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1、湘教版七年级下册数学知识点梳理湘教版七年级数学下册知识点归纳第一章 二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是 1 的方程，叫二元一次方程。如：2X+3y=18,x+y=3,5x+2y=23,8x+2y=11 等二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。如2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等 （即等式成立）的两个未知数的值， 叫二元一次方程的解。使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相

2、等的两个未知数的值， 叫二元一次方程组的解。注：、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解， 一般地， 只有唯一的一组， 但也可能有无数组或无解（即无公共解）。二元一次方程组的解的讨论：a1x + b1y = c1 已知二元一次方程 组a2x + b2y = c2、 当 a1/a2 b1/b2 时，有唯一解；、 当 a1/a2 = b1/b2 c1/c2 时，无解；、 当 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 时，有无数解。x + y = 4

3、 x + y = 3例如：对应方程组：、 、 、x + y = 43x - 5y = 9 2x + 2y = 5 2x + 2y = 8例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：a + b = 2 x = 4 3t + 2s = 5、 、 、 、x = 11b + c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 01 / 273、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：用含 X的代数式表示 Y，就是先把 X看成已知数，把 Y看成未知数； 用含 Y的代数式表示 X，则相当于把 Y看成已知数，把 X看成未知数。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含 x 的代数式表示 y 为

4、：_,用含 y 的代数式表示x 为:_。4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：、未知数的指数为 1，、未知数前的系数不能为 0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是关于 x、y 的二元一次方程，求a、b 的值。5、求二元一次方程的整数解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法， 可以求出方程有正整数解时 x、y 的取值范围，然后再进一步确定解。x = 3再 例 ： 、 如 果 是方程组 ax - 2y = 5y = - 12x + by = 3的解，求 a-b 的

5、值。、甲、乙两人共解方程组ax + 5y = 15, 由于甲看错了方程中的 a， 得到的方程组的解4x - by = -2, x = - 3,为 乙看错了方程中的 b，得到的方程组的解为y = - 1,x = 5,y = 4,试计算 a2009 + (-b/10)2010 的值。2 / 27二、二元一次方程组的解法消元 （整体思想就是： 消去未知数， 化“二元” 为“一元”）1、代入消元法 ：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 代入消元法，简称 代入法 。注：代入法解二元一次方程组的一般

6、步骤为：、从方程组中选一个系数比较简单的方程， 将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！ ），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。2、加减消元法 ：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次

7、方程组的解，这种方法叫 加减消元法 ，简称 加减法 。注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：、方程组的两个方程中， 如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时， 就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数） ，使同一未知数前的系数相反或相等；、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中， 求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。例：解方程组：、 4y(2y + x + 16)/2 = -6x 、

8、x/2+ y/3 = 13/22y + 3x = 7 2x - y x/3 y/4 = 3/23 / 273、用换元法解方程组：根据题目的特点， 利用换元法简化求解， 同时应注意换元法求出的解要代回关系式中， 求出方程组中未知数的解。5/(x+1) + 4/(y-2) = 2 例：、解方程组：7/(x+1) 3/(y-2) = 13/202a-3b = 13 a = 8.3、已知方程组 的解是 ，则方程组3a+5b = 30.9 b = 1.22(x+2)-3(y-1) = 133(x+2)+5(y-1) = 30.9的解是：（ ）x = 8.3y = 1.2x = 10.3 x = 6.3A

9、、 B 、 C 、 D 、y = 2.2 y = 2.2x = 10.3y = 0.24、用整体代入法解方程组：2x - y = 6 例：解方程组：(x+2y)(4x 2y)= 192 解：5、另外几种类型的例题：（1）、已知代数式 x2+ ax + b ，当 x = -1 时，它的值是 5，当 x =1 时，它的值是 -1 ，求当 x=2 时，代数式的值。（ 2 ）、 已 知 方 程 组 与 有相同的解，求 m，n 的值。x - 2y = 5 5x + y = 35x + ny = 1 mx + 5y = 44 / 27（ 3 ） 、 已 知 方 程 组 3x - 5y = 2m 的解 x、

10、y 互为相反数，求 m、x 以2x + 7y = m-18 及 y 的值。2x - y = k（4）、关于 x、y 的方程组 的解，也是方程 2x + y = 3 的解，求 k 的值。3x + y = k+1（5）、某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨。现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后的利润为 2000 元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？三、实际问题与二元一次方程组1、利用二元一次方

11、程组解实际应用问题的一般过程 为：审题并找出数量关系式 设元（设未知数） 根据数量关系式列出方程组 解方程组 检验并作答 （注意：此步骤不要忘记）2、列方程组解应用题的常见题型：（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量= 倍数 倍量；5 / 27（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 时间，包括相遇问题、追及问题等；（4）、航速问题：、顺流（风） ：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速；、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 水（风）速；（5）

12、、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率 工作时间， （有时需把工作总量看作 1）；（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量 （ 1+增长率）= 增长后的量，原量 （1-减少率） = 减少后的量；（7）、盈亏问题： 解这类问题的关键是从盈 （过剩）、亏（不足） 两个角度来把握事物的总量；（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。例 1：一批水果运往某地，第一批 360 吨，需

13、用 6 节火车车厢加上 15 辆汽车，第二批 440吨，需用 8 节火车车厢加上 10 辆汽车，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？例2：甲、乙两物体分别在周长为 400 米的环形轨道上运动， 已知它们同时从一处背向出发，25 秒后相遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体，则再过 3 分钟后才赶上甲，假设甲、乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。6 / 27例3：甲、乙二人分别以均匀速度在周长为 600 米的圆形轨道上运动，甲的速度比乙大，当二人反向运动时，每 150 秒相遇一次，当二人同向运动时，每 10 分钟相遇一次，求二人的速度。例 4：有两种酒精溶

14、液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3 ：7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 ：1，今要得到酒精与水的比是 3 ：2 的酒精溶液 50kg，求甲、乙两种溶液各取多少kg？例 5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果 1 立方米木料可制成方桌桌面 50 个，或制作桌腿 300 条，现有 5 立方米木料，请问，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此时，可以制成多少张方桌？7 / 27例 6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就会迟到 24 分钟，如果他以每小时 75 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。例

15、7：某农场有 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如右表：已知该农场计划投入资金 67 万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积才能使所有职工都有工作而且投入资金正好够用？农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金水稻 4 人 1 万元棉花 8 人 1 万元蔬菜 5 人 2 万元例8：某酒店的客房有三人间和两人间两种， 三人间每人每天 25 元，两人间每人每天 35 元，一个 50 人的旅游团到该酒店租了若干间客房， 且每间客房恰好住满， 一天共花去 1510 元，求两种客房各租了多少间？8 / 27例 9：

16、某山区有 23 名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要 a元，资助一名小学生的学习费用需要 b元。某校学生积极捐款， 初中各年级学生捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学生和小学生人数的部分情况如右表：（1）、求 a、b 的值；（2）初三年级的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请分别计算出初三年级的捐款所资助的中学生和小学生人数。捐款数额 捐助贫困中学生人 捐助贫困小学生人年级 （元） 数 数（名） （名）初一年级 4000 2 4初二年级 4200 3 3初三年级 7400四、三元一次方程组的解法1、概念： 由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方

17、程中含有的未知数的次数都是 1 次，这样的方程组叫 三元一次方程组 。注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程， 只需满足 “方程组中共含有三个未知数”的条件即可。2、解三元一次方程组的基本思想：三元一次方程组消元 ( 代入法、加减法 )二元一次方程组消元 ( 代入法、加减法 )一元一次方程9 / 273x + 4y + z = 14例 1：解方程 组x + 5y + 2z = 173x + 4z = 72x + 3y + z = 92x + 2y - z = 3 5x 9y + 7z = 8例 2：在 y = ax 2+bx+c 中，当 x=1 时，y=0；x=2 时，y=3；

18、x=3 时,y=28 ，求 a、b、c 的值。当 x = -1 时，y 的值是多少？例 3：甲、乙、丙三数之和是 26，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大 18，求这三个数。例 4：小明从家到学校的路程为 3.3 千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小时行 3 千米，平路每小时行 4 千米， 下坡路每小时行 5 千米，那么小明从家到学校需要 1 小时，从学校回家只需要 44 分钟。求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？10 / 27第二章 整式的乘法1同底数幂的乘法： am an=am+n ，底数不变，指数相加 .2幂的乘方与积的乘方： (am

19、) n=amn ，底数不变，指数相乘； (ab) n=anbn ，积的乘方等于各因式乘方的积 .3单项式的乘法 ：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里.4单项式与多项式的乘法： m(a+b+c)=ma+mb+mc，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.5多项式的乘法： (a+b) (c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .6乘法公式：（1）平方差公式： (a+b)(a-b)= a2-b 2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；（2）完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2,

20、两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的 2 倍； (a-b)2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的 2 倍； (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc ，略.7配方：2p（1）若二次三项式 x2+px+q是完全平方式 , 则有关系式： q2； （2）二次三项式 ax 2+bx+c 经过配方，总可以变为 a(x-h)2+bx+c 经过配方，总可以变为 a(x-h)2+k 的形式，利用 a(x-h) 2+k可以判断 ax2+bx+c 值的符号； 当 x=h 时，可求出 ax2+bx+c 的最大（或最小）值 k.21 1 2 .x x

21、（3）注意： 22 xx8同底数幂的除法： am an=am-n ，底数不变，指数相减 .9零指数与负指数公式 :1 ,(a 0). 注意：0（1）a ，0无意义；na（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于 1 的数，例如： 0.0000201=2.01 10-5 .11 / 27第三章 因式分解1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式 几个整式的积例：1 1 1ax bx x(a b)3 3 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：定义： 如果多项式的各项有 公因式 ，可以把这个公因式

22、提到括号外面， 将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数 取各项系数的最大公约数字母 取各项都含有的字母指数 取相同字母的最低次幂例：3 3 3 2 3 4 2 212a b c 8a b c 6a b c 的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8、6，它们的最大公约数为 2；字母部分3 3 , 3 2 3 , 4 2 2a b c a b c a b c 都含有因式3 2a b c ，故多项式的公因式是 23 2a b c .提公因式

23、的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把2 2 3 312a b 18 ab 24a b 分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故公因式为 6ab。2 2 3 3解：12a b 18 ab 24a b2 26ab(2a 3b 4a b )12 / 27例 2：把多项式 3( x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于 4 x (x 4) ，多项式 3

24、(x 4) x(4 x)可以变形为 3(x 4) x(x 4) , 我们可以发现多项式各项都含有公因式（ x 4）, 所以我们可以提取公因式（ x 4）后, 再将多项式写成积的形式 .解：3(x 4) x(4 x)=3(x 4) x(x 4)=(3 x)( x 4)例 3：把多项式2 2x x 分解因式解：2 2x x =2(x 2x) x(x 2)（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。2 2a.逆用平方差公式： a b (a b)( a b)2 2 2 逆用完全平方公式： ab. 2ab b (a b)3 3 2 2c逆用

25、立方和公式： a b a b a ab b （拓展）. ( )( )3 3 2 2d. a b (a b)( a ab b )逆用立方差公式： （拓展）注意 ： 公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 若多项式是二项式可考虑平方差公式； 若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1：因式分解2 14 49a a解：例 2：因式分解2 2 ( ) ( ) 2a a b c b c解：（3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式 ab a b 1 分解因式解：ab a b 1 =(ab a) (b 1) =a(b 1)

26、 (b 1) (a 1)( b 1)13 / 27将多项式分组后能运用公式进行因式分解 .例：将多项式2 2 1 2a ab b 因式分解解：2 2 1 2a ab b2 2 2=(a 2ab b ) 1 (a b) 1 (a b 1)(a b 1)（4）十字相乘法（形如2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q 形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数 p和q，这两数的和 p q 为一次项系数2 ( )x p q x pqx px q 2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q例：分解因式2 30x x 分解因式2 52 100x x补

27、充点详解 补充点详解我们可以将 -30 分解成 p q 的形式， 我们可以将 100分解成 p q 的形式，使 p+q=-1, p q=-30, 我们就有 p=-6, 使 p+q=52, p q=100,我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5 。 q=50 或 q=2,p=50。所以将多项式2 ( )x p q x pq 可以分 所以将多项式2 ( )x p q x pq 可以分解为(x p)( x q) 解为 (x p)( x q)x 5 x 2x -6 x 502 30x x (x 6)( x 5)2 52 100x x (x 50)( x 2)3. 因式分解的一般步骤：如果多项式

28、有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四14 / 27项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法， 最后运用十字相乘法分解因式。 因此，可以概括为：“ 一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意 ：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止， 否则就是不完全的因式分解， 若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解， 应该是指在有理数范围内因式分解， 因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式 。一、 例题解析提公因式法提取公因式： 如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面 .确定公因式的方法：系数 取多项式各项系数的最大公约数；字母( 或多项式因式 ) 取各项都含有的字母 ( 或多项式因式 ) 的最低次幂 .【例 1】分解因式：2n 1 2n15 10a a b ab b a ( n 为正整数)2n 1 m n 2 m 14a b 6a b ( m 、n 为大于 1 的自然数 )【巩固】 分解因式：2n 1 2n 2n( ) ( )( )