模糊多目标线性规划的研究及应用.docx

1、摘要模糊多目标线性规划法是解决许多复杂的实际问题的一类重要的优化方法。本文对模糊规划的隶属函数的构造、模糊极值、模糊多目标线性规划模型的建 立和求解以及在区域供电优化的调度问题中做了一些研究。随着工业化时代的迅速发展以及居民电器使用率的增加，让有限的电力资源显得日益紧张。因此为了加强对电力资源的合理规划和使用，使得有限的电力资源得到最大的利用，并且因区域电力资源的优化调度问题具有多目标性和模糊不确定性，本文采取模糊多目标线性规划的方法来对这个复杂的、难解的问题进行处理。本文借助了模糊数学中隶属度的知识将多个目标进行模糊化， 并且对每一个目标都构造了隶属函数。最后建立出模糊多目标线性规划的数学模

2、型，并通过具体的仿真例子进行计算并得出最后的解，验证了所构造的数学模型的有效性和实用性。本文的特色就是对多目标加入了权重计算，使用的权重方法是频数统计法。关键词：模糊规划；隶属函数；模糊极值；模糊多目标线性规划；频数统计法IIAbstractFuzzy multi-objective linear programming is an important optimization method to solve many complex practical problems. In this paper, the membership function of fuzzy programming,

3、 the construction of fuzzy extreme value, the establishment and solution of fuzzy multiobjective linear programming model and the scheduling problem of regional power supply optimization are studied.With the rapid development of the industrial era and the increase in household electrical appliances,

4、 the limited power resources are becoming increasingly tense. Therefore, in order to strengthen the rational planning and use of power resources, so that the limited use of limited power resources, and because of the regional power resources optimization scheduling problem with multi-objective and f

5、uzzy uncertainty, this paper adopts fuzzy multi-objective linear programming To deal with this complex, difficult problem. In this paper, we use the knowledge of membership degree in fuzzy mathematics to fuzzify multiple targets, and construct the membership function for each target. Finally, a math

6、ematical model of fuzzy multiobjective linear programming is established, and the final solution is calculated and the final solution is verified by the concrete simulation example. The validity and practicability of the constructed mathematical model are verified. The feature of this paper is to ad

7、d a weight to the multi-objective calculation, the weight method used by others is rarely used frequency statistics.Key words:Fuzzy programming;membership function;fuzzy extremum;fuzzy multiobjective linear programming;frequency statistics目录V摘要IAbstractII目录IV图表目录VI第一章 绪论11.1 模糊数学11.1.1 模糊性的简介11.1.2

8、模糊数学的产生与发展11.2 数学规划21.3 国内外研究情况31.4 研究的目的及意义4第二章 模糊数学基础理论52.1 模糊集与模糊数52.1.1 模糊集52.1.2 模糊集合的基本运算52.2 隶属函数62.2.1 常见的模糊分布72.2.2 隶属函数的构造8第三章 模糊线性规划103.1 经典线性规划103.1.1 线性规划模型103.1.2 单纯形法113.2 模糊线性规划113.2.1 模糊线性规划模型113.2.2 模糊线性规划问题求解123.3 多目标模糊规划143.3.1 多目标线性规划143.3.2 多目标、多约束的模糊规划15第四章 区域供电模糊多目标线性规划模型及求解1

9、74.1 选例简介174.2 区域供电模糊多目标线性规划模型的建立174.2.1 目标函数174.2.2 约束条件184.2.3 求解模型的方法184.2.3 权重计算204.2.4 模型处理214.2.5 确定各目标的期望值224.3 实例模型及求解23第五章 总结27参考文献28致谢29图表目录表 4.1 因素u1 的权重分配表24表 4.2 因素u2 的权重分配表24表 4.3 因素u3 的权重分配表25表 4.4 模型输入参数25表 4.5 供电率为 85%时各目标结果26表 4.6 供电率为 85%时决策变量结果26第一章 绪 论本章主要介绍模糊数学的产生和发展并简要的介绍数学规划，

10、同时简要的介绍了在规划问题中运用模糊数学带来的好处，最后给出本课题研究的内容。1.1 模糊数学1.1.1 模糊性的简介世界是精确的，同时也是模糊的。事物在一定客观条件下，一部分实质显 而易见能够被人们轻易观察到，但是还有一些就被就隐藏很深不易被发，呈现 模糊性。如果说精确性是事物的特殊属性，那么事物普遍的属性就是模糊性。 随机性是指事件可能会发生或可能不会发生所产生的不确定性。模糊性是指事 件自身状态存在的不确定性。两者都是事件的不确定性的体现。就随机性而言， 事件的属性是清晰的，也可以提前知道事件可能会发生的结果数，但是最终结 果是哪一个没有办法提前知道。例如在你不看天气预报的前提下明天是下

11、雪还 是不下雪事先是不知道的，但是结果肯定是其中之一，不是第一种可能就是第 二种可能，绝对不存在别的可能。对于模糊性而言，事件发生与否不是问题所 在，而问题在于事件的属性不是清晰的，进而导致对于同一事件不同的人会产 生不同的感受，最后给出不一样的结论。例如评价一个人是否聪明或者定义“漂亮与丑陋”又或者判断一个班级里身高高的人数，这些都是没有明确定义的模糊概念。在科研，经济，工业等领域通常会遇到大量模糊不确定的信息， 这些信息无法用传统精确数学来建模型求解，此时运用好模糊数学就能很好的解决问题了。1.1.2 模糊数学的产生与发展模糊数学是一门新兴学科，又叫模糊集合论（Fuzzy Set）。十八世

12、纪六十年代中期，一篇名叫“模糊集合”著名的论文引发了轰动整个科学界的反应，该篇文章被专家和学者们一致认定是模糊数学这门学科诞生的标志。Zadeh 是一29位研究系统工程的科学家，一开始他与那个时候的大部分学者一样，只认同精确的科学方式和思维方法。他曾经花费大量的精力试图将稳定性、状态和适应性这些概念精确化，并且最终在这个方面取得了相当大的科学成果。但是，Zadeh 是一位极具有批判主义和富有创新精神，他反复研究事物的精确性以及事物的复杂和模糊程度后，对三者之间的明显的互不相容有着十分充分的了解， 尽管当时他不会使用辩证法来分析三者之间存在的矛盾而言他能够更早、更清 楚地认识到在一定条件下精确数

13、学的方法很明显地表现出了它的局限性。于是 乎他抛弃了一般的传统观念，致力于寻求新的研究点和方法。1963 年，Zadeh在他的著名论作中提出了精确数学的缺点。而后，Zadeh 在他的研究工作中， 准确无误地表述了什么是模糊性，并给出了其精确的释义，同时还制定了一系列用于刻画模糊性的数学工具（例如：模糊集合、隶属函数等等），给模糊学的建立打下了坚定的基础。更值得一提的是自从模糊数学创立开始，Zadeh 就把它和现代科学生产技术中的实际问题联系在一块，并从实践中获得灵感，努力寻求创新突破。虽然模糊数学作为一门比较新颖的学科，但是到现在为止仍还有大量需要完善和处理的问题，众多领域的专家和学者们被模糊

14、数学的魅力所吸引，然后开始从事这个方面的理论研究和应用研究，如此一来让模糊数学得到了迅速发展，并成为目前十分热门的学科之一。1.2 数学规划在实际的生产生活当中，有大量的问题可以用数学规化进行处理，例如， 资源分配问题、产品运输问题等。数学规划一开始源自于相当古老的极值问题，但是真正开始系统性的研究是第二次世界大战期间。因为战争而引发的军事中关于规划、计划等方面问题的提出，这才使得数学规划开始了系统性的研究。早在 1947 年时，乔治利用单纯形法求解一般的线性规划问题后，数学规划便跳出了纯理论研究的范围成为了一门独立的科学。继单纯形法之后，最优化问题的相关理论研究发展十分迅速并不断出现新的理论

15、和方法，并且广泛应运于实际生产生活的问题中。因为所要处理的问题的性质和方法都不相同，数学规划便像一棵大树一样分出了许多枝丫，其中一个重要的分支就是多目标规划，生产生活中很多问题都可以利用多目标规划模型来求解，因此它对于处理实际问题有着相当重要的意义。一个简单的系统我们可以精确的将其表示出来，但是随着系统的复杂性增加伴随的模糊性也将随之产生，这时候我们无法用精确的概念去定义它。通常这种情况都是采用模糊数学来解决的。在问题的实际应用中，约束函数、目标函数都可能存在模糊性，一般情况下我们会采用模糊学来处理，所产生的规划称之为模糊规划。1.3 国内外研究情况本文研究的是区域供电的模糊规划问题，该规划具

16、有多个目标并且各个目 标都是线性的，是一个实际应用问题。我们将从以下几个方面来阐述研究状况。（1） 模糊规划方面在实际的生产生活中通常存在大量的具有不确定性的信息，例如：数据的不精确性、概念表述的模糊性等等。对于这一类模糊的情形，尤其是没有明确定义的概念和信息，受到人们主观因素的影响。我们把这种不确定的信息称之为模糊信息，而具有模糊信息的系统称之为模糊系统。由于经典数学理论不能够精确地刻画这一类系统的属性，所以我们使用模糊集来描述。20 世纪 70 年代贝尔曼和查德提出了模糊决策2的思想以及在模糊的环境下的决策模型3。在这之后有很多学者继而研究出了模糊线性规划的模型4、模糊多目标规划的模型5。

17、（2） 应用方面在模糊规划的应用问题方面，2002 年华南理工大学的李荣钧6教授对模糊多目标线性规划的最优性进行的分析。2004 年马涛7利用模糊多目标规划解决了区域水资源优化调度的问题。2007 年孙莉莉8研究了油品调合优化问题的模糊规划模型及其求解。同年蒲国利、李随成9研究了关于分销商选择的问题并且构建了对应的模糊多目标规划模型。2008 年辛芳芳、梁川10研究了基于模糊多目标线性规划的都江堰灌区水资源合理配置。2010 年叶冬梅11对模糊线性规划的解进行了一番研究。2014 年胡超芳、辛越12建立高超声速飞行器再入轨迹设计的多目标规划模型并采用模糊学对模型进行了处理。2015 年徐妍13

18、研究了多目标模糊线性规划方法的低碳承运商选择。康绍忠14利用模糊多目标规划方法成功解决了种植结构规划问题。武斌15通过模糊多目标规划优化了公交车调度问题。综上所述，模糊多目标线性规划是解决实际应用问题的一类重要工具，之前很少有人研究区域供电模型，本文就区域供电给出了相应的模糊多目标线性规划模型，最后输入参数对模型进行求解。1.4 研究的目的及意义在实际生活中很多问题都要利用规划问题来解决，其中线性规划是我们最 常使用的。通常我们使用线性规划来解决“最优化”问题。我们能够找出经典 的线性规划目标函数以及它的约束函数，然而实际问题中总是存在模糊性，这 就导致了我们在构建模型时，会存在目标函数不确定

19、或者约束条件不确定更或 者目标函数和约束条件都不确定的几种情况。此时，我们一般借助于模糊数学 来解决这种情况。利用模糊数学中模糊集和隶属度来构造隶属函数，最终将问 题转化成普通的线性规划问题并采用单纯形法得出最后结果。多目标规划问题 不同于普通的线性规划问题，它的目标函数通常情况下是两个以及两个以上的， 而且各个目标之间的重要程度也不尽相同，通常情况下目标函数不能够同时求 得最优解。因此，考虑化繁为简将多目标问题变成最基本的规划问题问题。本 课题是探讨建立模糊多目标线性规划数学模型的一般步骤和方法，并用所构造 的模型解决实际问题。第二章 模糊数学基础理论2.1 模糊集与模糊数本章主要介绍一些模

20、糊数学的基本概念，例如：模糊集合、模糊集合的基本运算、截集、几种常见的模糊分布、隶属函数及其构造方法。2.1.1 模糊集模糊集合（也称模糊子集）定义 1 设在论域 U 上给定了一个映射：A :U 0，1u A(u )则称 A 为U 上的模糊集（Fuzzy）,A(u )称为 A 的隶属函数（或称为u 对A 的隶属度）。一般情况下用 A 来表示模糊集，用mA 来表示 A 的隶属函数，用mA (u )来表%示元素u 对于 A 的隶属度，隶属度的值越大，意味着u 对于 A 的从属的程度越%高,也就是说u 极大可能从属于 A 的。当mA (u )=0 时， A 中肯定没有u ；当mA (u )=1时，

21、A 中必然含有u 。如果mA (u )只是在 0 和 1 两个数之间取值，那么%此时该模糊集合就会退化成一个普通集合。所以，一般集合是模糊集的一个例外的情况。2.1.2 模糊集合的基本运算（1） 假设在论域U 上两个模糊集合 A 和 B ，用mA(u ) 和mB(u ) 来表示集合的隶属%函数，则定义 A 和 B 的运算如下所示：1） A 和 B 的并集，记为 A B ,即mAB (u )= maxmA (u ),mB (u ),记做mA (u ) mB (u )%2） A 和 B 的交集，记为 A B ,即mAB (u )= minmA (u ),mB (u )，记做mA (u ) mB (

22、u )%3） A 的补集，记为 AC ，即AmC (u )= 1 - mA (u )其中，“ ”和“ ”为 Zadeh 模糊算子，“ ”表示取小，“ ”表示取大（2） 模糊集合的运算律1） 幂等律: A U A = A, A I A = A.2） 交换律: A U B = B U A, A I B = B I A.3）结合律:(A U B)U C = A U (B U C ), (A I B)I C = A I (B I C ).4）吸收律: (A U B)I A = A, (A I B)U A = A.5）分配律: (A U B)I C = (A I C )U (B I C ), (A I

23、B)U C = (A U C )I (B U C ).6）0-1 律: A Uf= A, A If=f; A UU , A IU = A.7） 复原律: (AC )C = A.8） 对偶律: (A U B)C = AC I BC , (A I B)C = AC U BC .（3） 模糊集合的截集普通集合与模糊集合进行相互转化的桥梁就是水平截集。设论域U 上的一个模糊子集 A ，对任意l0,1，就称普通集Al = x | mA (x) l为模糊子集 A 的“l截集”。2.2 隶属函数在模糊数学中，隶属度是建立模糊学的中流砥柱，用来刻画模糊性的重要 的数学工具就是隶属函数。在处理实际的问题时，通常

24、情况下我们首先就要确 定并建立隶属函数。可是在通常情况下，没有办法可以直接得到这个隶属函数。因为人们认知的有限性，一般情况下只能构造出一个大致相同的隶属函数。又 由于隶属函数是不是很好的反映出客观问题会很大程度上对应用的效果产生影 响，因此如何构造隶属函数是一个值得我们探讨的问题。2.2.1 常见的模糊分布实数域U 中的模糊集合 A 的隶属函数便称作模糊分布16。以下我们将列举几个常用模糊分布类型。（下面着重列举了偏小型分布，而偏大型和中间型分别列举了三个）（1） 偏小型模糊分布1） 降半矩形分布0, x aA(x)= 1, x a2） 降G 半形分布e- k (x-a), x a, k 0A

25、(x)= 1, x a3） 降半正态分布e- k (x-a)2 , x a, k 0A(x)= 1, x a4） 降半柯西分布1, x b1A(x)= (1+ a (x - b)c ), x b, a 0, c 05)降半梯形分布1, x aA(x)= (b - x) (b - a), a b6）降岭形分布1, x a 1 1p a + b A(x)= -sin x - , a b1） 升半矩形分布A(x)= 0, x a1, x a2） 升G 半形分布A(x)= 0, x a1- e- k (x-a), x a, k 03） 升半正态分布A(x)= 0, x a1- e-k (x-a)2,

26、x a, k 0（3） 中间型模糊分布1） 矩形分布0, x a - b1, aA(x)= - b a + b2） 尖G 分布( )=ek (x-a), x aA xe- k (x-a), x a3） 正态分布A(x)= e- k (x-a)2 , x 02.2.2 隶属函数的构造在实际问题中，人们所构造隶属函数一般情况下多多少少的都会包含了构造者某种心理的因素。迄今为止，国内外科学界已提出和采用多种方法，接下来将列举几种常用的方法。（1） 例证法。十八世纪七十年代初查德第一个例证法，它的中心思想是：通过已经得到的个别隶属值mA (x)来大概判断论域 X 上的模糊集合 A 的模糊分布。怎样确定

27、mA (x)呢？当考虑“智商为h 是否算聪明人”时，可以从一些用文字描述的真值中进行选取。例如，可为“肯定是真的”、“极大可能是真的”、“可能真可能假”、“极有可能是假的”、和“一定是假的”五种，并将其分别与数1,0.8,0.6,0.3 和 0 对应。当智商值选取不一样的样本值时，可获得mA (x)的离散表达式。（2） 模糊统计法。1976 年产生了模糊统计。在某一些情况下，能够用使用模糊统计方法来确定模糊集的隶属函数。（3） 二元对比排序方法（简称二元对比法）。利用对比的方法来确定隶属度的值。例如，对于在“花”的论域中探讨“哪个品种好看”模糊集合，若 x1 比x2 好看，则规定mA (x1

28、) mA (x2 )。（4） 模糊分布法。可以从上一节中已给出了几种常见的模糊分布选取合适的函数表达式。第三章模糊线性规划3.1 经典线性规划3.1.1 线性规划模型线性规划是经典规划中最基本且应用最广泛的一个部分，它的数学模型如下：st.max s = c1 x1 + c2 x2 +. + cn xna11x1 + a12 x2 +. + a1n xn b1.am1x1 + am2 x2 +. + amn xn bm（3.1）（3.2）一般地，在（3.1）、（3.2）中，记c = (c1, c2 , ) a11a12 aa.a1n .a x1 x b1 b A = 21222n x = 2

29、b = 2 . . . aa.a x b m1m2mn n m 则可将（3.1）和（3.2）式记为s.t.max = cx（3.3）Ax b,x 0n在（3.2）式中加入伸缩变量 xn+k = bk - aki xi ，那么约束条件将变为：i=1ak1 x1 + ak 2 x2 +. + akn xn + xn+k = bk（3.4）标准形式max s = cx s.t.Ax = b,x 0（3.5）把满足约束条件的所有 x 的称作为线性规划问题的可行解，把使目标函数取到最值的可行解称作为最优解，把使目标函数取最值的基础可行解称作为基础最优解。3.1.2 单纯形法采用单纯形法求解线性规划的思路：若方程对应的系数矩阵的行数小于列数，此时将会产生