第五单元 高中数学教学中应注意的几个问题Word格式.docx

1、研究高考的变化趋势。不断思考如何提高教学效率的问题。1 新课程的教学中所强调的教学原则是什么？在我国，长期的数学教育过程中，积累了丰富的教学经验，很多文章对这些教学经验进行了很好的总结，我们在后面的参考文献中予以罗列。在“标准”中，特别强调了在以往的教学中重视不够的几个地方。“以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划”“帮助学生打好基础，发展能力”“注重联系，提高对数学整体的认识”“注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力”“关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成”“改善教与学的方式，使学生主动地学习”“恰当运用现代信息技术，提高教学质量”以上所强调的这些内容，都围绕着一

2、个核心：以学生发展为本，激发学生主动学习的积极性。我们都知道愿意做的事情、喜欢做的事情和被动做的事情、讨厌做的事情，其效果是大不相同的，对孩子尤其是这样。作为一名老师来说，我们的教学要引起学生的兴趣，要调动学生的主动精神，要受到学生的欢迎，要给学生以很好的引导，帮助学生养成好的学习习惯和思维习惯。当学生的学习主动性提高了，愿意思考问题、学会思考问题了。学生的学习效率、学习效果和考试成绩自然而然就会提高，而且这个“财富”将会伴随学生终身的发展。2 在教学中，为什么要倡导教学方式的多样化？新课程倡导教学方式的多样化。教学方式的多样化不是目的，而是调动学生主动学习的一种手段。在这方面老师已经积累了大

3、量的经验，概念的教学、技能的教学、探索发现的教学、定理证明的教学、复习总结的教学应该采用不同的教学方式，即或是概念教学本身有时候也需要采用多种不同的教学手段。我们举一个例子来做说明。在新课程的推进中，必修2立体几何初步的教学中，有的老师设计了这样一节课，作为立体几何初步的第一节课，组织学生走出教室，观察周围的事物，发现线线、线面、面面之间可能存在的各种关系，并加以总结概括，写出一个报告。这是一种很好的教学设计，这些几何图形之间的具体关系将会留在学生的脑海里，伴随着他们学习立体几何的不断深入，生动、活泼、自然，又突出了数学的思想和学习数学的思想方法。我们希望一线的教师针对不同的数学内容，针对不同

4、学生的实际，针对所处的不同的环境条件，开发出不同形式的教学方法。3 在教学中如何激发学生的学习积极性？我们知道，有的学生喜欢挑战数学难题，为了解决一个难题可以花上几天的时间去琢磨；有的学生喜欢动手操作，在操作中琢磨和体会；有的学生喜欢想象，可以坐在那里思考许多问题；有的学生喜欢讨论和争论，在讨论和争论中思考问题；等等。每一个学生都会有他自身的特点，我们教师应该发现学生的这些优势和特点，在日常的教学中，注意引导他们从自身的优势中产生突破，形成学习的积极性。在数学中，我们强调数学应用的教学，一方面，我们通过讲数学应用使学生了解数学在现实生活中的作用和意义，形成对数学的一个比较完整的认识；另一方面，

5、也会成为激发学生学习兴趣的载体，特别是一些喜欢操作，喜欢结合具体问题思考的学生来说，可以提供一个发挥他们才干的空间。这方面可以参考数学建模教学的案例分析，也可以参考张思明等老师编写的这方面的书籍。 如何激发学生学习的积极性是一个极具挑战性的问题，还需要我们不断地摸索经验，江苏常州市数学教研室徐淮源主任提出了“开窍数学”，他们就希望摸索一些经验，帮助学生从被动学习变为主动学习，从不喜欢学习数学变为喜欢学习数学。4 在教学中，如何培养学生养成好的学习习惯？教师教学不仅要交给学生一些知识和技能，更重要的是以身作则帮助学生养成学习数学的良好习惯和科学的思维方式。例如，教师可以通过提出问题，把学生的思考

6、引向深入，培养学生提出问题的学习习惯。教师可以在教学中适当的给学生留一些可思考的问题，帮助学生理解数学的概念和所蕴含的数学思想。教师要有意识的利用图形来刻画数学问题和寻求解决问题的思路，培养学生养成一个用图形描述、刻画和需求解决问题思路的习惯，增强学生的几何直观能力。引导学生在学习完一段数学内容之后，及时地反思和总结，而不是教师替代学生去总结。在新课程中，强调从问题出发，发现问题、提出问题、分析问题并逐步的解决问题，这是数学中一种良好的学习习惯，也是一种科学的思维方式，在老师长期的教学中，不断地以身作则就能逐步的帮助学生形成一个好的习惯。我们的教师都知道在数学的学习中，有好的习惯非常重要，它是

7、一个人学习能力的体现，好的学习习惯可以帮助同学在学习中事半功倍，终生受益。我们以弧度的说课材料为例，说明老师怎么以身作则帮助学生建立起问题意识：教师甲：学生总是不太接受弧度这个概念，初学时经常是一遇到“弧度”就“糊涂”了. 教师乙：这也难怪，对学生来讲，本来是用角度来度量角的，学生挺容易接受的。教师却“无中生有”，偏偏要弄出个弧度来，又让学生用弧度来度量角，学生怎么能“心甘情愿”的接受这个概念呢?那教师要怎么讲才能让学生接受呢？我想，教师首先需要梳理一下，学生已经掌握的所有与弧度有关的知识。我认为有以下方面：第一，学生已经知道用角度度量角，这一点很重要，它是弧度教学的核心基础。度量的前提是要有

8、度量的单位，通过取一个特殊的角周角，把它的作为1度角。第二，学生很早就学习过圆的周长，即。第三，由前两点可获得1度角所对的弧长，所以角度为的角所对弧长为教师讲解弧度概念最好建立学生的以上认知基础之上。那么如何引入弧度概念，才能不显得突然呢？既然弧度是个度量单位，可以从度量单位的多样化引入。在物理学和日常生活中，一个量，在不同场合、背景下，常常为满足实际需要，需要用不同的方法进行度量。比如：物理学中，大气压强这个量，既可以用水银柱高度来度量，也可以用水柱高度来度量。同样的，对于角，除了已经学的角度制，还有一种度量方法弧度制。在弧度的教学中，理解长度与角度的统一是个难点，如何处理好呢？无论用什么方

9、法度量一个量，都是需要用一个已知量去度量的，并且这个已知量还要满足与被度量的量是一一对应的关系，即度量一个确定的量的量数必须是唯一的，这一点，一定要给学生讲清楚。可以结合前面举的度量气压的例子来讲，之所以可以用水银柱高度度量大气压，是因为大气压与水银柱的高度有一一对应的关系，水银柱的每一个高度值对应于唯一的大气压值。学生从初中所学的弧长公式，不难发现，弧长与弧所对圆心角和圆的半径有关，当圆的半径一定时，圆心角的大小与弧一一对应；但当半径不同时，同样的圆心角所对弧的长度是不一样的，如右图所示。由弧长公式可以知道，对于同一个圆心角，弧长与半径的比值是一个常数，对于两个不同的角，其弧长与半径的比值也

10、不同。因此，这个常数是一个可以刻画角度大小的量，我们就把这个常数叫做该角度的弧度值。显然，当圆的半径为1时，圆心角所对的弧长就是这个角的弧度值，在单位圆中，长度为1的弧所对应的圆心角称为1弧度角。如右图，可制作一个动画，把切在数轴原点单位圆的圆周从原点处剪开，把圆周拉直重叠在数轴上（一端放在原点处），那么点P在数轴上的坐标值就是以切点处的半径为始边，首次旋转到过点P时的角的弧度值。由此可以看出，弧度把角度单位与弧度单位很好的统一了起来。如何去说明“弧度把角度单位与弧度单位统一起来”的意义呢？就弧度概念的教学而言，在这堂课，还不急于举例说清楚，可以向学生指明，在后面的三角函数的学习，物理中简谐振

11、动的学习，以及在将来大学的进一步学习中，会越来越感受到角度单位与长度单位统一的意义。作为教师，是一定要清楚弧度制实现了角度单位与长度单位统一的意义的。三角函数作图中，横纵轴单位的统一依赖于角度与长度单位统一；弹簧振子做简谐振动时，刻画其离开平衡位置的位移与时间的关系是三角函数，它的变量是时间，不再是角度；大学数学分析中的成立，依赖于变量是弧度数等等。教师在后续的教学中，要逐步的有计划的去说明角度与长度单位统一的意义。嗯，如果教学中，把这些都将清楚了，学生对弧度的认识和理解程度要远比直接给出一个概念要深刻的多，不论于情于理，学生都会更好的认同接受这一概念，如此一来，确实可以避免弧度概念难于接受的

12、现象了。这样虽然在概念教学上花了较多的时间，练习时间短了，但是学生接受理解了概念，解决与弧度相关的问题，学生就不会感觉困难了。在上述这个说课案例中，体现出教师的一种习惯，强调概念形成的来龙去脉，强调从小学到初中，从初中到高中，弧度概念形成的过程。这种言传身教就会帮助学生形成一个认识概念的良好的学习习惯。养成一种好的学习习惯不是一朝一夕的事，需要教师在教学的过程中长期的积累，但是一旦形成一种好的习惯，将受益终生。5 如何提高课堂教学的效率？我们在高中课改实验区考察的过程中发现，高中的数学课堂容量比较大，导致教学效率不高。我们在听课时感觉要“小跑”才能跟得上课堂的进度。那么，学生是否都能跟得上呢？

13、要如何提高课堂教学的效率呢？我们以一堂课为例说明这个问题。我们在实验区听的一堂高一的关于数列的复习课，这堂课老师准备得很充分，对于数列的求和方法也总结得很全面细致，准备的例题和练习也不少，这堂课的前三道练习题都选取得很好，注重通性通法，可是最后这道练习题就不太妥当了，这道题是这样的，已知，求首先，这道题目的解法很特殊，一般的学生是想不出来的。而且老师花了很多的时间来分析和讲解这道题目，把这节课的重心放在这道难题上，势必会冲淡先前讲的那几种求数列和的通性通法；其次，从学生的学习情感上来看，这道题目与前几道题的方法迥然不同，是大多数学生都想不到的方法，这样会使不会做这道题的学生产生挫败感，觉得这节

14、课什么都没有学会，其实这节课在这道题之前的内容是很重要的，也是他们能够掌握的，现在反而“一无所获”了。当然，老师的出发点是很好的，希望能尽其所能教给学生越多越好，殊不知“欲速则不达”。我们建议老师把这道练习题作为课后的思考题、提高题都可以。在课堂上就只讲最重要的，需要大部分学生都掌握的内容。这样课堂的容量就不会太紧张，而且学生们都会有所收获，课堂的教学效率自然就提高了，可谓事半功倍。6 如何创造性地使用教材？我们从以下四个方面来讨论如何创造性地使用教材的问题：第一 ，教材的多样化与把握教材教材的多样化给教师提供了更多的选择余地，也提供了更多的参考借鉴，比如：各部分数学内容的编排呈现方式，语言（

15、可读性、趣味性）的运用，概念、结论提出的现实的和学科的背景，例题、习题的设计形式及配置，与某些知识相关的背景材料介绍等很多方面。一个好的教师会根据自身特点及所教学生的实际情况，适当合理的吸取各套教材的优秀特色，转化为自己教学所用，而不是简单的把内容、习题做加法，把各套教材内容、例题和习题的并集教给学生。总体上讲，在多套教材的参考借鉴中，必须把握一个整体性原则。因为各教材在内容的具体处理上，存在一些顺序上的差异，若不加考虑的借用，会给学生学习带来不必要的困难。下面以斜率的教学为例，谈谈各部分教材对于斜率的处理顺序。人教版B版：首先由一次函数引入直线方程的概念，再由直线上任意两点计算出，定义k为直

16、线斜率，解释其刻画了直线倾斜程度，并给出倾斜角定义，然后定性分析斜率k取值范围与倾斜角范围的关系，但不给出倾斜角正切值为斜率。人教版A版：从问题“平面直角坐标系中直线的位置由哪些条件确定？”的研究，给出直线倾斜角概念；之后再以问题“生活中有无表示倾斜程度的量？”从坡度概念指出坡度即倾斜角正切，定义倾斜角正切值为直线斜率，用旁注给出诱导公式，用来解释钝角的正切为负；然后过直线上两点分别作坐标轴平行线，从直角三角形推出两点斜率的计算公式。江苏版：从坡度引出刻画直线倾斜程度的方法：用直线上任意两点的坐标定义直线斜率；用直线旋转定义直线倾斜角概念，然后分情况指出倾斜角为锐角、钝角时其正切值与斜率的关系

17、（当为钝角时，规定）。北师大版：先研究直线的确定条件：两点或一点加一方向；从刻画直线方向的需要出发给出直线倾斜角的概念，指出日常生活中用坡度来刻画道路等的倾斜程度，借鉴坡度的刻画方法，先研究过原点直线，按倾斜角为锐角、钝角分情况说明，指出直线上纵坐标增量与横坐标增量的比值为直线斜率，并指明直线斜率是倾斜角正切值；然后推广到一般位置直线；最后给出用直线上任意两点坐标表示直线斜率。这四种版本的教材在斜率概念的处理上有明显区别，各自体现出自己处理教材的风格和侧重点，这是教材多样化带来的必然结果。无论采用哪一种定义的方式都是可以的，例如，采用北师大版的方式，即对于直线y=ax+b，当x增加一个单位，y

18、增加的值看作这条直线的斜率。需要注意的是，在后面学到tanx时，应该帮助学生用这个新的概念再一次认识直线的斜率，当学到向量的时候，也应该帮助学生了解如何用向量的方法刻画斜率，当学到导数的时候，又应该帮助学生运用导数认识直线的斜率，以及导数的几何意义。这样我们就可以帮助学生学会从不同的角度认识同一个数学对象。正如我们前面所说的，学习数学是个“线性序”，有的东西先学，有的东西后学，但是数学本身不是“线性序”的，有的东西有严格的先后关系，但是有的东西没有先后关系。第二、知识背景的合理取舍教科书不是教条，教师可以因地制宜，使用更符合所教学生认知情况的材料，教材使用背景的意义在于建议教材使用者应贯穿“教

19、给学生来龙去脉”的教学理念，关键还是在于把握数学本质，而不是单纯的让学生去了解背景本身。因此，鼓励教师创造性的挖掘并创设具有“本土”特色的知识、概念、问题的现实背景及情境。教学中需要的是真正落实“注重知识形成过程，突出与其它学科及生活现实联系”的数学教学理念，而不是教材表现的形式！例如：必修4中三角函数部分，在有的教材中，采用摩天轮为背景介绍三角函数，这个背景城市的学生是熟悉的，采用这个背景有助于学生理解三角函数。但是在南方的农村地区，就可以用学生熟悉的水车来替代摩天轮。开发适合学生认知规律的，可以帮助理解数学本质的，同时又为学生所熟悉的数学背景，是一个具有挑战性的问题。教师应该大胆开发一些好

20、的案例，丰富课堂教学。第三、例题的合理使用教材所配备的例题，并不是要求教材使用者一定要让学生在学习该节内容时，就掌握这些例题，使用者应根据学生实际认知水平，还有学生初中所学知识的基础上，有选择的使用或替换，如果只是解法的选择问题，可以考虑换一种解法来讲。例如上面给出的例题：ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圆的方程课本上使用了从定义出发，直接建立三元方程组求解。教师可以引导学生从外接圆圆心到三定点距离相等，得出圆心在边的垂直平分线上，先求出两边的垂直平分线，再解二元一次方程组求圆心坐标，然后再求出半径，写出圆的方程。又例如，求证：函数f（x）x在区

21、间（0，1上是单调减函数，在区间1，）上是单调增函数证明过程中，需用到分组分解法，学生初中未学，对于学习能力较强的班级，可以在解题中教学生如何分解，对于学习能力较弱的学生，可以考虑换个例题，在学生已经具备了一定代数式运算能力时（高二）再涉及这样的问题。第四、习题的灵活把握同样的教材中的习题，教材使用者也不要认为，学生学习后就一定要一步到位解决好所有习题，应根据学生实际认知水平及学习状况分层使用，有些涉及更多知识的、难度较大综合性习题可以往后放一放。强行放在此处解决，学生也无法接受，甚至会干扰了本部分知识的理解和掌握。求二次函数在0，1上的最小值的解析式。若学生在求给定变量限制的二次函数值域时，

22、还有些困难，可以把这样地习题放到后面相应的内容中去处理，同时，可以建议教材的编写者调整习题的顺序。又例如，在集合教学中，对于平面点集的使用应该采用慎重的态度，最好放在解析几何、求解线性规划问题等地方处理。本次课程改革的一个重要的改革环节就是教材的多样化，尽管由于时间短各套教材还存在着这样或那样的不足，但是应该说已经初步形成了风格各异的几套高中数学教材，相信经过几年的实践，这些教材一定会在竞争和互补中不断地完善和发展，形成支持高中数学教育的丰富的资源。面对教材的多样化，前面我们对教师提出了一些建议，最根本的一条还是希望教师能够根据学生的情况、地区的情况、教师个人的情况创造性地使用教材，不断地开发

23、课程资源，在这个过程中，使得教师的专业水平得到发展，也希望能有更多的一线教师直接参加到各套教材的建设中，逐步的形成一支专兼职结合的、大学专家中小学与编辑人员结合的教材建设的队伍。7 在基础知识的教学中，如何抓住数学的本质？在基础知识的教学中，我们往往容易只注重形式的推导和演算而忽视了对于数学本质的挖掘。下面我们以“待定系数法”为例，谈谈如何抓住数学的本质。“待定系数法”是中学数学中常用的方法，其本质是模型的思想。在中小学阶段，会学习到一些模型，例如，方程（一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程）、不等式（一元一次不等式、一元一次不等式组等）、函数（一次函数、反比例函数、一元二次函数等）都是

24、基本的数学模型。简单的说，模型的最基本的特征是可以表达一类问题，对这一类问题进行区别的关键是参数。例如，指数函数y=ax,其中，a是不为1的正实数，它代表了一类函数，不同的a代表了不同的函数。当我们讨论某些实际问题时，例如，某种细胞的分裂过程，我们首先就可以判断出这个实际问题是属于指数函数模型，然后我们经过进一步的分析可以判断出细胞分裂的过程是，细胞的个数y与分裂次数n之间的指数函数关系，可以表示为y=an，最后的问题就转化为确定a的值，根据细胞分裂过程中测得的细胞的个数y与分裂次数n的8组数据，可以计算出a的值为2，这样，这种细胞分裂的过程就可以用y=2n这个具体的指数函数模型来刻画了。在这

25、个过程中，确定参数a的值是关键，就是我们通常所说的待定系数法。待定系数法的本质是对模型和模型思想的认识。在解决这一类问题时，首先要判断用哪类模型能够刻画这个问题，如上所述，这个实际问题的模型属于指数函数类；然后要判断指数函数的哪一个具体的函数可以刻画这个问题的规律；在最后的环节是要确定这个指数函数模型中的参数a。模型和模型的思想是数学中最重要的也是最基本的思想之一，它既是数学课程中的一个基本内容，也是贯穿整个数学课程的基本思想。到了高中阶段我们又学习了更多的数学模型，例如，指数函数、对数函数、三角函数等。每一个模型都代表一类函数。待定系数这种方法是讨论有关模型问题的一种基本的方法，不仅反映在中

26、小学数学中，在大学数学中，我们会学到更多的数学模型，待定系数法仍然是讨论有关模型问题的基本方法之一。对模型的认识是整个数学课程中的一个基本内容，不同的阶段要完成不同的任务。在义务教育阶段，对模型认识的基本定位是了解实际生活中存在的一些具体的模型，例如，一元一次函数就是一类重要的模型。在义务教育阶段，对于通过确定参数来选择模型的要求不高，因此没有强化待定系数法的使用，但是在实际教学中，教师都会根据实际问题来确定模型，出不出“待定系数法”这个名词不是本质的，有的老师提到了这个名词，也有老师没有提出这个名词，这些都不影响对模型的认识。在高中阶段要帮助学生进一步认识模型的思想。进一步认识模型和模型思想

27、是高中课程的一个基本要求。它不仅需要强化对模型的认识，而且要求理解建立模型的过程，特别提出了关于数学建模的要求，所以在高中课程中有足够的时间和空间来了解模型的思想，了解待定系数法。在义务教育阶段就有一些典型的模型。例如，方程模型，一次函数模型等。在高中有了更多的数学模型。例如，指数模型，对数模型，三角函数模型，分段函数模型等。在讨论函数问题的过程中，很自然的产生了不同类型的函数，也使得待定系数法自然产生，通过待定系数法可以刻画模型的基本特征，是模型思想的自然延伸。8 在基本技能的教学中，如何抓住通性通法？在基本技能的教学中，教师要注意抓住数学中的通性通法。例如，消元法，配方法，确定模型中的待定

28、系数法；在计数原理中，分类加法原理和分步乘法原理；线性规划的思想方法；在几何中，解析几何的方法，向量的方法，函数的方法等研究图形的方法；这些都是中小学阶段数学课程中的“通性通法”。我们以配方法为例，谈谈在基本技能的教学中，如何抓住通性通法。在解一元二次方程时，学生第一次接触了配方法，学生先是会解形如x=a的方程，然后是会解形如ax+b=0的方程，进而会求解形如x2=a的方程，那么一般的一元二次方程能否变成x2=a的形式来求解呢？由此产生了配方法，利用配方法把一元二次方程的左边变成完全平方数，进而求解方程。在这里，配方法起了降幂的作用。在讨论一元二次函数时，我们先讨论的是形如y=x2这样的二次函

29、数，接着讨论了形如y=ax2、y=（x-a）2等的二次函数，这三种形式的函数是完全平方的形式，因此，很容易找到其对应的函数图形的对称轴和顶点坐标。那么，在讨论一般形式的二次函数y=ax2+bx+c时，也希望把它变成完全平方的形式，进而讨论其函数图形的对称轴和顶点坐标。在这里，配方法的作用是利用已知函数的形式去研究未知函数。在应用最小二乘法时，利用配方法可以进行估值。在大学的学习中，还会提出类似的利用配方法的问题。我们再以消元法为例。消元法，是数学学习中的“通性通法”之一，它主要是解决解方程、方程组这一类的问题的一种一般的方法。例如，求解二元一次方程组时，根据消元法的思想，减少未知数的个数是消元法的实质，最后只保留一个未知数时，方程（组）就迎刃而解了，在这里我们可以具体采用加减消元法或者代入消元法，其目的只是为了消元，所以，消元的思想具有一般性。这种方法很容易迁移到求解三元一次方程组和由二元一次方程与二元二次方程联立的方程组。运用代入消元或加减消元都可以把三元一次方程组转换为二元一次方程组。通过代入消元法，可以把由二元一次方程与二元二次方程联立的方程组转化成一元二次方程。这些都反