数学悖论与谬误的区别与联系汇编.docx

1、数学悖论与谬误的区别与联系汇编212数学悖论与谬误的区别与联系2121数学悖论与谬误的区别“悖论(Paradox)一词来源于哲学和逻辑学。意指一种自相矛盾的论述，中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论最通俗的解释。悖论是一种导致自相矛盾的命题，这种命题如果承认它为真，那么它又是假的，如果承认它为假，那么它又是真的。例如著名的“说谎者悖论”：古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯说：“所有克里特岛上的人所说的话都是谎话。”问题也就此出现了。我们如果认为这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，与岛上的人所说的话都是谎话相矛盾。如果认为这句话是假的，也就是说岛上也有人不说谎。因此，哲学

2、家的这句话无论怎样也难以自圆其说，总是存在矛盾，这就构成了一个悖论。数学悖论历史悠久，一直可以追溯到2000多年前的古希腊和我国的先秦时期。数学中的悖论内容广泛，包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题。现在“悖论泛指那些推理过程看上去合理但结果却又违背客观事实的结论。数学悖论的出现极大的冲了数学的严谨性，因为当时的理论体系无法解决这一矛盾，导致很长的一段时间内整个学术界的恐慌。与此同时，大批数学家们投入极大的热情来解决这些问题，此过程中他们不断地完善原有的理论体系，甚至开辟出新的科学域，无形中让数学这门学科有了更加蓬勃的发展。一个错误的结论通过

3、似乎是合乎逻辑的解释而成为正确的结就叫谬误。一般的，谬误是用来形容思维上的错误，把不正确的事情说成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可证其为错误的论证类型，也就是说经过一系列错误的推理而必然得到的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简： 在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。任何一个论证都是为了说明它的结果是真的，但这两种情形下是不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过程如何的正确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题

4、，也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正确但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。 由上述可知，数学悖论和谬误都是一种矛盾命题，但两者之间也有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系的的不断充实和完善悖论也就随之消失。谬误在学习的任何过程中都有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。2122数学悖论与谬误的联系在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常

5、被用来解释现实世界，然而有时经验会告诉我们，当推理和数学论证的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学或现实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些“别扭的谬误，那么数学就成为了一块“净土”。所以在某些谬误不能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如：如果x2=Y2那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的X = Y，X = -y，-X =-y，-x=Y这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为X =Y，X = -y除非x=0，否则要么这

6、两个等式中有一个是错误的，要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错误的时候，就是一个悖论。这在数学这门学科不断完善的过程中是经常会遇到的，当0还没被发现之前，某些运算，如被除中有0的运算中出现的谬误，就是一个悖论，在O出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这些著名的悖论进行简单的介绍。并列出一些中

7、学数学中所涉及到的数学谬误，以供同学们欣赏和研究。22著名悖论举例221芝诺悖论芝诺(Zeno，约公元前490前430年)是古希腊伊利亚学派创始人巴门尼德的学生，他生活在古代希腊的埃利亚城邦，因其悖论而闻名于世，是一位伟大的数学家和哲学家。遗憾的是芝诺并没有什么著作流传下来，他的生平只能从亚里士多德的物理学和普里西奥斯为物理学作的注释中可见一斑。据说芝诺一生推出了40多个各不相同的悖论，现存的芝诺悖论至少有8个，其中以下关于运动的4个悖论尤为著名。(1)阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟传说中，阿基里斯是古希腊时期的一名长跑健将。芝诺说，他可以证明，如果先让乌龟爬出一段距离，那么阿基里

8、斯将永远也追不上行动缓慢的乌龟。芝诺是这样证明的，如图21，假设乌龟先爬一段距离当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经向前又前进了一段路程a1，到达A1点，阿基里斯要想追到乌龟必须先到达A1点。当阿基里斯跑过距离a1，到达a1点时，乌龟同时又爬出一段距离a2到达A2点，阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到A2点，乌龟同时又爬出一段距离a3，到达A3点。这样下去，阿基里斯跑到A3时，乌龟又跑到A4点。如此这般下去，阿基里斯就会永远追不到乌龟。 (2)二分说(运动不存在)由于运动的物体在到达目的地彳前必须到达其半路上的中点B，同理在到达占点之前，又应该先到达剩下距离的终点C，如此下去，该物体永远也不会

9、到达它的终点，运动也就不可能。(3)飞矢不动一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态；但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态，这就产生了矛盾。(4)游行队伍悖论首先假设在操场上，观众席彳、队列曰、队列C如图22排列，在一瞬间(一个最小时间单位)里，相对于观众席彳，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。观众席A 队列B-向右移动(一) 队列C-向左移动(一)B、c两个列队开始移动，如图2-3所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 口口口口 观众席A 队列B队列C而此时，对B而言C移动了两

10、个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。综上四个悖论，芝诺的悖论除了涉及空间和时间的概念外，还与无限问题有关。这些表明当时人们对无限的认识缺乏严密逻辑基础，所以当时的芝诺悖论促进了数学的发展。222理发师悖论数学中著名的悖论是罗素(BRussell，18721970)于1902年提出的，这位英国近代哲学家和数学家对新创立的集合论发起了猖狂的进攻，更让逻辑学家们不知所措，悖论的通俗表述是： 一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自己刮脸的人刮脸。一个智者问：理

11、发师先生，你是否应该为自己刮脸? 理发师无言以答，假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮脸的人刮脸”相矛盾。假如他不给自己刮脸，根据他的原则，他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾。罗素根据集合论的定义制造出一个集合 即集合么是由一些不属于自身的那些集合所构成的集合,换言之，对任一集合Z，如果，z就是么的元素；反之，如果zA，则如果A是A的元素，应该有AA；如果A不是A的元素，按A的定义，A应该属于A，得到不可调和的矛盾。而理发师悖论就是这个悖论的通俗表述。罗素悖论从根本上动摇了集合论体系，使数理逻辑家不得不重新创立公理化体系。高中一年级刚开始学习集合的概念，所以这一悖论可以作为使学生更好理解集

12、合的概念。223几何悖论不可能图形是几何悖论中的一种。荷兰画家埃舍尔十分擅长画这样的图形。如下图24，25是其中两个。几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描、线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。在教学中向学生介绍这些几何悖论的知识，不仅可以扩大学生的视野，而且告诫学生不能忽视正确的作图规则，同时也锻炼了学生的思维，激发学生的学习兴趣。 23悖论与三次数学危机231无理数的发现与第一次数学危机无理数的发现归功于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(大约公元前580一公元前500)出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，被誉为希腊论证数学的鼻祖。他在大希腊(今意

13、大利东南沿海的克洛托内)建立了一个秘密的宗教会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派。该学派致力于哲学与数学方面的研究，并取得了很大的成就。以毕达哥拉斯的名字命名的毕达哥拉斯定理(我们所说的勾股定理)，就是直角三角形的斜边上的正方形等于其余两边上的正方形之和(如图26)。这是在古代埃及、印度和中国被独立发现的，但我们还不知道其详细情况。公元前580年左右，毕达哥拉斯及其学派因研究了这个命题而著称于世。毕达哥拉斯学派另一项成就是正多面体作图，在三维空间中正多面体只有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。其中正十二面体的作图尤为特殊。它与著名的“黄金分割”有关，这个名称虽是后人在两

14、千多年以后才开始启用，但毕达哥拉斯学派在当时已经知道了该分割的性质。 毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”。他们认为任何量都可以表示为两个整数之比，翻译成几何语言相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，意思是有公共的度量单位。但在公元前470年左右，该学派的弟子希帕索斯却发现边长为1的正方形对角线与其一边却是不可“公度”的。原因如下：假设该对角线与一边之比为(m，n互素)，由勾股定理知： 即m2=2n2。这里，m2为偶数，则m为偶数，假设m=2p，那么4p2=2n2也即甩n2=2 p2，于是n也是

15、偶数，与假设m，n互素矛盾。 此时，单位正方形的对角线长为，是一个无理数，显然是没有办法表示为整数比。但当时，这个不可公度量的发现却使得毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的思想受到了极大的冲击，他们拒绝接受无理数的出现，惊恐不已。后来人们又陆发现了其他的无理数，这些数字的出现深深地困惑着古希腊的数学家，因此人们也把希腊数学中出现的这一逻辑困难称为“第一次数学危机”。大约一个世纪之后，欧多克斯提出了新的比例理论，这一危机才暂时消除。但是无理数问题直到19世纪戴金德和康托尔等人建立了实数理论才得以彻底解决。当人们的认识从有理数的领域扩展到实数领域后，毕达哥拉斯悖论自然消失。 第一次数学危机使得古希腊数学

16、从以数为基础转向了以几何为基础。公元前300年左右欧几里得在柏拉图、欧多克斯等人工作的基础上建立起历史上第一个数学公理体系几何原本。232贝克莱悖论与第二次数学危机进入十七世纪以后，科技的发展给人们带来了前所未有的惊奇与挑战。1608年，人类的第一架天文望远镜对准了星空，展现给世人的不只是令人惊奇不已的天文奇观，同时也提出了亟待解决的四个问题：瞬时速度问题，曲线的切线问题，函数极值问题，求积问题(曲线长度、曲面面积)。此后长达半个世纪的时间里，几乎所有的科学家都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的的时期内取得了迅速的发展。代表人物有伽利略、开普

17、勒、笛卡尔、费马等。遗憾的是，这些科学家虽然沿着不同的方向逼近了微积分这一新的科学领域，对于求解各类微积分问题做出了宝贵的贡献，但由于其所用方法缺乏一般性，最终也只能说为微积分的创立奠定了基础。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹就是在这样的情况下登场了，时代的需要与个人的才华使他们站在一个更高的高度，将前人的贡献与分散的努力综合起来完成了创立微积分最关键的一步。牛顿于伽利略去世那年(1642)的圣诞出生于英格兰林肯郡的一个农民家庭，是遗腹子且早产。少年牛顿并不是神童，但酷爱读书与制作玩具。17岁那年被母亲从就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农。后在其舅父和格兰瑟姆校长史托克斯的劝下，九个月后重回学校

18、读书。有意思的是，史托克斯校长的劝说词当中的一句话可以说是科学史上最幸运的预言：在繁杂的农活中埋没这样一位天才对世界来说将是多么巨大的损失! 牛顿对微积分问题的研究始于1664年初，他在大量研究了前人成果的基础上首创了无限小且最终趋于零的增量。后来他又以运动学为背景，从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法。莱布尼兹(16461716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，也就在那时他开始接触开普勒、笛卡尔等人的科学思想。与荷兰数学家、物理学家惠更斯的交往更是激发了他对数学的浓厚兴趣，并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。与牛顿的运动学背景不同，莱

19、布尼兹创立微积分是出于对几何问题的思考，并于1677年，在一篇手稿中明确陈述了微积分的基本定理。牛顿与莱布尼兹创立的微积分为整个自然科学史带来了革命性的影响。但在随后的发展过程中人们发现它并不是十分严格的，在使用“无限小”概念上特别混乱。正因如此，导致了数学发展史上的第二次危机。1734年，英国大主教贝克莱出于宗教的动机以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分析学家，或一篇致一位不信神的数学家。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论中关于无限小量的混乱假设进行了攻击。例如x=0? x0?y=x2y+x =(x+x)2=x2+2xx +(x )2y=2xx +(x)2y/x=2x牛顿假设x有一个无

20、限小的增量x，并以它去除Y的增量，然后又让这个增量消失，得到了y2的微分，贝克莱指出关于增量x的假设前后矛盾。他讥讽道：“这些消失的量究竟是什么呢?也不是无限小，又不是0，难道我们不能称他们为消失量的鬼魂吗?另外，下面的论断也让人不可小视：首先这个x应该为0，这是因为x=(1一1)+(11)+=0其次，可以证明x等于l，因为x=l一(01)一(0一1)一=1最后，还可以证明x等于，因为x=1一(11+11+一)x=1一x2x=1x=零表示没有，由于这个x可以等于零，等于l，等于，所以。0=1=而1和表示确实存在，这不是“没有”等于“有”吗?贝克莱的抨击虽是出于宗教动机，但也确实击中要害，揭露了

21、牛顿与莱布尼兹微积分的缺陷，导致数学家们长达百年的辩护与争论。最终在19世纪引入了极限论，建立了严密的实数理论才得以解决。233罗素悖论与第三次数学危机数学发展史上的第三次危机发生在19世纪末，20世纪初。上一节内容当中曾提到第二次数学危机的发生其本质就是微积分的基础无穷小量的不严格造成的，因此使数学的基础严格化就成了数学家们最终的目标。康托尔的集合论就是在这种情况下诞生了。它是19世纪末分析严格化的最高成就，它的概念和方法渗透到数学的各个分支中，成为其统一的基础理论。数学家们认为集合论或许可以彻底解决数学的基础危机，这一点令他们兴奋不已。法国数学家庞加莱甚至在1900年的巴黎国际数学大会上宣

22、称“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天我们可以说绝对的严格已经达到了”。固但就在第二年英国数学家罗素提出的悖论却使这段话陷入了无限尴尬的境地，并引发了对数学基础的第三危机。罗素提出的悖论作了如下假设：设M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合，那么集合N是否是其自身的成员呢?分析可知，如果N是其自身的成员，那么N就应该在M里与其前提中的假设矛盾；如果N不是其自身成员，那么就应该在集合N里，也就说明N是它自身的成员，无论如何也会导出矛盾的结果。通俗一点来讲，就是罗素后来所提出的“理发师悖论”：某乡村理发师为自己定下了一条原则，他只给村里那些不给自己理发的人理发。

23、问题就是他到底该不该给自己理发呢?假如他给自己理发那么就与他定下的原则相矛盾；如果他不给自己理发，那么按他提出的原则他又应该给自己理发。罗素关于集合论的悖论涉及到了集合当中最基本的概念，元素、集合、属于等，进而引发了撼动整个数学基础的严重危机。为了解决这一悖论，演化出了逻辑主义直觉主义和形式主义等数学学派，产生出了集合论的公理化系统。该系统保留了康托集合论的精华，又有效地排除了已经发现的集合悖论，而且至今未发现新的悖论。纵观数学的发展史，可以得到如下的结论：悖论的产生虽然为数学这门古老而又严谨的的学科带来了危机，但每一次解决危机的过程中数学学科也得到了蓬勃的发展。24中学数学中的悖论与谬误带着

24、辩证的眼光看，社会和自然界的万事万物都有正反两个方面，如果只看重正面的事情，不注意反面的情况，这样看到的问题就不是全面的。在数学的教与学的过程中也存在这样的情况。在数学问题解决的过程中，从正面解决问题较多而且学生也很容易理解，但是从反面分析问题不仅能够使学生更好的理解定义、定理等，而且在锻炼学生的逻辑思维能力方面起着不可忽视的作用。中学数学中经常会遇到一些具有悖论性质的逻辑错误，对这些谬误的分析可以提高学生的学习数学的能力。中学数学中出现的谬误可分为以下几类：错误的使用数学术语或以错误的条件为基础进行公式化；忽视了定理的适用条件；在运算中进行不允许的运算。在校本课程的开发过程中，将以下中学数学

25、中常见的悖论和谬误作为内容体系，分代数、几何、概率统计三个方面，将其在课余时间向学生介绍和讲解，对于学生尽快理解高中的数学知识有很大的帮助。241代数中的悖论高一刚入学的学生在初中阶段是经历了从算术到代数的阶段，成绩一般的学生在对代数的理解还是很模糊的，为了很好地进入高中代数知识的学习，在校本课程中加入一些代数方面由于谬误而导致的一些误解和误证，对于学生正确理解数学内容，掌握数学概念起到了举一反三的作用。(1)负数大于正数证明：对于任意的正数a，下列皆能成立： (-a)：(+a)= -1 但( -2)：(+2)亦等于一1，故 (-2)：(+2)=(-a)：(+a)在上面的比例式中，第一项大于第

26、二项(+2-2)，故第三项应大于第四项，即-a+a(2)设ab，c=a=b首先可得a+b=2c左右两边同乘a-b，则(a+a)(a-b)=2c(ab)即a2一b2=2ac一2bc移项有a22ac= b22bc左右两边同加c2得a22ac + c2= b22bc+ c2即(ac)2=(bc)2，再两边开平方ac=bc两边同加c就得到a=b与假设矛盾。为什么? 分析说明：此式出现数学“悖论”的原因是由于进行了不允许的运算，实际上 若要给(ac)2=(bc)2开平方，得到的应该是，然后由题意得a，b，c三者之间的大小关系是：若ab则acb；若ab则acb。无论a，b，c三者之问的大小关系是上述哪一种

27、情况，根据去掉绝对值的运算方法最终得到的应该是a+b=2c。(3)0=1吗?令x=1，两边同乘x可得x2=x，两边都减l则有x21=x一1再两边同除x一1就有x+1=1，也就是说x=0这不就是0=1吗? 分析：上式中的错误在于隐秘的使用了模糊不清的步骤。我们知道0是不能够做分母的，从两边同除x一1开始，推导过程就已经出现了谬误。(4) b贝a-b0若a6贝a-b0易知为真命题，为假命题，但与又是互为逆否命题，所以是等价命题，但与又一真一假，显然又不等价! 哪里出错了? 分析可知，这两个命题的前提是不一样的。式中的前提已经变成了a与b是实数。而式当中的前提还是两个复数。因此他们两个并不是真正意义

28、上的原命题与逆否命题。242几何中的悖论与谬误在平面几何问题解决中，由于图形画法的多样性，以及一些特殊位置的不确定性，在几何问题解决中常常会出现一些谬误的现象。在学生进入高中学习立体几何之前经常向学生介绍平面几何中常见的一些谬误问题，对以后的学习有一定的辅助作用。(1) =2吗?我们道，直径为2的半圆的弧长为，同时我们也容易算出：在该半圆直径上依次依次以1、12、14、18为直径作一系列小半圆，这些小半圆的弧长之和总是。随着小半圆弧的加密，一方面它们的弧长之和始终为；另一方面，这些小半圆弧越来越“贴近”大圆的直径，而直径长为2。你瞧，这不是=2吗?(如图27) 分析：无论小半圆如何加密，它的弧

29、长总和始终是一个常量，而这些小半圆弧越来越贴近大圆直径的过程中，我们可知那始终是一个变量，其中体现出的是极限思想，但由此得到该极限等于大圆直径长是错误的。(2)“任意三角形都为正三角形” 任作一ABC，作的平分线与AB边的垂直平分线，两者交于E点，作AC与BC的垂线EF，EG，连接EA、EB。 (如图28)因为CE是CEF与CEG的公共斜边，又因FEC=GCE，FE=GE，则CEFCEG，故有CF=CG。又因为EO是AB的垂直平分线，故AE=BE，所以RtEFARtEGB，故FA=GB至此得FA+CF=GB+CG，即AC=CB，同理可得AC=AB，故有AB=BC=AC，所以任意三角形都为正三角

30、形。分析：上面的推理过程中出现悖论是因为作图不准确。只要把该图画得标准，就知道E点根本不在ABC内部。(3)线段等于其部分证明：如图2-9，设ABC是不等边三角形，顶角是最大角。自顶点A作AD使2=1并作底边BC的垂线AE。以S1及S2分别表示ABC及ACD的面积，因这两个三角形是相似的，故S1：S2=AB2：AD2又因这两个三角形等高，故S1：S2=BC：DC一自，得AB2：AD2=BC：DC但在任意三角形中，对锐角之边的平方等于其他两边平方和减去其中一边与他边在此边上射影之积的二倍，故AB2= AC2+BC22BCECAD2=AC2+DC22DCEC代入得自上式可知BC=DC。 (4)魔术师的地毯 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是13米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成08米宽21米长的矩形。敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗?边长13米的正方形面积为169平方米，而宽08米长21米的矩形面积只有168平方米，两者并不相等啊!除非裁去001平方米，不然没法做。秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图(图210)的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图(图211)的样子把这四块拼在一起缝好就行了。魔术大师是从来不会错的，你放心做吧!”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽08米长21米。魔术师拿着改