《轴对称图形》章末重难点题型汇编Word格式.docx

1、只有第1个不是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合【考点2 角平分线的应用】【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。【例2】如图，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB6cm，则DBE的周长是（）A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DECD，再根据等腰直

2、角三角形的性质求出ACBCAE，然后求出DBE的周长AB，代入数据即可得解AD平分CAB，DEAB，C90，DECD，又ACBC，ACAE，ACBCAE，DBE的周长DE+BD+EBCD+BD+EBBC+EBAE+EBAB，AB6cm，DBE的周长6cm【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出DBE的周长AB是解题的关键【变式2-1】如图，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，已知ABC的面积为28AC6，DE4，则AB的长为（）A6 B8 C4 D10【分析】作DFAC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可作DFA

3、C于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DFDE4，ABDE+ACDF28，即4+6428，解得，AB8，【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键【变式2-2】如图，ABC中，AB6，AC4，AD平分BAC，DEAB于点E，BFAC于点F，DE2，则BF的长为（）A3 B4 C5 D6【分析】过D作DGAC于G，根据角平分线的性质得到DGDE2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论过D作DGAC于G，AD平分BAC，DEAB，DGDE2，AB6，AC4，SABCACBFSABD+SACDABDE+ACDG，4BF2+42，BF5，【

4、点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键【变式2-3】如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC24，DE4，AB7，则AC长是（）A3 B4 C6 D5【分析】作DFAC于F，如图，根据角平分线定理得到DEDF4，再利用三角形面积公式和SADB+SADCSABC得到7+AC24，然后解一次方程即可作DFAC于F，如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB，DFAC，DEDF4，SADB+SADCSABC，AC24，AC5，【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添

5、加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型【考点3 线段垂直平分线性质的应用】【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。【例3】如图：在ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC6cm，则ADE的周长是（）A3cm B12cm C9cm D6cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DADB，EAEC，根据三角形的周长公式计算即可AB和AC的垂直平分线分别

6、交BC于点D、E，DADB，EAEC，ADE的周长AD+DE+AEBD+DE+ECBC6cm，【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键【变式3-1】（2019春南华县期中）如图，在 RtABC中，C90，AC3，BC4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则ACD的周长是（）A7 B8 C9 D10【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出ADBD，进而得出答案AB的垂直平分线交BC于点D，ADBD，BC4，AC3，CD+ADCD+BDBC4，ACD的周长为：4+37【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出ADB

7、D是解题关键【变式3-2】如图，在ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，ABC的周长为19，BCE的周长为12，则线段AB的长为（）A9 B8 C7 D6【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AEBE，又由BCE的周长为12，可得AC+BC12，继而求得答案DE为AB的垂直平分线，AEBE，BCE的周长为12，BC+BE+CEBC+AE+CEBC+AC12cm，ABC的周长为19，AB+AC+BC19，AB19127，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等【变式3-3】如图，在ABC中，PM、QN分别是AB、

8、AC的垂直平分线，BAC100那么PAQ等于（）A50 B40 C30 D20【分析】根据三角形内角和定理得到B+C18010080，根据线段垂直平分线的性质得到PAPB，QAQC，根据等腰三角形的性质计算即可BAC100B+C180PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，PAPB，QAQC，PABB，QACC，PAQ180（PAB+QAC）180（B+C）20【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键【考点4 等腰三角形的性质】【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线

9、是它的对称轴。2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。【例4】已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40，则此等腰三角形的顶角是（） B130 C50或 140 D50或 130【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论当为锐角时，如图：ADE40，AED90A50当为钝角时，如图：ADE40，DAE50顶角BAC18050130【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键【变式4-1】如图，已知ABACBD

10、，则1与2的关系是（）A312180 B21+2180 C1+32180 D122【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得1和C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得1和2之间的关系ABACBD，BC18021，12180312180【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中【变式4-2】如图，若ABAC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A（1）（2）（3） B（1）（3）（4） C（2）（3）（4） D（1）（2）（4）【分析】根据

11、等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形中作B的角平分线即可；过A点作BC的垂线即可；中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键【变式4-3】如图，在第一个ABA1中B20，ABA1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2A1C，得到第二个A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3A2D；，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A175 B170 C10 D5【

12、分析】先根据等腰三角形的性质求出BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律即可得出A6的度数在ABA1中，B20，ABA1B，BA1AA1A2A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A140；A同理可得DA3A220，EA4A310An以点A4为顶点的底角为A5A55【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键【考点5 轴对称性质的应用】【方法点拨】掌握轴对称的性质：1.成轴对称的两个图形全等。2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线

13、被对称轴垂直平分。3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。【例5】如图，点P是ACB外的一点，点D，E分别是ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE2.5，PD3，ED4，则线段P1P2的长为 【分析】利用轴对称图形的性质得出PEEP1，PDDP2，进而利用DE4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，PEEP1，PDDP2，PE2.5cm，PD3cm，DE4cm，P2D3cm，EP12.5cm，即DP1DEEP142.51.

14、5（cm），则线段P1P2的长为：P1D+DP21.5+34.5（cm）故答案为4.5【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PEEP1，PDDP2是解题关键【变式5-1】如图，在ABC中，点D为BC边上一点，点D关于AB，AC对称的点分别为E、F，连接EF分别交AB、AC于M、N，分别连接DM、DN，已知DMN的周长是6cm，那么EF 【分析】根据轴对称的性质知，EMDM，FNDN，所以由DMN的周长公式得到DMN的周长EF由轴对称的性质知，EMDM，FNDN，EFEM+MN+FNDM+MN+DNDMN的周长6cmDMN的周长EF6 cm故答案是：6 cm【点睛】考查了轴对称的性质，如果

15、两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线【变式5-2】如图，在AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm【分析】利用对称性得到CMPC，DNPD，把求MN的长转化成PCD的周长，问题得解点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，MCPC，NDPD，MNCM+CD+NDPC+CD+PD30cm【点睛】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等【变式5-3】如图，点P是AOB外一点，点M、N分别是AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线

16、段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上若PM2.5cm，PN3cm，MN4cm，则线段QR的长为 【分析】由轴对称的性质可知：PMMQ，PNRN，先求得QN的长度，然后根据QRQN+NR即可求得QR的长度由轴对称的性质可知：PMMQ2.5cm，PNRN3cm，QNMNQM42.51.5cm，QRQN+NR1.5+34.5cm故答案为：4.5cm【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键【考点6 设计轴对称图案】【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设

17、计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。【例6】如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）（1）图中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；（2）图中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对

18、称轴（画出一个即可）【分析】（1）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案；（2）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案（1）如图所示：即为所求；（2）如图所示：即为所求【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键【变式6-1】如图，下列44网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对称图形，请设计出四种方案【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案如图所示：【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键【变式6-2】如图，在22的正方形网格中，每个小

19、正方形的边长均为1请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与ABC成轴对称图形【分析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形【答案】画对任意三种即可【点睛】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点【变式6-3】方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于

20、10；（3）直接写出图3中FGH的面积是 （1）找出点A关于BC的对称点即可；（2）先构造以1和3为直角边的直角三角形，然后以三角形的斜边为边构造正方形即可；（3）构造如图所示的矩形，根据GFH的面积矩形面积减去三角形直角三角形的面积求解即可（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）如图3所示：FGH的面积矩形ABHC的面积AFG的面积BGH的面积FCH的面积5699【点睛】本题主要考查的是勾股定理、轴对称图形的性质，将三角形GEH的面积转化为一个矩形与三个直角三角形的面积的差是解题的关键【考点7 等腰三角形的判定】【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是

21、等腰三角形。简称“等角对等边”（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。【例7】如图，DEBC，CGGB，12，求证：DGE是等腰三角形【分析】根据已知条件，容易得出ADE，ABC都是等腰三角形，则G为等腰ABC底边BC的中点，为此连接AG，由等腰三角形的轴对称性质，得出结果连接AG，DEBC，ABC1，ACB2又12，ABCACB又G为BC中点，AGBCAGDE且平分DE，DGGEDGE是等腰三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和平

22、行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所学结论，灵活选用解法【变式7-1】如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E求证：BED是等腰三角形【分析】依据角平分线即可得到EBDDBC，依据平行线的性质即可得到EDBDBC，进而得出EBDEDB，由此可得BED是等腰三角形【答案】证明BD是ABC的角平分线，EBDDBCEDBDBCEBDEDB，EDEB，BED是等腰三角形【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等【变式7-2】已知：如图，O为ABC的BAC的角平分线上一点，12，求证：ABC是等腰三角形【分析】要证明三角形是等腰三角

23、形，只需证明ABCACB即可，只要56，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得【答案】证明：作OEAB于E，OFAC于F，AO平分BAC，OEOF（角平分线上的点到角两边的距离相等）12，OBOCRtOBERtOCF（HL）561+52+6即ABCACBABACABC是等腰三角形【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键【变式7-3】已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OBOC求证：【分析】由OBOC，即可求得OBCOCB，又由，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等

24、于180，即可证得ABC是等腰三角形OBOC，OBCOCB，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，BECCDB90BEC+BCE+ABCCDB+DBC+ACB180180BECBCE180CDBCBD，ABCACB，ABAC，ABC是等腰三角形；【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用【考点8 “三线合一”性质的应用】【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。【例8】如图，在ABC中，BAC90，ADBC，BE平分ABC，G为EF的中点，求证：AGEF【分析】只要证明AFAE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；BE平分ABCABECBEAEF90ABE又AFEDFB90CBEAFEAEF，AFE为等腰三角形