黎曼积分和勒贝格积分定义的比较doc.docx

1、黎曼积分和勒贝格积分定义的比较doc目录1引言.02积分理论的发展 .03黎曼积分和勒贝格积分定义的比较.13.1 黎曼积分 .13.2勒贝格积分 .24黎曼积分与勒贝格积分的关系 .35黎曼积分和勒贝格积分性质的比较.45.1被积函数绝对可积性的比较 .45.2被积函数的有界性的比较 .45.3 中值定理 .55.4被积函数连续性的比较 .65.5 收敛条件 .66黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系.87勒贝格积分的某些推广 .98结束语 .10参考文献 .11致谢 .12黎曼积分和勒贝格积分的比较数学系本 1001 班 王海荣指导老师：张炎彪摘 要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝

2、格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系， 通过两者的定义、 被积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上， 从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势， 同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广， 但是却不是黎曼反常积分的推广。关键词： 黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。Riemann integral and the Lebesgue integralWang HairongClass1001，Mathematics DepartmentTutor:Zhang YanbiaoAb

3、stract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explore and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the integran

4、d, the convergence condition, the intermediate value theorem, absolute Integrability and the comparison of the broad sense of Riemann integral and the Lebesgue integral, It shows Lebesgue integral has some advantages in the treatment of some difficult problems on Riemann integral, and also pointes o

5、ut that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemann integral, and it is not the promotion of Riemann anomalous integral.Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, continuity, boundedness.1引言黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。 虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分， 而且还给出了定积分的相关论述， 但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的

6、现代化定义是黎曼积分给出来的。 勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广， 勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分， 而后者是对函数定义域进行定义划分。 这两种积分既有联系又有区别， 通过对这两种积分的对比研究， 可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要， 所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。2积分理论的发展在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对“基本上” 连续的函数积分进一步给出了相关定义。 很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、 物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方

7、便的。但是随着深入的认识， 人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。 例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数， 和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续性时，经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题， 通常只有在很强的假定下 （一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。 所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性，又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。 这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在 1902 年成功引进一种新的积分勒贝格积分

8、，同时还引入了一门新的数学分支学科实变函数论。勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数， 1872 年，康托提出集合论， 引进了点集的概念， 间断点可以看做一个整体进行考察， 这样子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法， 勒贝格在原来的基础上推广了长度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度m ( E) 和外测度m (E ) ，如果 m ( E)m ( E ) 时，我们称E 为可测集，并称内测度和外测度的公共值I 为点集 E 的测度。勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。 勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数，那么 E 是一有界可测集， f ( x) 是定义在

9、E 上的实函数，如果对任一实数 a ，点集 E x : f ( x) a 还是勒贝格可测集， 则 f (x)是 E 上的可测函数。 容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广， 它是在测度论基础上构造出来的， 但它能把连续函数、 可导函数、单调函数作为特例加以概括。能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数， 狄利克雷函数则是不连续的可测函数。 利用可测函数， 在研究黎曼积分的定义方式后， 考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难， 勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅，消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。并在点集

10、论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型勒贝格积分。 彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题， 定义了他自己的积分概念。 这两种积分既有区别又有联系， 通过对这两种积分的对比研究， 能让我们加深对积分理论及应用的理解。3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较3.1 黎曼积分黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的 , 它是从划分闭区间 a,b 上着手 , 利用极限想法来进行定义的。定义 1 设函数 f ( x) 在 a,b上有以下定义。随意给 a,b 一个划分 T：a =x0x1xn =b ，然后在所有小区间 xk1, xk 上任意取一点，1,2, ,

11、n。kk记区间 xk 1 , xk的长为 k =xkx1，令 l (T )max k : k 1,2, n 。作积分和knn 的极限是 I ，即为 nf ( k )k 。假设当 l (T )0 时，那么积分和k 1limnlimf ( k ) k I ，且数 I 与划分 T 无关，也与 k 的取值无关，则称l (T ) 0l (T )01k函数 f ( x) 在 a, b 黎曼可积， I 是在 a, b 上的黎曼积分，表示为I( R)b0 时，积分和n 极限不存在，称函数 f ( x) 在 a,bf ( x)dx 。假设当 l (T )a上是不可积。黎曼积分的定义知道：若函数f ( x) 在

12、a,b 上黎曼可积，那么 f ( x)在 a,b 上必定有界。 换句话说， 若函数 f ( x)在 a,b上无界，则 f ( x) 在 a, b 上必定不是黎曼可积。3.2 勒贝格积分利用与黎曼积分类似的思想， 从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。定义 2设函数f ( x) 是 a,b 上的有界可测函数， mf (x) M 。任意给 m, M一个划分 T： m y0y1yn M 。然后考虑集合Ek x : yk 1f (x) yk ，nn当 k 1,2, n ，给勒贝格定义小和 s 及大和 S ， syk1mEk ， Syk mEk ，k 1k 1则会有 inf S sup s 和

13、 0 S- s t(b a) ，其中 t max yk yk 1b以定义函数 f (x) 在 a, b 上的勒贝格积分为 inf S sup s ( L )a: k 1,2, ,n 。所f ( x)dx 。由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。 比较黎曼积分的定义 1 和勒贝格积分的定义 2，会使人们觉得，黎曼积分是对区间 a,b进行划分来思索的， 然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。 但这并不是它们真正区分的实质。 因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义 L黎曼积分，以下称为3 定义。定义 3 设 f ( x)是 Rn上的非负可测的简易函数，它在点集A

14、i (i 1,2, p) 上ppAi Rn , Ai Aj取值 ci : f ( x)ci xAi ,(i j ) 。假如 E 是可测集，那么定义i 1i 1p非负可测简易函数 f (x) 在 E 上的勒贝格积分为 （ L ） f ( x)dxci x( EAi ) 。设Ei 1f ( x) 是 E Rn 上的非负可测函数，我们定义f (x) 是 E 上的勒贝格积分，为（L） f (x)dxsup h(x)dx : h( x)是 Rn 上的非负可测简易函数 。若Eh( x) f ( x) x EE（L） f (x)dx，则称 f ( x) 在 E 上是勒贝格可积的。E设 f ( x) 是 E

15、Rn 上的可测函数， f (x) max f ( x),0 ，f ( x) max f (x),0 ，如果积分 ( L) f ( x)dx 中最起码有一个是有限的，则称E（L） f (x)dx (L ) f ( x)dx ( L) f ( x)dx 为 f ( x) 在 E 上的勒贝格积分； 如果上E E E面式子右边两个积分都有限时，则称 f ( x) 在 E 上是勒贝格可积的。从勒贝格积分的定义 3 可以知道，在这没有对函数值域作出任何的划分， 而是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分， 固然勒贝格积分的这两个定义是相等的。虽然在 a, b 上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反

16、过来说明就不一定是成立的。 所以对区间作划分上的区别只是表面现象， 并不是勒贝格积分定义的本义性质。4黎曼积分与勒贝格积分的关系我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论， 在进一步说明这一理论的其他内容之前，我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。 它们的关系能用一个公式来表示，它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广， 而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。 本文将从一维的情形进行探讨， 在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：设 f ( x) 是定义在 Ia,b上的有界函数， n 是对a, b所做的分划序列：n: annxknnbn1,2,，nnn:1 ikn ，x0x1max xix

17、i 1limn0 ，若令（对每个 i 以及 n ）nsup f ( x) : xinx xin ，M i1nmininf f ( x) : xi 1nx xin ，则关于 f ( x) 的 Darboux 上，下积分下述等式成-bknnnx nbknnnx n立：f ( x) dx limxi1 ，fx dxlim。M iimi xii 1ani1-ani 1引理 1设 f (x) 是定义在 Ia,b上的有界函数，记(x) 是 f ( x) 在 a, b上的-ab振幅（函数），我们有x dxf ( x)dxf (x)dx 。左端是( x) 在 I 上的勒贝Iba格积分。证明 因为 f (x)

18、在 a, b上是有界的，所以( x) 是 a,b 上的有界函数，所以La,b。对于之前所述说的分划序列 n ，作下列函数列有nxM in , x x ni 1, xin， i1,2, , kn ,n1,2,，0, x是 n 的分点，E xa, b : x是 nn1,2,的分点 ，显然 m E0且有 limn ( x)(x), xa,bE 。我们记 A, B 各是 f (x)在 a,b 上n的上确界、下确界，存在一切 x ，有 n (x) A B ，所以根据控制收敛定理 （控制函数是常数函数）可以得到limIn( x) dxIx dx 。从另一方面看，因为nk nnnnx nInx dxM im

19、ixii 1i1knnnx nk nnnx n i 1M ixii 1mixii1i1-bb得到x dxlimnx dxfx dxf x dx 。InIaa定理 1 函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集。5黎曼积分和勒贝格积分性质的比较5.1 被积函数绝对可积性的比较我们都知道如果 f 在 a,b 上是可积的，那么 f 在 a, b 上也是可积的，这就说明了对于勒贝格积分来说， f 在 a, b 上可积与 f 在 a, b 上可积是相互等的，但是对于黎曼积分来说，这个性质反而不成立。例 1 f x1， x是有理数；，显然， f ( x) 在 0,1 上不是黎曼可积；但是-1， x是无理数f (x) 1 ， f (x) 在 0,1 上黎曼可积。5.2 被积函数的有界性的比较由定理 1 我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要成一零测集， 函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集， 简略说明，黎曼积分理论是针对连续函数或 “基本上” 连续的函数而建立， 同时说明可积函数必定是有界的。定理 2 如果函数f 黎曼可积，那么f 必定有界。