初一数学绝对值知识点与经典例题Word文档下载推荐.docx

1、d|的几何意义：在数轴上，衣示这个数的点离开原点的距离.a-b的几何意义：在数轴上，表示数b对应数轴上两点间的距离.【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解;（2）证明绝对值不等式主要有两种方法:A） 去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法:B） 利用不等式：|a|-|b| W|a+b| W|a| + |b|,用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与己知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例 1：已知|x2| + |y3| =0,求 x+y

2、 的值。解：由绝对值的非负性可知x-2= 0, y-3 = 0； 即：x二2, y =3； 所以x+y二5 判断必知点： 相反数等于它本身的是 02倒数等于它本身的是 13绝对值尊于它本身的是非负数【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1.非负性：若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.2.绝对值的非负性；若|d| + |b| + |c| = 0,则必有d = 0, b = 09 c = 0【例题】若|x+3| + |y+l| + |z + 5| = 0,则x-yz= 。7 - 2巩总结：若干非负数之和为0, + 2 2p-l = 0 ,则 p+2n + 3m3【巩固】先化简，再求值：3

3、/b - 2ab2 - 2（ab -a2b） +2ab .其中 g、b 满足 d + 3b + l+（2d 4）2=0.（二）绝对值的性质【例1】若aal-b-bC.B yVO, xD x=0, y0 或 y=0,【例 9】已知：xVOVz, xy0,且 |y|z|x|,那么 | x+z I +1 y+z I -1 x-y | 的值（ ）A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m| m,则 m|b|,则ab,其中正确的有（ ）A. （1） （2） （3） B. （1）

4、（2） （4）C. （1） （3） （4） D. （2） （3） （4）【例11】已知a, b, c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则Ic_b _ ba|-|ac|- -I c o alb【巩固】知a、b、c、d都是整数,且|a+b| +1b+c | +1c+d| + d+a| =2,求|a+d|的值。【例 12】若 x 化简:|b|-1a+b |-1 cb | +1 arc = 【例15】已知数a、b、c的大小关系如图所示， , ,|b 0 a c则下列各式: b + a + （-c） 0 ；（-a） - b + c 纟 + 2 + =； be - 67 a |/?| c5a-

5、b-c + k + a-c = -2b-其中正确的有 （请填写番号）a b c【巩固】已知：abc工0,且M= 4- H ,当a, b, c取不同值时，M有a b c种不同口J能.当a、b、c都是正数时，M二 ；当a、b、c中有一个负数时，则M二 当a、b、c中有2个负数时，则M二 c abc .当a、b、c都是负数时，M二 【巩固】已知ci,b,c是非零整数，且a + b + c = O,求二+纟+ 同问（3）绝对值相关化简问题（零点分段法） 零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号.【例题】阅读下列材料并解决相关问题:x（x 0）我们知道|x| = Jo（x = O），现在我们

6、可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， -x（x0）如化简代数式卜+ 1| +卜一2|时，可令x+l = 0和兀一2 = 0,分别求得x = l,x = 2 （称一1,2分别为卜+ 1|与卜2|的零点值），在有理数范圉内，零点值x = 1和x = 2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3屮怙况：（i）ixv1 时，原式=（x + 1） （兀一2） = 2x +1（2）当一1 Wxv2 时，原式= x+l-（x-2） = 3当 x22 时，原式= x+l + x2 = 2x12x + l（x -1）综上讨论,原式h3（-lWxv2）2x- l（x 2 2）（1） |x+2|和丨x-4|的零

7、点值分别为x=-2和x=4/IJ 1 、“ J L A 1（2）当 x3的x的取值范围为 ,（5） 若|x-l| + |x-2| + |x-3| + L +|x-2008|的值为常数,试求x的取值范围.（五）、绝对值的最值问伙-1|有最小值，这个最小值是多少？x-ll+3有最小值，这个最小值是多少？x-l|-3有最小值，这个最小值是多少？-3+|x-l|有最小值，这个最小值是多少?-|x-l|有最大值，这个最大值是多少？2） 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少?3） 当x取何值时，-x-1卜3有最大值，这个最大值是多少?4）当x取何值时，3-|X-l|有最大值，这个最大值

8、是多少? 若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如卜知识点：、1） 非负数：0和正数，有最小值是02） 非正数：0和负数，有最大值是03） 任意有理数的绝对值都是非负数，UP|a|0,则-|a|0,有最小值是0,- x+m 0, -|x+3|0, -|xl | n,有最小值是n-|x+m|+n0）或者向左（M0）平移了 |n|个单位，为如|x-l|0,则|x-l|+33,相当于|xl|的值整体向右平移了 3个单位，|x-l|0,根据3 4）、5 ）可以发现,当绝对值前面是+ 号时，代数式有最小值， 有号时，代数式有最大值.例题1： 1 ）当x取何值时，x-1有最小值，这个最小值是多少？2）当

9、x取何值时，|x-l|+3有最小值，这个最小值是多少？3）当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少?4）当x取何值时，-3+|x-l |有最小值，这个最小值是多少？1）当x-l=0时，即x=l时,x-1有最小值是02）当 x-l=0 时，即 x=l 时，|X11+3有最小值是33）当xl=0时，即x=l时，xT-3有最小值是-34）此题可以将-3+|x-l|变形为|x-l|-3,即当x-1二0时，即x=l时，|1-3有最小值是-3例题2： 1）当x取何值时，- x-l丨有啟大值，这个最大值是多少？2）当x取何值时，-|x-l +3有最大值，这个最大值是多少?3）当x取何值时，-|x-l|-3有

10、最大值，这个最大值是多少?4）当x取何值时，3-|x-l|有最大值，这个最大值是多少? 解:1）当x-l=0时,即x=l时，-|x-l|有最大值是02）当x-l=0时，即x=l时，T x-11 +3有最大值是33）当x-l=0时，即x=l时，-x-113有最大值是-34 ） 3-|x-l|可变形为-|x-l|+3可知如2）问一样，即：当x-l=0时，即x=l时，二x-1 +3有最大值是3（同学们要学会变通哦 思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）x+a有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时X值是多少？2 ）1+b有最大（小）值？此时x值是多少？3）- x+a|+b有最大（小）值？例题3

11、：求|x+l|十|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范朗 分析：我们先回顾下化简代数式I x+11 +1 x-21的过程：在数轴上找到-1和2的位置，发现和2将数轴分为5个部 1）当*T 时,x+l0 x20,贝9 |x+l |+x-2=一 -（x-2）二一xT-x+2二一2x+l2）当 x=-1 时，x+1 二0, x-2=-3,则 | x+11勺x-21 二0+3二33）当-lx0, x-22 时，x+l0, x-20,贝9|x+l +1x 2|二x+l+x 2=2x l我们发现：当 x当TWxW2 时，|x+l| + |x-2|=3x2 时，x+l|+ x-2|=2x-l所以：可知|x

12、+l| + |x-2|的最小值是3,此时： - lgx可令x+1二0和x-2二0,得x=-l和x=2 -1和2都是零点值）则当21 2时,x+l 2丄的最小值是3评：若问代数式|x+l| + |x-2|的最小值是多少？并求X的取值范围？ 一般 都出现填空题居多；若是化简代数式|x+l| + |x-2|的常出现解答题中。所 以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，X的取值范 围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。例题4：求|x+ll +|xT2 | + |x+13的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+U +|x-12| + |x+13|的过程可令 x+11=0,

13、 xT2=0, x+13=0 得 x=Tl, x=12, x二-13 （-13, -11, 12 是本题零点值）1）当 *-13 时，x+lKO, x-120, x+13贝lj | x+111 +1 xT21 +1 x+131 =-x-11 -x+12-x-13=-3x-122）当 x=-13 时，x+11 二-2, xT2二-25, x+13二0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13-l1 时，x+ll0, x-12则Ix+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当 x二T1 时，x+11=0, x-12=-2

14、3, x+13二2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-U0, xT212 时,x+ll0, x-12则 | x+111 +1 xT21 +1 x+131 =x+l l+x-12+x+13=3x+12可知：-13 时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-1227当 x二-13 时， |x+ll|+|x-12|+|x+13|=40当-13-l1 时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25-x+14 当 x=-ll 时， |x+ll|+|x-12|+|x+13|=25当-U12 时,|x+ll| + |x-12| + |x+1

15、3|=x+36 , 25x+3612 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12观察发现代数式|x+ll| + |x-12| + |x+13|的最小值是25,此时x=-ll解:可令 x+11 二0, xT2二0_ x+13=0x=-l 1 x=12x=13 （T3, T1, 12 是本题零点值）将-11, 12, -13从小到大排列为-13-1112可知处亡13和12之间，所以当x=-ll时l |x+ll + x-12 +1x+131有最小 值是25 o先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。求代数式| x-11 +1 x-21 +1 x-31

16、+1 x-41的最小值回顾化简过程如下令x-l=0, x2=0, x-3=0, x-4=0则零点值为x=l, x=2 , x=3 , x=4（1）当 xl 时，|xl | +1 x21 +1 x31 +1 x4 | =-4x+10（2）当 1 2 时，|xl | +1x-21 +1x-3 | +1x-41 =2x+8（3）当 23 时，|x-l| + |x-2| + |x-3| + |x-4|=4（4）当 36当 l2 时,|x-l| + |x-2| + |x-3| + |x-4|=-2x+8 42x+8当 23 时,|x-l| + |x-2|+|x-3|+|x-4|=4当 34 时，|x-l

17、| +x-21 +1 x-31 +1 x-41 =2x-2 42x-2 则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2 AC当点D在点AB Z间时，如图DA协B+DC二DA十DB+DB十BC 4 DB C A-13 x 11 12 x当点D与点B重合时，DA+DB+DC二AB+AC二AC当点 D 在 BC 之间如图 DA+DB+DC二AB+BD+DB+DC二AC*BDACABD C -13 -11 x 12 x当点D与点C重合时，DA+DB+DC二AC+BOAC 当点D在点C右侧时DA+DB协C二AC+CD十BC+CD+CDAAC综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12- （-13）

18、 =25则 x=-ll x=12 x=-13将-11 , 12 , -13从小到大排练为-13当x=7ll时匚|x+ll|x712+ x+13的最小值是点A （-13）与点C （之间 的距离即 AC=12-（-13）=25【例题6】x-1|的最小值x-l| + |x-2的最小值+1 x-4 | +1 x-5 | +1 x-6 的最小值+1 x-4 | +1 x-5 | +1 x-6 +1 x-71 的最小值+1 x-41 +1 x51 +1 x61 +1 x-71 +|x81 的最小值|xT| + |x-2 +|x_3 +1 x41 +1 x51 +1 x6 +|x-7|+|x-8| + |x

19、-9| 的最小值I x_l | + |x_2 +|x-3 +1 x-4 | + | x-5 |+ | x-61+ | x-71+| x-81 +1 x91 + x101 的最小值【解】：当x=l Jt， xT的最4、值是0当1WxW2时,x-11+ x-2的最小值1当x=2时，xi |十x-2 + | x3的最小值2=2十0当 2WxW3 时，|x-l |+x-2|+x-3+x-4的最小值 4=3+1当 x=3 时，xl | +1 x-21 +1 x-31 +1 x4 | +1 个值 6=4+2当 3WxW4 时，I xl | + |x-21 + | x31 +1 x4 +1 x-51 +1

20、x-61 的最小值 9二5+3+1当 x=4 时，xl+ |x-2| +x-3+ x-4|+K一 5 +x6 *x-71的最小值12=6+4+2当4WxW5时，xT +|x-21 +x 3| + +|x-6|+ x-7|+x-8 的最小值 16=7+5+3+1当 x=5 时,x-1+ x-2|+x3+1 x-6+ x-7 + x-8+ x-91 的最小值 20=8+6+4+2当5WxW6时，x-1 +|x_2 +x_3|+x-8+ x-9x-10 的最小值 25=9+7+5+3+1【解法2】：捆绑法xl 十 x2 +|x_3 +|x-4|十 x5|+ x6 +|x7 + x8|+|x9 十 x

21、10|=（|xl1 + 1x10 ） + （|X-2+1x-91 ） + （|x31+ x81 ） + （|x-4 +1x-71） + （ x-51+ x6| ）若I x-1 | + |xTO|的和最力、可知x査数和数10之间I x-2+1 x-9的和最小二可知数x査数2和数9之间|x-3|+ x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间I x-41 +1x-71的和最小可知数?数和数7之间I x-51 + x61的和最小，可知数x在数5和数6之间若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任总一个数丄含数5和数6） 都可以。若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶

22、数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可 以使代数式取最小值或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以若想求出最小值可以求关键点即可求出【例题7】（1）已知|x|=3,求x的值（2）已知|x|3,求x的取值范圉（5）已知|x|【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，（1）若|x|=3,贝ij x二-3 或 x=3（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3,若|x|3,则-3（3）若|x|V3,则-33,则x（5）若 |x|3,则 x（1） x=-3 或 x=3 （2） -3（3 ） -33 （4 ） x（5 ） x【例题8】（1）己知|x|3,则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|V3,则满