因动点产生的直角三角形问题.docx

1、因动点产生的直角三角形问题1.3因动点产生的直角三角形问题我们先看三个问题:1. 已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2. 已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?3. 已知点A(4, 0),如果OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标. 图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、 B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、 A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二

2、步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.图4如图4,已知A(3, 0), B(1, -4),如果直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.如果作BDy轴于D,那么AOCCDB.设OC=m,那么=.这个方程有两个解,分别对应图

3、中圆与y轴的两个交点.例112016年义乌市绍兴市中考第24题如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4, 3),点A、 C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1: y=2x+3,直线l2: y=2x-3. (1) 分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标;(2) 已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3) 我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且点N的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).请打开几何画板文件名“16义乌绍兴24”,拖动点P在BC上

4、运动,可以体验到,有3个点M可以落在直线y=2x-3上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有4个点N随点P运动.1. 第(2)题:设M(x, 2x-3),擦去两条直线,在BC上取点P.2. 以AP为斜边构造等腰RtAPM,再以MA和MP为斜边构造直角三角形全等.3. 以AP为直角边构造等腰RtAPM,再以AP和PM为斜边构造直角三角形全等.4. 第(3)题与(2)题相同的是AMP=ANP.求x关于m的关系式.例122017年达州市中考第25题如图1,点A的坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作等边OAB,点C为x轴上一动点,且在点A的右侧,连结BC,以

5、BC为边在第一象限内作等边BCD,连结AD交BC于点E.(1) 直接回答:OBC与ABD全等吗? 试说明:无论点C如何移动, AD始终与OB平行;(2) 当点C运动到使AC2=AEAD时,如图2,经过O、 B、 C三点的抛物线y1.试问:y1上是否存在动点P,使BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值. 图1 图2请打开几何画板文件名“17达州25”,拖动y轴上的点H可以平移直线l,可以体验到,当直线l

6、与开口向下的抛物线左侧相切,或与开口向上的抛物线右侧相切时,直线l与两条抛物线的公共点有3个.1. CBO绕着点B逆时针旋转60与DBA重合,把图形中60的角都标记出来.2. 第(2)题要分三步完成:先确定点C,再求抛物线的解析式,最后分两种情况讨论点P,共有3个符合条件的点P.3. 第(3)题采用数形结合思想,当直线与抛物线相切时,联立方程组消去y,那么=0.例132017年上海市中考第25题如图,已知O的半径长为1, AB、 AC是O的两条弦,且AB=AC, BO的延长线交AC于点D,连结OA、 OC. (1) 求证:OADABD;(2) 当OCD是直角三角形时,求B、 C两点的距离;(3

7、) 记AOB、 AOD、 COD的面积为S1、 S2、 S3,若S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.请打开几何画板文件名“17上海25”,拖动点A运动,可以体验到,OAB和OAC是两个全等的等腰三角形,4个底角保持相等,OCD可以两次成为直角三角形.观察面积比的度量值,可以体验到,当两个面积比相等时,比值就是黄金分割数.1. 把相等的弦所对的圆心角标记出来,由此得到的等腰三角形的底角都相等.2. 直角三角形OCD存在两种情况,不存在OCD为直角的可能.3. 第(3)题中的三个三角形都是等高三角形,把面积比转化为对应底边的比.1.4因动点产生的平行四边形问题我们先思考三个问题:1. 已知A、

8、 B、 C三点,以A、 B、 C、 D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?2. 在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?3. 在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分? 图1 图2 图3如图1,过ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.如图2,已知A(0, 3), B(-2, 0), C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).如图3,如果平行四边

9、形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、 C到这条直线的距离相等,点B、 D到这条直线的距离相等.关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.图4如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点, ABx轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, -x2+2x+3),点C的坐标可以表示为(x, x-1).线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AB=yA=-x2+2x+3,线段AC的长可以用A、 C两点的纵坐标表示为AC=yA-yC=-x2+2x+3

10、-(x-1)=-x2+x+4.通俗地说,数形结合就是: 点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.例142016年泰安市中考第28题如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与y轴交于点A(0, 5),与x轴交于点E、 B.(1) 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2) 过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;(3) 若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、 E、 N、 M为顶点的

11、四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、 N的坐标.请打开几何画板文件名“16泰安28”,拖动点P在AC上方的抛物线上运动,可以体验到,S随P变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点N在对称轴上运动,可以体验到,两个点M都有机会落在抛物线上.1. 设抛物线的顶点式比较简便.2. 四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.3. 因为AE与MN平行且相等,所以M、 N两点间的水平距离、竖直距离与A、 E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.例152017年上海市普陀区中考模拟第24题如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m(m0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图

12、象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB. (1) 求点A的坐标;(2) 求直线AC的表达式;(3) 点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、 B、 E、 F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.请打开几何画板文件名“17普陀24”,可以体验到,以A、 B、 E、 F为顶点的菱形存在四种情况,其中一种情况点F在x轴的下方.1. 从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.2. 第(3)题以AB为分类标准,分两种情况讨论菱形.两种情况的菱形都可以画出准确的示意图.例162017年成都市中

13、考第28题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C: y=ax2+bx+c与x轴相交于A、 B两点,顶点为D(0, 4), AB=4.设点F(m, 0)是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180,得抛物线C.(1) 求抛物线C的函数表达式;(2) 若抛物线C与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;(3) 如图2, P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C上的对应点为P.设M是C上的动点,N是C上的动点,试探究四边形PMPN能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由. 图1 图2请打开几何画板文件名“17成都28”,拖动点F运动,可以体验到,

14、正方形PMPN的顶点M、 N共有三次机会同时落在两条抛物线上,其中一次点F运动到原点.1. 用m表示抛物线C的顶点坐标,设抛物线C的顶点式.2. 抛物线C与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C经过点D,另一个临界时刻是B、 F重合.3. 第(3)题:先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.例172017年菏泽市中考第24题如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4, 0),与过点A的直线相交于另一个点D,过点D作DCx轴,垂足为C.(1) 求抛物线的表达式;(2) 点P在线段OC上(不与点O

15、、 C重合),过点P作PNx轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求PCM面积的最大值;(3) 若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、 C、 D、 N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“17菏泽24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,N在M上方时,不存在NM=DC的情况;M在N上方时,存在MN=DC.1. 点N、 M、 P的横坐标都用t表示,点N、 M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.2. 第(2)题先求SPCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.3. 第(3)题根据NM与D

16、C相等列方程,分两种情况:N在M上方,M在N上方.例182017年威海市中考第25题如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3).点M、 N为抛物线上的动点,过点M作MDy轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(1) 求二次函数的表达式;(2) 过点N作NFx轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;(3) 若DMN=90, MD=MN,求点M的横坐标. 图1 备用图请打开几何画板文件名“17威海25”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,MD=MN存在四种情况.1. 设MN与抛物线的对称轴交于点H

17、,那么MN=2MH.因此ME、 MN的长就可以用点M的坐标表示了.2. 第(3)题中MN=MD,点M与D、 N的位置关系存在四种情况.例192017年宿迁市中考第25题如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、 B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、 BC. (1) 求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2) 求ABC外接圆的半径;(3) 点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、 C、 P、 Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.请打开几何画板文件名“17宿迁25”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P和点P各有四次机会落在抛物线上,其中一次机会与点C重合.1. 翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.2. 观察ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是ABC外接圆的圆心.3. 第(3)题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.