 内有一点 P ， PA =1 ， PA = 2 ， PC = 3 。（1）求 PD 的长；（2）求 APB 的大小；（3）求正方形的边长。分析：此题中出现了正方形，由于正方形四条边长度相等，四个角均为直角，很适合利用旋转来 作答。解析：（1）过点 P 作 MN/ / AB 交 AD 于 M ，交 BC于 N 。则有四边形 ABNM 、四边形 DCNM 均为矩形 AM = BN ， DM = CN在

20、 RtPAM中有： PA 2 = AM 2 + PM 2 ；在 RtPNC 中有： PC 2 = CN 2 + PN 2 ；在 RtPBN 中有： PB 2 = BN 2 + PN 2 ；在 RtPDM 中有： PD 2 = DM 2 + PM 2 ； PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2又 PA =1， PA = 2 ， PC = 3 PD =。（2）将 PBC 绕点 B 逆时针旋转90 得 EBA ，则有 PBC EBA ， BE BP BE = BP ， AE = PC = 3 ， PE = PB = 2， BPE = 45 PA 2 + PE 2 = 12 + (2)2

21、= 9 = AE 2 APE 为直角三角形 APE = 90 APB = APE + BPE = 135 APB = 135 。（3）过点 B 作 BF AP 于 F APB = 135 BPF = 45 BF = PF = PB = AF = PA + PF = 1 + 在 RtAFB 中有： AB 2 = BF 2 + AF 2 = 5 + 2 AB =，即正方形的边长为在遇到等腰三角形时可以利用旋转使腰刚好重合，构造全等三角形解题。（2）空翻模型空翻与普通绕点的区别在于普通绕点可以一眼看出旋转中心，而空翻则不能。AM = CE ， AE NE ，且 AE = NE 则有：AME ECN

22、AMD DCF BD = CA ，BD CA ， CF AB ，作 AG AD 则有： ABD GCA（3）弦图模型弦图也叫三垂直结构，属于极为特殊的空翻，形式上分为内弦图、外弦图，应用上可以分为全等弦图、相似弦图。其基本模型有如下三种：外弦图 内弦图 半弦图（4）半角模型半角属于绕点，不属于空翻，是一种极为特殊的绕点。凡涉及到等腰直角三角形、等边三角形、特殊等腰三角形、正方形的图形都可能出现半角模型。DAE = BAC = 45 ， AB = AC ， EAF =BAD = 45， 则 有 ：则有：ACD ABF ，FBE = 90 ， ABF ADG ， AGE AFE 。AFE ADE

23、。EAD = BAC， 则有 ：ACD ABF ， AFE ADE 。 知识赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that.随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是_。As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。(

24、Hold different attitudes 持不同的看;Come up with different attitudes 有不同的看法)As society develops, people are attaching much importance to.随着社会的发展，人们开始关注.People are attaching more and more importance to the interview during job hunting求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。As to whether it is worthwhile ., there is a long-r

25、unning controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.关于是否值得_的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人对此可能持不同的观点。In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.在都市的发展中，我们往往会陷入困境。Recently the phenomenon has aroused

26、 wide concern, some people are in alarm that.最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心_。The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之给我们带来了很多问题。. pla

27、ys such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?_显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。不过，问题是：我们该如何抉择?Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。People from diff

28、erent backgrounds would put different interpretations on the same case.不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法也不尽相同。When asked ., some people think. wh

29、ile some prefer.说到_，有人认为_，而另一些人则认为_。Just as the saying goes: so many people, so many minds. It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗话说，。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different people come up with various attitudes.对于这个问题，不同的人持不同的观点。There is a good side and a bad side to ev