参数方程与极坐标(精华版).doc

1、参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数，的几何意义为圆心角），特殊地，当圆心是原点时，注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）

2、x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+ y=3sin y=cos y=t2+总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程： Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x轴

3、上的双曲线： （为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线： 4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：（t为参数，p0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P0（x0，y0），倾角为的直线， P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程 （t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧 P0P=t直线参数方程的变式：，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方和是1时，几何

4、意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得 ，让作为t，则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线 x=-1+3t y=2-4t，求其倾斜角.极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(, )就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点A（1，）B（2，）C（3，-）思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单

5、位,即极径；角度单位及它的方向，即极角（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.（3）如无特殊要求，则极径取正值.直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x，y）极坐标（，） =tan= 极坐标（，）直角坐标（x，y） x=y=练习1：将下列直角坐标化为极坐标A（1，-1） B（1，）练习2：将下列极坐标化为直角坐标A（2，） B（1，2）练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标（1）（4，）（6，-）；（2）（4，）（6，）二、直线的极坐标方程或+ 三、圆的极坐标方程 四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线） 设 =P，其中，当0e

6、1为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义 1已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。解：（1）直线的参数方程为，即 （2）把直线代入得，则点到两点的距离之积为2过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。解：设直线为，代入曲线并整理得则所以当时，即，的最小值为，此时。3直线被圆截得的弦长为 .【解析】： ，把直线代入得，弦长为4直线和圆交于两点，则的中点坐标为_解： ，得， 中点为考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1直线与圆相切，则_。2在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值。考点三：用极坐标方程、参数

7、方程研究有关的交点问题1在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_2.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点极坐标为 . 考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题一、1求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。2已知直线与直线相交于点，又点，则_。3直线被圆截得的弦长为_。二、距离最大最小问题4在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。解：设椭圆的参数方程为， 当时，此时所求点为。5点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。解：设，则即，当时，；当时，。考点五：极坐标方程与参数方程混合1 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O

8、为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。【解析】（）由得即（）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=。2在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线（I）求的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|解：（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以 即 从而的参数方程为（为参数

9、）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.3.已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，)(2)C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)P点轨迹的普通方程为(x)2y2.故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆10