第六讲现代逻辑之布尔德摩根和皮尔士的逻辑学说提纲Word格式文档下载.docx

1、（3）现代形式逻辑的大致划分及主要人物大致划分为三阶段：奠基和初创时期 自19世纪上半叶起至19世纪中后期弗雷格之前，持续了大约三、四十年，是现代形式逻辑的奠基和初创时期。主要代表人物有布尔、德摩根、皮尔士等。完善和系统化时期 从19世纪70年代到20世纪30、40年代，约六、七十年时间，现代形式逻辑，尤其是作为基础的数理逻辑得到了逐步完善和系统化。主要代表有弗雷格和罗素。进一步发展时期 从20世纪30年代起至现在，为现代逻辑的进一步发展时期。在这一阶段，现代逻辑的发展表现出了新的发展方向与发展趋势。（第六讲：现代逻辑之一布尔、德摩根和皮尔士的逻辑学说）1. 布尔把逻辑变成代数1.1生平著述简

2、介布尔（1815-1864）,十九世纪英国著名数学家和逻辑学家。布尔在当时学术界影响较大：1844年发表论文关于分析中的一个普遍方法，并因此获皇家学会的奖章；1849年任考克皇后学院教授；1857年被选为英国皇家学会会员。主要逻辑著作: a、逻辑的数学分析：论一种演绎推理的演算法（The Mathematical Analysis of Logic） （1847）。（1847）在该著作中布尔强调：数学的本质特征在于其形式，而不在于其内容；数学不（像今天某些字典所主张的）仅是“计量和数的科学”，而是广泛得多，包括符号连同在那些符号上运算的严格规则（这规则只受内部一致性需要的约束）的任何研究。b、

3、思维规律:逻辑和概率的数学理论（Investigation of the Laws of Thought）（1854）；在其中，他建立了形式逻辑和一种新代数集合代数，今天以布尔代数（Boole analgebra）著称。c、以及由R.里斯编辑的布尔手稿汇编逻辑与概率研究（1952）1.2主要逻辑学贡献首创了数理逻辑发展史上第一个比较成熟的逻辑演算-逻辑代数（直观而言即“逻辑的代数演算”）,又称布尔代数。1.2.1布尔创建逻辑代数的思想基础A.莱布尼茨及其后继者兰勃特 B.汉密尔顿和德摩根 C.皮考克 1.2.2布尔创建逻辑代数的基本思路既然代数理论的有效性并不依赖于对使用符号所作的解释，而只是

4、依赖于符号的结合规律；同时逻辑关系和某些数学运算有类似的性质,（例如逻辑的概念、命题、推理和代数的字母、方程、变换等有某种形式的类似，概念、命题的析取与合取跟数字的加法与乘法有某种相似之处,）因此，如果将代数中符号的解释推广到更广泛的逻辑领域，就可以构造出一个思维的演算。1.2.3”布尔代数”的概念界定狭义上说,在逻辑代数中,不做任何具体解释的最抽象的理论体系被称为布尔代数,它是一个抽象的代数系统。（王雨田的现代逻辑科学导引：“这里说的代数系统需要满足三个条件：a、有一个非空集合S；b、有一些建立在集合S上的运算；c、这些运算在集合S上是封闭的。广义上说，有些人还把上述狭义的布尔代数连同对之加

5、以具体解释和应用后所得到的各种系统统称为布尔代数。比如真值代数；命题代数；类逻辑代数；集合代数；开关代数；概率代数等等。1.2.4逻辑代数（B）的基本原理以及类的解释a.初始符号：大写字母X、Y、Z等表示类以及类中的个别分子；小写字母x、y、z表示从某个范围中选择所有X、所有Y和所有Z的结果，布尔称之为选择符号。另外，布尔用1表示可以想像的事物的全体，即全类；用0表示没有事物是它的分子的类，即空类。具体的或者个别的类由选择符号和1进行选择运算或限制运算而形成。我们知道，亚氏主要注重于一般的词项分析，其中既不包括涵盖全体事物的全类，也不包括排除任何对象的空类。全类和空类概念的提出无疑是对亚氏以来

6、“类”这一概念的重大扩展。b.基本运算及其运算符号：加法运算：记为，xy表示由x类和y类联合形成的一个新类，或者两个部分形成的一个整体，其中的分子或者属于x类，或者属于y类。和现在所说的并运算不同的是，布尔代数中的相加的两类或者部分不允许有共同的分子，也即它们的外延必须是相互排斥的。因此xy表示或者是x类的分子或者是y类的分子，但没有既是x类又是y类的分子。这其实相当于今天所说的无共同部分的并运算或逻辑学中的不相容析取。因此，在布尔那里，xx是不允许的。这一点和普通数学中的加法不同，数学中任何一个数都可以和自身相加。乘法运算：记为或者省略，xy或者xy表示同时属于x类和y类的分子构成的类，相当

7、于交运算或逻辑学中的合取。其实，布尔代数中的选择运算就是一种乘法运算，例如在全类1中选择x，表示为1x或者1x或者x，这实际上就是选取x类；另外xy其实是1xy的省略写法，是指从全类中选取既是x又是y的分子组成新类。可见，在布尔那里，表示运算和运算结果的符号是不加区分的。补运算：这个运算是相对于全类1而言的，x相对于1的补（简称x的补）是指由属于全类但不属于x类的分子构成的类，即由所有非x的分子构成的类，记为1x，相当于x或x。有了补运算的严格定义，我们再看一下布尔的xy，严格来讲，它表示的其实是x（1y）y（1x）。另外，在实际的应用中我们还会遇到两个相容的类的整体，使用布尔的记法，可以表示

8、为：x（1y）y（1x）xy。在补运算的基础上，布尔定义了减法运算。减法运算：减法运算是加法运算的逆运算，定义为：xydfx（1y），表示属于x但却不包含y的分子的对象构成的类。这一运算要求y包含在x之中，否则没有意义。同时，由于布尔代数规定“xy”中x和y是不相容的，因此，如果xyz，那么zxy也成立。这表明，在布尔那里和是严格的相反的。除法运算：除此之外，布尔也曾提出和乘法相对应的除法运算，x除y记为y/x。这一运算在他的函项的展开和求解中有用，但布尔并未对之作出相应的解释。因此，在他那里，除法被称作未解释的运算符号。相等关系：布尔没有给出表示类的包含关系的符号，他采用了数学中的等号即“”

9、来表示类似的关系。这是布尔代数中的基本关系。xy表示x和y两个类外延相同或它们具有相同的分子。c.初始公理在规定了代数系统的初始符号和基本运算及其记法的基础上，布尔给出了系统的基本原理，或称初始公式或初始公理。共有10个。 xyyx （合取或交运算的交换律） xyyx （析取或并运算的交换律） x（yz）xyxz （交对于并的结合律） x（yz）xyxz 如果xy，则xzyz 如果xy，则xzyz 如果xy，则xzyz8 xxx或x2x，一般的xnx9 x（1x）010 x1或x0以上10个公式中，前面7个是和普通代数的有关规则相似，而后面3个是逻辑代数的特有规则或特征公式。其中：式：xxx或

10、x2x，一般的xnx称为指数律，（类似于莱布尼茨的AA）是说对同一对象连续进行两次甚至多次选取，其结果是不变的。如果说前面7个公式和普通代数的有关公式极其类似，那么这个指数律却与普通代数有着本质的区别，我们甚至可以说布尔整个逻辑体系都建立在这一规则之上。既然xxx总是为真，进一步，布尔根据通常的代数规则把这个方程式因式分解，得到：式：x（1x）0，该式用语言描述就是：没有任何东西可以既属于又不属于一个给定的类x。对布尔来说，这显然是一个令人振奋的结果！因为这恰恰是传统逻辑中矛盾律的表达式。而这之前，矛盾律始终被视为一切原理中最确定无疑的、是被用于论证时的最终的依据。布尔发现，这样一个早期逻辑学

11、发展的重要里程碑，原来只不过是他的新观念的一个特殊应用而已。这一公式的发现，使他确信自己的路走对了。式的确是矛盾律在类代数中的表达式，但布尔并没有给出从到的推论之所以有效的确切依据。一方面，这一过程并不依赖之前的公式，另一方面，虽然很明显他是运用了因式分解（在马玉珂的西方逻辑史中称之为“移项规律”），但对因式分解规则本身，他并没有在类代数中给出解释。按照1-9建立起来的系统是类解释的系统,但这一系统并没有假定任何一个类必须取全类或空类为值,所以它并不是一个二值系统。但是进一步，布尔从式得到：式 x1或x0 这显然是一个不相容析取，意思是任一个类或者是全类或者是空类。并且前面9个公式对这一解释也

12、成立。这样，他的代数就成为一个二值代数系统。但这对于类代数而言，显然又是一个假解释，因为不能说每个类就或者是全类或者是空类。换言之,包括公式在内的系统不允许作类解释。但布尔并没有明确区分这两个系统。1.2.5逻辑代数对古典形式逻辑的处理布尔在构造了逻辑代数系统之后，进一步用它来处理了古典形式逻辑中的直言命题及其推理。具体内容如下：a.传统直言命题的逻辑代数表示：A命题：x（1y）0（直观意思就是：属于x但同时不属于y的对象是不存在的，即所有x都是y。）E命题即“没有x属于y”的布尔表达：xy0（直观理解是“属于x同时又属于y的对象是没有的”）I命题：xyv（这里的v是指含有不固定的分子的类，直

13、观意思是：同时属于x又属于y的对象是存在的。O命题：x（1y）v（直观意思：属于x但不属于y的对象是存在的。b.逻辑代数对传统词项逻辑中直接推理的处理（包括换位法和换质法以及对当关系中的差等律）其中，换位法包括：A命题的限制换位：由x（1y）0（1y）x0，而此式的解是xvy，因为将该解代入原式中，得到（1y）vy0依然成立。（这里是否依据展开式vyvy2vyvy0）所以，由x（1y）0可以得到xvy，而此式的直观解释是“有y是x”。E命题和I命题的简单换位：布尔的解释是，既然在xy0和xyv中，x和y是对称的，那么，x、y相互交换位置后等式仍然成立。即yx0和yxv，而它们的含义分别是：所有

14、y不是x和有y是x。换质法包括：A命题的换质：将x（1y）0理解为“无x是非-y”（所有x都不是非-y）E命题的换质:把xy=0改写为:x（1-（1-y）=0,直观理解是:所有x是非-y。I命题的换质: xyv改写为: x（1-（1-y）=v直观理解是:有x不是非-y。O命题的换质:x（1y）v还可以理解为:有x是非-y。另外，布尔还考虑了逻辑方阵中的差等律的推理：从A到I : 把A命题x（1y）0的两边同时乘以v得到 : vx（1y）0, 理解为有x是y。从E到O : 把E命题xy0的两边同时乘以v得到 : vxy=0,理解为有x不是y。c.逻辑代数对传统三段论的处理运用布尔的逻辑代数方法可

15、以很容易地处理亚氏的三段论。换言之,运用他关于直言命题的代数表示方法，给出三段论的两个前提,经过确定的运算规则,可以得到确定的结论。下面我们以第一格的AAA式为例加以说明。亚氏三段论 布尔代数所有X都是Y X（1-Y）=0 所有Y都是Z Y（1-Z）=0 所以,所有X都是Z。 X（1-Z）=0 下面我们看看如何从经过运算得到。由展开得到:X-XY=0 进而X=XYY-YZ=0 进而Y=YZ把Y=YZ代入X=XY得到X=X（YZ） 运用结合律得到X=（XY）Z 再把X=XY代入,即可得到X=XZ, 而这显然就是当然,并不是每个三段论都有效,布尔的逻辑代数运算同样可以处理无效的三段论形式。例如,把

16、上例中的前提和结论交换位置,得到的就是一个无效的推理式。1.2.6逻辑代数的形式研究逻辑函项及其运算布尔运用代数方法处理传统逻辑的内容只不过为他的新观念提供了一个证明,他构造逻辑代数的最终目的是要建立逻辑演算。他把前面的几个初始公式作为出发点,并提出了建立演算的程序,方法和规则。具体来说,布尔的逻辑演算是使用符号化的方法把推理的前提转换为一组公式,再使用推演的规则得出推理结果。布尔称之为公式的展开和求解。1.2.7逻辑代数的命题解释和概率解释逻辑代数是一种可以作各种解释的抽象演算,除了对它作出类的解释和二值代数的解释外,布尔还对之作出了命题解释和概率解释。a.逻辑代数的命题解释命题代数（M）布

17、尔反驳亚氏逻辑的另一方面在于，亚氏逻辑仅仅局限于主谓式逻辑，而忽略了命题逻辑。布尔把他的逻辑代数运用于命题逻辑得到了命题逻辑代数，简称命题代数。我们知道，命题演算作为数理逻辑的最基本的也是最重要的组成部分之一，主要研究关于简单命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及判定命题推理是否有效的程序、方法等内容。布尔的思路是：如果把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复合命题的过程，以及运用推理规则由前提得出结论的过程，都可以处理为逻辑运算的过程，这就是命题的演算。这样的逻辑运算也同代数运算一样具有

18、一定的性质，满足一定的运算规律。（例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、德摩根定律、三段论定律等等。）利用这些规律，我们可以简化复合命题，可以进行逻辑推理，可以推证复合命题之间是不是等价等等。b.逻辑代数的概率解释除了命题代数之外，布尔还用他的代数系统解释事件运算形成了概率代数。1.3简要评述（特征、主要贡献和后世影响及其缺陷）1.3.1布尔逻辑代数的特征a.对逻辑基本方法的外延概括：从而使得这种方法能够解决之前的逻辑学说难以解决的极其复杂的问题。b.纯粹的数学化特征：由于布尔逻辑的纯粹的数学化倾向，我们可以看到，他建立的演算更象一种数学演算，而不象是对思

19、维过程的符号分析。1.3.2布尔逻辑代数的贡献和后世影响（五方面）a.布尔的主要贡献在于建立起了一种能够演算的抽象代数系统。当把这一抽象系统解释为类代数时，它能够处理亚氏推理，用演算方法表明这些推理的正确性；而当把布尔代数的逻辑符号解释为命题时，就能得到命题演算的逻辑。布尔建立的这套比较严谨的代数系统，可以说是对符号逻辑所作的开创性贡献。b.从逻辑史的角度说，布尔的逻辑代数主要以类代数的形式第一次实现了莱布尼茨关于逻辑的代数演算的设想。可以说这是数理逻辑发展史上第一个比较成熟的逻辑演算。正是布尔代数的建立和逐步完善，才使得逻辑演算以今天人们所熟悉的形态出现。在这个意义上,布尔被视为现代形式逻辑

20、或者数理逻辑的真正奠基者与初步创立者。c.布尔思想的划时代贡献：在前人的基础上，布尔较为完整清晰的阐释了代数中符号运算的本质，即演绎分析进程的有效性并不依赖于对所使用符号作出的解释，而只依赖于符号的结合规律；更为重要的，布尔提出了以不同方式解释同一体系的可能性。这至少表明，他并不象传统观点主张的那样，仅仅认为逻辑是从实际的思维进程中抽象出来的，而是把逻辑看成一种形式的构设，只是在这种构设之后才寻求对于这一形式构设的适合的解释。（而这正是现代逻辑的形式化特征所追求的目标）从这个意义上说，布尔的逻辑思想显然是对传统观念的颠覆。也正是由于这个原因，d.布尔逻辑代数极大地拓展了传统形式逻辑的范围。主要

21、表现之一就是，原来占统治地位的亚氏逻辑，尤其是作为其主体部分的三段论推理，只不过成为了类代数演算的一个部分。正如同布尔自己曾说的，凡是传统逻辑所能处理的问题，代数都能处理；而传统逻辑较难解决的问题，却可以用布尔代数很容易的解决。e.布尔的逻辑代数影响了同时代及后世逻辑学家对逻辑的形式化研究，从而推动了现代形式逻辑的进一步发展。1.3.3布尔逻辑代数的局限从另一个方面说，布尔代数作为一种逻辑还是很不成熟的。a.它的特征或者缺点之一是太过数学化。他基本上是仿照数代数来建立他的逻辑代数的：不仅借用数代数中对变项的种种处理方法，而且系统演算的每一步，从运算符号、建立方程式到运算方法，如展开、求解、消除

22、等，都几乎是从数代数中照搬来的。这带来的问题之一是他的代数演算中的许多步骤和环节没有逻辑解释，例如他的分数式。过分数学化带来的另一问题是，布尔满足于从数代数中借用现成的运算符号，而没有为逻辑中一些常见的关系如蕴涵、否定等制定专门的符号。这使得他在处理命题和推理时都遇到很大困难，从而阻碍了布尔代数的简明化。当然，从逻辑发展史的角度看，这种过分数学化倾向也许是逻辑发展史中的一个必经阶段。b.受亚氏逻辑及其时代所限，布尔逻辑代数主要局限于以基本概念或词项为基础的类代数演算，这使得它的内容主要表现为具有现代形态的概念逻辑，而较少涉及更为根本的命题逻辑。因此，从最终意义上说，布尔并未走出亚氏的主谓式逻辑

23、。2.关系逻辑之父德摩根在布尔构造逻辑演算的同时，另一些逻辑学家也在着手进行推广古典形式逻辑的工作。英国逻辑学家德 摩根 （De Morgan） 就是其中的一位，他与同时代的布尔各自独立的建立了便于更加精密计算的符号逻辑。2.1生平著述简介德摩根（Augustus De Morgan，1806-1871）19世纪英国著名的数学家和逻辑学家。德摩根主要在哲学分析学、代数学、数学史以及逻辑学方面贡献较大。可以说，他的工作对19世纪的数学和逻辑学具有相当的影响力。概括来讲，他的逻辑贡献主要包括以下方面：逻辑学方面：a.他发展了一套适合推理的符号，并首创了关系逻辑的研究。b.他提出了论域的概念，并以代

24、数方法研究逻辑演算，这也成为后来布尔代数的先驱。c.他更对关系的种类及性质加以分析，对关系命题和关系推理有所研究，从而推出一些逻辑的规律及定理，突破了古典的主谓词逻辑的局限，这些都影响到以后数理逻辑的发展。主要著作有: 形式逻辑（1847） 三段论的结构和它的运用（1849）一个设定的逻辑体系的概要（1860）以及在剑桥哲学会学报上发表的一系列论文2.2主要逻辑贡献德摩根著称于逻辑学界的主要原因是冠有”德摩根律”的两条规律（De MOrgan Laws）：用现代符号表示如下（1）（pq） pq （析取否定式）（2） （pq） pq （合取否定式）这两条恰成对称的规律,已经被列为现代符号逻辑的一

25、对著名公式。德摩根并不是它们的最初发现者,这两个规律早在中世纪司各脱和威廉奥康那里就已经被发现。但毫无疑问的是,德摩根较早的对它们进行了公式化处理。另外，这两条定律还被理解为集合论的对偶原理的一个例证：如果A和B是全集的子集，则A和B的并的补集是A和B的补集的交；并且，A和B的交的补集是A和B的补集的并。用符号表示为：（AB）=AB，并且，（AB）=AB。（在这里，加一撇，表示补集）其实,德摩根的逻辑学贡献主要表现在关系逻辑方面,被公认为是关系逻辑的开创者和真正奠基人。2.2.1关系逻辑的创建德摩根对关系逻辑创建是建立在批判传统亚氏逻辑的基础上的。他指责以亚氏逻辑为代表的传统形式逻辑存在很大的

26、局限性，其主要表现之一就是：把一切命题都看作主谓式命题,都看作性质命题，而忽视了另外一种表示事物间关系的命题。而这类命题也应该进入逻辑学家的视野范围。另一方面,亚里士多德及其后继者的逻辑研究太过拘束于自然语言，而语言只不过是表达思想的一个并不完善的工具。这也导致了逻辑研究的不完善和不精确。由此，德摩根致力于关系命题的研究，企图建立一种和亚氏逻辑平行的关系逻辑。A.创建思路他批判亚氏及其后继者的逻辑研究太拘泥于自然语言，而自然语言作为表达思想的工具又不完善，由此，古典逻辑对思维形式的表述局限性太大，并不能涵盖人类思维形式的丰富内容，必须创建新的逻辑类型关系逻辑。B.具体内容（略）德摩根的关系逻辑

27、内容很丰富，他的讨论涉及到了关系的普遍性、关系间的关系以及关系的变换等方面。.关系理论的构成：关系者项x、y、z等（“关系名词”或“相对名词”）和关系项R；关系的种类对称关系（可逆关系）：一个关系和它的逆关系如果是同一种关系，那么该关系就具有对称性；即当aRb成立时，bRa也成立，那么R就是对称关系。传递关系：若xRy，yRz，则xRz。这时R就是传递关系。在他的著述中好像没有提到“自返关系”的概念.关系的基本运算：主要包括：关系积、逆关系、补关系等。关系逻辑的主要原理在引入了基本概念和基本运算的基础上，德摩根还给出了关系逻辑的一些主要原理。例如：A、“逆关系的补关系”等价于“补关系的逆关系”；B、“互逆关系的补关系仍然是互逆的”；C、“互补关系的逆关系仍然是互补的”；等说明：以上三条原理中，第一条是最基本、也是最重要的，完全可以通过补关系和逆关系的定义加以证明；而另外两条则是根据定义以及第一