定积分应用题附答案.doc

1、定积分的应用复习题一填空：1曲线所围成的平面图形的面积为A = =b-a_2. _二计算题：1求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y 2 = 0 所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y，解方程组 得即抛物线与直线的交点为（，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为2，1 。（2）在区间2，1上，任取一小区间为 y , y + dy ,对应的窄条面积近似于高为(y）-y2 ,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素dA = (y)- y2 dy(3)所求图形面积 A = （1- y）-y2 dy = y - y2 y= 2求抛物线

2、 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。解：由y = - x2 + 4x 3 得 。抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ ，3 ）。故 面积A = 3求由摆线 x = a (t sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。解：4 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos解：两曲线的交点由故 A = = 5计算由摆线 x = a (t sint

3、) , y = a ( 1- cost) 的一拱（），直线y = 0 所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。解： =6求由x2 + y 2 = 2和y = x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组： ， 得圆与抛物线的两个交点为， ，所以积分区间为 -1，1。（2）在区间-1，1上任取一小区间x, x+dx，与它对应的薄片体积近似于（2 - x2）- x4 dx ,从而得到体积元素 dV = （2 - x2）- x4dx = （2 - x2- x4）dx.（3）故 = （2 - x2- x4）dx = 7求圆盘绕Y轴旋转而成的

4、旋转体的体积。解 设旋转体积为V，则 8设有抛物线C：y = a bx2 ( a 0 , b 0 )，试确定常数a , b 的值，使得C与直线y = x + 1 相切，且C 与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1相切，故有 K = - 2bx = 1 , 得 由 解得 ，即： 由 令 得 9设星形线方程为（ a 0），求：（1）由星形线所围图形的面积（2）星形线的长度。解：（1）由对称性得A（2）L = = = 10计算曲线 自原点到与具有铅直的切线最近点的弧长。解：曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为，原点对应的参数 t = 1 。故 s = 11设S1为曲线y = x2 、直线y = t 2 （t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y = x2 、直线y = t 2 及x = 1所围图形的面积。问 t 为何值时，S = S1+S2取得最大值、最小值。解：令 于是 故 Smax = S(1) = , Smin = 三证明题：1.证明：曲线 y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+ y2 = 2的周长。证明：y = sinx 的一个周期的弧长L1 = 椭圆 2x2+ y2 = 2 即：化为参数方程为其弧长为L2 = 故 L1 = L2