第四章 MATLAB的数值计算功能Word下载.docx

1、b） 由根矢量创建多项式已知根矢量ar, 通过调用函数 p=poly（ar）产生多项式的系数矢量, 再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。例2：由根矢量创建多项式。将多项式（x-6）（x-3）（x-8）表示为系数形式的多项式。 a=6 3 8 %根矢量pa=poly（a） %求系数矢量ppa=poly2sym（pa） %以符号形式表示原多项式ezplot（ppa,-50,50）pa = 1 -17 90 -144ppa =x3-17*x2+90*x-144说明：（1）根矢量元素为n ，则多项式系数矢量元素为n+1； （2）函数poly2sym（pa） 把多项式系数矢量表达成

2、符号形式的多项式，缺省情况下自变量符号为x，可以指定自变量。 （3）使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。例 3： 由给定复数根矢量求多项式系数矢量。r=-0.5 -0.3+0.4i -0.3-0.4i;p=poly（r）pr=real（p）ppr=poly2sym（pr）p = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250pr =ppr =x3+11/10*x2+11/20*x+1/8含复数根的根矢量所创建的多项式要注意： （1）要形成实系数多项式，根矢量中的复数根必须共轭成对； （2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中，可能带有很小的虚部，此时可采用

3、取实部的命令（real）把虚部滤掉。如果需要进行系数表示形式的多项式的求根运算，有两种方法可以实现，一是直接调用求根函数roots，poly和 roots 互为逆函数。另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再求其特征值，该特征值即是多项式的根。c） 特征多项式输入法用poly函数还可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。条件：特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。例 2： 求三阶方阵A的特征多项式系数，并转换为多项式形式。a=6 3 8;7 5 6; 1 3 5Pa=poly（a） %求矩阵的特征多项式系数矢量Ppa=poly2sym（pa）Pa = 1.0000 -16.0000 38.0

4、000 -83.0000Ppa =注：n 阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n +1阶的。例 4： 将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。求 x3-6x2-72x-27的根a=1 -6 -72 -27r=roots（a）r = 12.1229 -5.7345 -0.3884MATLAB约定，多项式系数矢量用行矢量表示，根矢量用列矢量表示。2. 多项式的乘除运算（Multiplication and division of polynomial）向量的卷积与解卷积对应着多项式的乘除法，多项式乘法（卷积）用函数conv（a,b）实现， 除法（解卷积）用函数deconv（a,b）实现。长度为m的向量

5、a和长度为n的向量b的卷积定义为：C（k）=C向量的长度为：m+n-1解卷积是卷积的逆运算，向量a对向量c进行解卷积将得到商向量 q和余量r，并且满足：例1：a（s）=s2+2s+3, b（s）=4s2+5s+6,计算 a（s）与 b（s）的乘积。a=1 2 3; b=4 5 6; %建立系数矢量c=conv（a,b） cs=poly2sym（c,s） %建立指定变量为s的符号形式多项式c = 4 13 28 27 18cs =4*s4+13*s3+28*s2+27*s+18 展开（s2+2s+2）（s+4）（s+1） （多个多项式相乘）c=conv（1,2,2,conv（1,4,1,1）cs

6、=poly2sym（c,s） %（指定变量为s） 1 7 16 18 8s4+7*s3+16*s2+18*s+8求多项式s4+7*s3+16*s2+18*s+8分别被（s+4）,（s+3）除后的结果。c=1 7 16 18 8;q1,r1=deconv（c,1,4） %q商矢量， r余数矢量q2,r2=deconv（c,1,3）cc=conv（q2,1,3） %对除（s+3）结果检验test=（c-r2）=cc）q1 = 1 3 4 2r1 = 0 0 0 0 0q2 = 1 4 4 6r2 = 0 0 0 0 -10cc = 1 7 16 18 18test = 1 1 1 1 13. 其他

7、常用的多项式运算命令（Other computation command of polynomial）pa=polyval（p,s） 按数组运算规则计算给定s时多项式p的值。pm=polyvalm（p,s） 按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。r,p,k=residue（b,a） 部分分式展开，b,a分别是分子（numerator）分母（denominator）多项式系数矢量，r,p,k分别是留数、极点和直项矢量p=polyfit（x,y,n） 用n阶多项式拟合x，y矢量给定的数据。polyder（p） 多项式微分。 对于多项式b（s）与不重根的n阶多项式a（s）之比，其部分分式展开为：式

8、中：p1,p2,pn称为极点（poles），r1,r2,rn 称为留数（residues），k（s）称为直项（direct terms），假如a（s）含有m重根pj，则相应部分应写成：RESIDUE Partial-fraction expansion （residues）. R,P,K = RESIDUE（B,A） finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B（s）/A（s）. If there are no multipl

9、e roots,B（s） R（1） R（2） R（n） - = - + - + . + - + K（s） A（s） s - P（1） s - P（2） s - P（n）Vectors B and A specify the coefficients of the numerator and denominator polynomials in descending powers of s. The residuesare returned in the column vector R, the pole locations in column vector P, and the direct

10、terms in row vector K. The number of poles is n = length（A）-1 = length（R） = length（P）. The direct term coefficient vector is empty if length（B） n 可求出最小二乘解*欠定系统：（Underdetermind system） mn 可尝试找出含有最少m个基解或最小范数解MATLAB对不同形式的参数矩阵，采用不同的运算法则来处理，它会自动检测参数矩阵，以区别下面几种形式：*三角矩阵（Triangular Matrix）*对称正定矩阵（symmetrical

11、 positive determined matrix）*非奇异方阵（Nonsingular matrix）*超定系统（Overdetermind system）*欠定系统（Underdetermind system）1. 方阵系统：（Square array） m=n最常见的是系数矩阵为方阵a，常数项b为列矢量, 其解x可写成x=ab, x和b大小相同。 求方阵系统的根。a=11 6 7; 5 13 9; 17 1 8b=16 13 4x=aba = 11 6 7 5 13 9 17 1 8b = 16 13 4x = 3.9763 5.4455 -8.6303假如a,b为两个大小相同的矩阵

12、，求方阵系统的根。a=4 5 9; 18 19 5; 1 4 13b=1 5 12; 3 15 19; 7 6 10C=a*x 4 5 9 18 19 5 1 4 13 1 5 12 3 15 19 7 6 10 -3.6750 -0.7333 2.9708 3.7250 1.4667 -2.1292 -0.3250 0.0667 1.1958C = 1.0000 5.0000 12.0000 3.0000 15.0000 19.00007.0000 6.0000 10.0000若方阵a的各个行矢量线性相关（linear correlation），则称方阵a为奇异矩阵。这时线性方程将有无穷多组

13、解。若方阵是奇异矩阵，则反斜线运算因子将发出警告信息。2超定系统（Overdetermind system） mn 实验数据较多，寻求他们的曲线拟合。 如在t内测得一组数据y：t y0.0 0.820.3 0.720.8 0.631.1 0.601.6 0.552.2 0.50这些数据显然有衰减指数趋势： y（t）c1+c2e-t此方程意为y矢量可以由两个矢量逐步逼近而得，一个是单行的常数矢量，一个是由指数e-t项构成，两个参数c1和c2可用最小二乘法求得，它们表示实验数据与方程y（t）c1+c2e-t之间距离的最小平方和。 求上述数据的最小二乘解。将数据带入方程式y（t）c1+c2e-t中，

14、可得到含有两个未知数的6个等式，可写成6行2 列的矩阵e.t=0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.2;y=0.82 0.72 0.63 0.60 0.55 0.50;e=ones（size（t） exp（-t） %求6个y（t）方程的系数矩阵c=ey % 求方程的解e = 1.0000 1.0000 1.0000 0.7408 1.0000 0.4493 1.0000 0.3329 1.0000 0.2019 1.0000 0.1108 0.47440.3434带入方程得：y（t）0.4744+0.3434e-t用此方程可绘制曲线：t1=0:0.1:2.5; y1=ones（size（t1

15、）,exp（-t1）*cplot（t1,y1,b,t,y,ro）如果一个矩阵的行矢量是线性相关的，则它的最小二乘解并不唯一，因此，ab运算将给出警告，并产生含有最少元素的基解。3 .欠定系统: （Underdetermind system） mn欠定系统为线性相关系统，其解都不唯一，MATLAB会计算一组构成通解的基解，而方程的特解则用QR分解法决定。两种解法：最少元素解ab，最小范数解pinv（a）*b.例： 用两种方法求解欠定系统。对a和矢量b分别用ab和pinv（a）*b求解:a=1 1 1; 1 1 -1b=10 6p=abq=pinv（a）*b 1 1 1 1 1 -1 10 6 8

16、.0000 0 2.0000q = 4.0000三 逆矩阵及行列式（Revers and determinant of matrix）1 方阵的逆和行列式（Revers and determinant of square matrix）若a是方阵，且为非奇异阵，则方程ax=I和 xa=I有相同的解X。X称为a的逆矩阵，记做a-1，在MATLAB中 用inv 函数来计算矩阵的逆。计算方阵的行列式则用det函数。DET Determinant.DET（X） is the determinant of the square matrix X. Use COND instead of DET to t

17、est for matrix singularity.INV Matrix inverse.INV（X） is the inverse of the square matrix X. A warning message is printed if X is badly scaled or nearly singular.计算方阵的行列式和逆矩阵。a=3 -3 1;-3 5 -2;1 -2 1;b=14 13 5; 5 1 12;6 14 5;d1=det（a）x1=inv（a）d2=det（b）x2=inv（b）d1 = 1x1 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2.

18、0000 3.0000 1.0000 3.0000 6.0000d2 = -1351x2 = 0.1207 -0.0037 -0.1118 -0.0348 -0.0296 0.1058 -0.0474 0.0873 0.03772 广义逆矩阵（伪逆）（Generalized inverse matrix）一般非方阵无逆矩阵和行列式，方程ax=I 和xa=I至少有一个无解，这种矩阵可以求得特殊的逆矩阵，成为广义逆矩阵（generalized inverse matrix）（或伪逆 pseudoinverse）。矩阵amn存在广义逆矩阵xnm，使得 ax=Imn， MATLAB用pinv函数来计算

19、广义逆矩阵。计算广义逆矩阵。a=8 14; 1 3; 9 6x=pinv（a）b=x*ac=a*xd=c*a %d=a*x*a=ae=x*c %e=x*a*x=x 8 14 1 3 9 6 -0.0661 -0.0402 0.1743 0.1045 0.0406 -0.0974 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.9334 0.2472 0.0317 0.2472 0.0817 -0.1177 0.0317 -0.1177 0.9849d = 8.0000 14.0000 1.0000 3.0000 9.0000 6.00000.1045 0.0406 -0.097

20、4PINV Pseudoinverse.X = PINV（A） produces a matrix X of the same dimensions as A so that A*X*A = A, X*A*X = X and A*X and X*A are Hermitian. The computation is based on SVD（A） and any singular values less than a tolerance are treated as zero. The default tolerance is MAX（SIZE（A） * NORM（A） * EPS.PINV（

21、A,TOL） uses the tolerance TOL instead of the default.四 矩阵分解（Matrix decomposition） 通过矩阵分解的方法求解大型方程组非常有效的，这种方法可以使运算速度加快，节省磁盘空间，节省内存。MATLAB求解线性方程的过程基于三种分解法则：（）Cholesky分解，针对对称正定矩阵；（）LU分解，高斯消元法， 针对一般矩阵；（）QR分解，正交化， 针对一般长方形矩阵（行数列数）这三种分解运算分别由chol, lu和 qr三个函数来分解.1 Cholesky分解（Cholesky Decomposition）仅适用于对称和上三角矩阵，如果A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解为上三角矩阵和其转置的乘积， 即：A=R*R, R为上三角阵。方程A*X=b变成R*R*X=b, 所以有 X=R（Rb）cholesky分解。a=pascal（6）b=chol（a） 1 1 1 1 1 1