算法题计算机算法设计与分析期末试题套含答案Word文件下载.docx

1、二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。斐波那契数列为：

2、0、1、1、2、3、，即：fib（0）=0;fib（1）=1;fib（n）=fib（n-1）+fib（n-2） （当n1时）。写成递归函数有：int fib（int n） if （n=0） return 0;if （n=1） return 1;if （n1） return fib（n-1）+fib（n-2）;一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u

3、 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 1 ， u 2 u 1 u 1 1 2 ， u 3 u 2 u 2 1 4 ，根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n u n 1 2 （n 2）对应 u n 和 u n 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：clsx=1for i=2 to 12next iprint yend分而治之法1、分治法的基本思想 任何一个可以用计

4、算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； （3

5、）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 3、分治法的基本步骤 分治法在每一层递归上都有三个步骤： （1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； （2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题； （3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。快速排序在这种方法中， n 个元素被分成三段（组）：左段l e f t，右段r i g h t和中段m i d d l e。中段仅包含一个元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元

6、素。因此l e f t和r i g h t中的元素可以独立排序，并且不必对l e f t和r i g h t的排序结果进行合并。m i d d l e中的元素被称为支点（ p i v o t ）。图1 4 - 9中给出了快速排序的伪代码。/ /使用快速排序方法对a 0 :n- 1 排序 从a 0 :n- 1 中选择一个元素作为m i d d l e，该元素为支点 把余下的元素分割为两段left 和r i g h t，使得l e f t中的元素都小于等于支点，而right 中的元素都大于等于支点 递归地使用快速排序方法对left 进行排序 递归地使用快速排序方法对right 进行排序 所得结果为

7、l e f t + m i d d l e + r i g h t 考察元素序列 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 。假设选择元素6作为支点，则6位于m i d d l e；4，3，1，5，2位于l e f t；8，7位于r i g h t。当left 排好序后，所得结果为1，2，3，4，5；当r i g h t排好序后，所得结果为7，8。把right 中的元素放在支点元素之后， l e f t中的元素放在支点元素之前，即可得到最终的结果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。把元素序列划分为l e f t、m i d d l e和r i g

8、h t可以就地进行（见程序1 4 - 6）。在程序1 4 - 6中，支点总是取位置1中的元素。也可以采用其他选择方式来提高排序性能，本章稍后部分将给出这样一种选择。程序14-6 快速排序 templatevoid QuickSort（T*a, int n） 对fn+1（xn+1）初始化; 边界条件for k:=n downto 1 dofor 每一个xkXk dofor 每一个ukUk（xk） dobeginfk（xk）:=一个极值; 或xk+1:=Tk（xk,uk）; 状态转移方程t:=（fk+1（xk+1）,vk（xk,uk）; 基本方程（9）式if t比fk（xk）更优 then fk（

9、xk）:=t; 计算fk（xk）的最优值end;for 每一个x1X1 doif f1（x1）比t更优 then t:=f1（x1）; 按照10式求出最优指标输出t;但是，实际应用当中经常不显式地按照上面步骤设计动态规划，而是按以下几个步骤进行：（1）分析最优解的性质，并刻划其结构特征。（2）递归地定义最优值。（3）以自底向上的方式或自顶向下的记忆化方法（备忘录法）计算出最优值。（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。步骤（1）（3）是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤（4）可以省略，若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤（4）。此时，在步骤（3）中计算最优值

10、时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速地构造出一个最优解。总结：动态规划实际上就是最优化的问题，是指将原问题的大实例等价于同一最优化问题的较小实例，自底向上的求解最小实例，并将所求解存放起来，存放的结果就是为了准备数据。与递归相比，递归是不断的调用子程序求解，是自顶向下的调用和求解。回溯法 回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问

11、题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，xn）组成的一个状态空间E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检

12、测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，xi的所有约束意味着j（jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，xj）违反D中仅涉及x1，x2，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E

13、表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造： 设Si中的元素可排成xi（1） ，xi（2） ，xi（mi-1） ，|Si| =mi，i=1，2，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1（1） ，xi+1（2） ，xi+1（mi） ，i=0，1，2，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，xn，反之亦然。另外，对于任意的0in-1，E中

14、n元组（x1，x2，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。 因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、，前缀I元组（x1，x2，xi），直到i=n为止。 在回溯法中

15、，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。【问题】 n皇后问题 问题描述：求出在一个nn的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。 这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。 1 2 3 4 5 6 7 8 Q 从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是

16、在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。 求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下： 输入棋盘大小值n； m=0; good=1; do if （good） if （m=n） 输出解； 改变之，形成下一个候选解; else 扩展当前候选接至下一列； else 改变之，形成

17、下一个候选解； good=检查当前候选解的合理性； while （m!=0）; 在编写程序之前，先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组，但仔细观察就会发现，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说，“常用信息”并不是皇后的具体位置，而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇后，引入一个一维数组（col ），值coli表示在棋盘第i列、coli行有一个皇后。例如：col3=4，就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外，为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，设定col

18、0的初值为0当回溯到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。 为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组： （1） 数组a ，ak表示第k行上还没有皇后； （2） 数组b ，bk表示第k列右高左低斜线上没有皇后； （3） 数组 c ，ck表示第k列左高右低斜线上没有皇后； 棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上的方格，他们的行号与列号之差均相同。 初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开始，在第m列colm行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组a 、b 和c 中为第m列，colm行的位置

19、设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a 、b 和c 中设置的关于第m-1列，colm-1行有皇后的标志。一个皇后在m列，colm行方格内配置是合理的，由数组a 、b 和c 对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序： 【程序】 # include # define MAXN 20 int n,m,good; int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1; void main（） int j; char awn; printf（“Enter n: “）; scanf（“%d”,&n）; for （j=0;j=

20、n;j+） aj=1;=2*n;j+） cbj=cj=1; m=1; col1=1; col0=0; printf（“列t行”）; for （j=1;j+） printf（“%3dt%dn”,j,colj）; printf（“Enter a character （Q/q for exit）!n”）; scanf（“%c”,&awn）; if （awn=Q|awn=q） exit（0）; while （colm=n） m-; acolm=bm+colm=cn+m-colm=1; colm+; else acolm=bm+colm=cn+m-colm=0; col+m=1; while （colm

21、=n） good=acolm&bm+colm&cn+m-colm; 试探法找解算法也常常被编写成递归函数，下面两程序中的函数queen_all（）和函数queen_one（）能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。 int n; queen_all（1,n）; void queen_all（int k,int n） int i,j; for （i=1;ii+） if （ai&bk+i&cn+k-i） colk=i; ai=bk+i=cn+k-i=0; if （k=n） queen_all（k+1,n）; ai=bk+i=cn+k-i; 采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，

22、递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不再递归试探，立即返回；若不能成为解，就得继续试探。设函数queen_one（）返回1表示找到解，返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。 int queen_one（int k,int n） int i,found; i=found=0; While （!found&i i+; if （k=n） return 1; found=queen_one（k+1,n）; ai=bk+i=cn+k-i=1; return found;分支定界法：分支限界法：这是一种用于求解组合优化问题的排除非解的搜索算法。类似于回溯法

23、，分枝定界法在搜索解空间时，也经常使用树形结构来组织解空间。然而与回溯法不同的是，回溯算法使用深度优先方法搜索树结构，而分枝定界一般用宽度优先或最小耗费方法来搜索这些树。因此，可以很容易比较回溯法与分枝定界法的异同。相对而言，分枝定界算法的解空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时，回溯法成功的可能性更大。算法思想：分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的

24、节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1） 先进先出（F I F O） 即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活 节点表的性质与队列相同。2） 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。如果查找 一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费 的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个 E-节点是具有最大收益的活节点装载问题用一个队列Q来存放活结点表，Q中weight表示每个活结点所相应的当前载重量。当weight1时，表示队列已达到解