完整版高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练推荐文档Word下载.docx

1、率是（ ）.4A. B. C. D.1 a 2 2 2 = a2【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为.故选 B.p例 2 在区间0, 5 上随机地选择一个数的概率为 .，则方程x2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根 = 4 p2 - 4（3 p - 2） 0x + x = -2 p 【解析】方程 x2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是 即 p 1,或 p 2 ，又因为 p 0, 5 ，所以使方程 x2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的

2、 p2 （1- 2） + （5 - 2）2.的取值范围为（ ,1 2, 5 ，故所求的概率 3 = 2 ，故填：3 5 - 0 3【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与 x 轴负半轴有两个交点.从而得到参数 p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.题型三 抽样与样本数据特征例 1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 ，400， 300 ，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取30

3、0 601000= 18 （件）例 2 已知样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的均值 x = 5 ，则样本数据2x1 +1 ， 2x2 +1 ， ， 2xn +1 的均值为 【答案】11因为样本数据x1 ， x2 ， ， xn 的均值x = 5 ，又样本数据2x1 +1 ，2x2 +1， ， 2xn +1的和为2（x1 + x2 + + xn ）+ n ，所以样本数据的均值为2x +1 11.例 3 某电子商务公司对10000 名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3，0.9 内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a = .（2）在

4、这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9 内的购物者的人数为 .万万/万万a2.52.01.50.80.20.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 万万/万万【答案】 a = 3 人数为0.6 10000 = 6000【解析】 由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2 0.1+ 0.8 0.1+1.5 0.1+ 2 0.1+ 2.5 0.1+ a 0.1 = 1 ，解之得a = 3 .于是消费金额在区间0.5，0.9内频率为0.2 0.1+ 0.8 0.1+ 2 0.1+ 3 0.1 = 0.6 ，所以消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为0.6 10000 = 60

5、00 .例 4 某城市100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180），180, 200）， 200, 220）， 220, 240）， 240, 260）， 260, 280）， 280, 300分组的频率分布直方图如图所示万万0 . 0120.0110.0095x0.0050.00250.0020 160 180 200 220 240 260 280 300 万万万万万万/万（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220, 240）， 240, 260）， 260, 280）， 280, 300的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取

6、11户居民，则从月平均用电量在220, 240）的用户中应抽取多少户？【答案】见解析（1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025） 20 = 1 ，得 x = 0.0075 220 + 240 = 230（2）由图可知，月平均用电量的众数是 .因为（0.002 + 0.0095 + 0.011） 20 = 0.45 所以月平均用电量的中位数在220, 240）内.设中位数为a ，由（0.002 + 0.0095 + 0.011） 20 + 0.0125（a - 220）= 0.5 ， 得a = 224 ，所以月平均用电量的中位

7、数是224 .（3）月平均用电量为220, 240）的用户有0.0125 20 100 = 25 （户）；月平均用电量为240, 260）的用户有0.0075 20 100 = 15 （户）；月平均用电量为260, 280）的用户有0.005 20 100 = 10 （户）；月平均用电量为280, 300的用户有0.0025 20 100 = 5 （户）.11=25 +15 +10 + 5抽取比例为 ，所以从月平均用电量在220, 240）的用户中应抽取25 1 = 5 （户）【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题,

8、一般可以转化为比较两个指标的大小.题型四 回归与分析例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图万万 1.80万 1.60万 1.40万 1.201.00y0.801 2 3 4 5 6 7年份代码t（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说明（2）建立 y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01 ），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：7y = 9.32 ，i=1（ y - y ）it y = 40.17 ， = 0.55 ， 2.646 . i i in（ti - t ）（ yi - y ）（

9、t - t ） （y - y）参考公式：相关系数r = i=1 回归方程 y = a + b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：（ti - t ）（ yi - y ） b = i=1 a= y - bt .（ti - t ）27 2（1）由折线图中数据和附注中参考数据得t = 4 ， （ti - t ） = 28 ，（y - y）= 0.55 ，7 （t - t ）（y - y ）= 7 t y - t7 y = 40.17 - 4 9.32 = 2.89 2.89 .， r 0.99i i i i i 0.55 2 2.646i=1 i=1 i=1因为 y 与t 的相关系数近似为0.

10、99 ，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系.7 7 7 7（ti - t ）（ yi - y） 7ti yi - ti yi（t - t ） （ y - y）（t - t ）i=1 （ y - y）（1）变量 y 与t 的相关系数r = i=1 = i=1 i=1 ，7 （t - t ） 27 7 7 又ti = 28 ， yi = 9.32 ， ti yi = 40.17 ， = 2 = 5.292 ，所以r = 7 40.17 - 28 9.32 0.997 5.292 0.55 ，故可用线性回归模型拟合变量 y 与t 的关系.t y - 7

11、t y 11 7 7i i 40.17 - 7 4 7 9.32（2） t = 4 ， y = y ，所以b= i=1 = = 0.10 ，7 i=1 i7t 2 - 7t 2 28a = y - bx = 1 9.32 - 0.10 4 0.93 ，所以线性回归方程为 y = 0.1t + 0.93 .当t = 9 时， y= 0.1 9 + 0.93 = 1.83 .因此，我们可以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理1.83 亿吨.【易错点】没有读懂题意,计算错误.【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据. 题型五 独立性检验甲乙丙丁r0.820.780.690

12、.85m115106124103例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的线性相关性？（ ） A甲 B乙 C丙D丁【答案】D【解析】 D 因为 r0 且丁最接近 1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数 r 的绝对值越趋向于 1,相关性越强.残差平方和 m 越小相关性越强【巩固训练】1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2, 3, 4,5, 6 个点的正方体玩具） 先后抛掷2 次

13、，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 【答案】 5【解析】将先后两次点数记为（x, y ），则基本事件共有6 6 = 36 （个），其中点数之和大于等于10有（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6），共6 种， 则点数之和小于10 共有30 种，所以概率为30 = 5 36 62.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）.18151412B C D【答案】CP = 3 = 1 45

14、 15【解析】不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个， 随机选取两数有45 （种）情况，其中两数相加和为 30 的有 7 和 23，11 和19，13 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得 .故选C .3.袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出P = 5只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【解析】1 只白球设为a ，1 只红球设为 b ， 2 只黄球设c 为， d ，则摸球的所有情况为（a,b） ， （a, c）， （a, d ）， （b,c）， （b,d ）， （c, d ），共 6

15、件，满足题意的事件为（a,b） ， （a, c）， （a, d ）， （b,c）， （b,d ），共 5 件，故概率为 P = 5 题型二 几何概型1.某公司的班车在 7:00，8:30 发车，学.小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概A.F（1） 1B. 1F（1）C.F（2） 2D. 3【答案】B【解析】 如图所示，画出时间轴.7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的

16、时间不超过10 分钟.根据几何概型，所求概率P = 10 +10 = 1 .故选 B.40 22.从区间0 , 1随机抽取 2n 个数 x1 ， x2 ， xn ， y1 ， y2 ， yn ，构成 n 个数对（x1, y1 ）， （x2 , y2 ） ，（xn , yn ），其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）.4n 2n 4m A.m B. m C.2m nn D.【解析】由题意得： （xi yi）（i =1 n）在如图所示方格中，而平方和小于 1 的4 = m = 4m点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知 1 n ，所

17、以Cn .故选3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，AB三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 ， AC ， ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1 ，p2， p3 ，则p1 = p2 + p3p2 = p3p1 = p3p1 = p2【答案】A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较，区域面积即可.设直角三角形 ABC 的三个角 A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，则区域的面积为 S1= 1 ab ，区域的面积为1 1 2 1 1

18、2 1 1 1 2 1 S2 = 2 2 c + 2 2 b + 2 ab - 2 2 a = 2 ab ，区域的面积为 S = 1 1 c + 1 1 b - 1 ab = 1 a2 - 1 ab .3 2 2 2 2 2 8 2 显然 p1 = p2 .故选 A.题型三 抽样与样本的数据特征1.已知一组数据4 ， 6 ， 5 ， 8 ， 7 ， 6 ，那么这组数据的平均数为 【答案】10【解析】平均数x = 1 （4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 6）= 6 62.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3,

19、 0.9 内，其频率分布直方图如图所示.（）直方图中的a = ；（）在这些购物者中，消费金额在区间0.5, 0.9 内的购物者的人数为 .【答案】3；6000【解析】频率和等于 1 可得0.2 0.1 + 0.8 0.1 + 1.5 0.1 + 2 0.1 + 2.5 0.1 + a 0.1 = 1 ， 解之得a = 3 .于是消费金额在区间0.5, 0.9 内频率为0.2 0.1 + 0.8 0.1 + 2 0.1 + 3 0.1 = 0.6 ，所以消费金额在区间0.5, 0.9 内的购物者的人数为： 0.6 10000 = 6000 ，故应填3；6000.3.我国是世界上严重缺水的国家，某

20、市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0, 0.5）， 0.5,1）， ， 4, 4.5）分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使85% 的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.（1）由频率分布直方图知，月均

21、用水量在0，0.5）中的频率为0.08 0.5 = 0.04 ，同理，在0.5,1），1.5, 2），2，2.5）， 3，3.5），3.5，4），4，4.5）中的频率分别为0.08 ， 0.20 ， 0.26 ， 0.06 ， 0.04 ， 0.02 .由0.04+0.08+0.5 a + 0.20 + 0.26 + 0.5 a + 0.06 + 0.04 + 0.02 = 1 ，解得 a = 0.30 .（2）由（1）， 100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12 .由以上样本的频率分布，可以估计全市30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数

22、为 300000 0.12 = 36000 .（3）因为前 6 组的频率之和为 0.04 - 0.08 - 0.15 - 0.20 - 0.26 - 0.15=0.88 0.85 ，而前5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15 - 0.20 - 0.26=0.73 0.85 ，所以 2.5 x 3.由0.3（x - 2.5）= 0.85 - 0.73 ，解得x = 2.9 .1.收入 x （万元）8.28.610.11.11.9支出 y （万6.27.58.08.59.8为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方

23、程，其中，据此估计，该社b= 0.76,a= y -bxy= bx+ a区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ）A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元D12.2 万元【解析】由已知得x = 8.2 + 8.6 +10.0 +11.3 +11.9 = 10 5y = 6.2 + 7.5 + 8.0 + 8.5 + 9.8 = 8 5（万元），（万元），故a = 8 - 0.76 10 = 0.4 ，所以回归直线方程为y = 0.76x + 0.4 当社区一户收入为 15 万元，家庭年支出为0.4 = 11.8y = 0.76 15 +（万元）故选 B2.为了研究某班学生的脚长x

24、（单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与x 之间有线性相10关关系，设其回归直线方程为 y= bx+ a已知xi= 225 ， yi = 1600 ， b= 4 该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ）.A. 160 B. 163 C. 166 D.170故选 C.x = 22.5 ， y = 160 ，所以a = 160 - 4 22.5 = 70 ， x = 24 时， y = 4 24 + 70 = 166 .3.t某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y （单位：）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费xi 和年销售量计量的值yi （i = 1, 2,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统万万万万/t62060058056054052050048034 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56万万万万/万万 wi =xi w8 （ ）2x