初中数学课程 第一章 数与代数Word文档下载推荐.docx

1、复数的引进。数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。按照上述扩充原则，通常有两种扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充，如， 中小学数学课程中，数系的扩充，一般采取的是这种方法。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一

2、个部分集合与以前所建立的数系是同构的，这里不再赘述。二、自然数的发展历程是怎么样的？众所周知 0 ， 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 ，叫做自然数。自然数起源于数（ sh ），它可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序。当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。因而，自然数有两种作用，一种是计数，一种是排序，并最终形成了自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论（一）自然数 大多数文明很早就会计数了，但数字符号的发明可能要晚于文字符号，含有数字符号加名数的文字符号并不

3、能意味着人们已经把关于数量的感知抽象到数字符号。而只有当数字符号除了表示数量多少之外没有其它具体含义，每一个具体的事物都只是这种表示的特例时，这种表达才具有一般性。也就是说关于数量关系的第二步抽象，即符号表达必须摆脱具体内容和背景，这样才可能建立起一般地“多少”概念。从一类事物的共同属性中抽象出“数”。 两匹马、两头驴、两个人都是 2，能抽象出 2是非常了不起的。中国历史上对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学总是带有名数。其实，世界上根本没有 2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料等等，能抽象出 2是了不起的事情。比如有 3个苹果，计数的结果是 3； 3个足球，虽然对象

4、不同了，但计数的结果仍然是 3。它就跟数词“三”，数字“ 3”联了起来。此时用到了有关“基数”的概念。再如，对 5个苹果进行计数的时候，不管是孩子或成人，都会嘴里念 1， 2， 3， 4， 5。当然也有的人是在心里默念的。在计数的过程当中，就已经用到了有关“序数”的概念。（二）自然数的两大基本理论 1 基数理论 当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。 19 世纪中叶，数学家康托（ G.Cantor ）以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。两个集合 A 与 B 元素之间存在一一对应，则

5、称这两个集合是等价的，记为 A B，凡是能够彼此一一对应的有限集合构成一个等价类。等价集合的共同特征称为基数（或势）。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。从有限集合的基数来解释自然数就有如下定义：有限集合 A的基数叫做自然数。记作“ ”。这里所说的有限集合不包含空集（空集用 来表示）。所有等价于 的集合的基数，用符号“ 1”表示。即 =1 ， 1是自然数。如一个人的集合、一本书的集合、一张桌子的集合为等价集合，这类集合的基数用符号“ 1”表示。类似地 这样我们就可以利用集合的基数来刻画自然数以及加法、乘法运算和运算律。 当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。特别地，空集 的基数就是 0.

6、 而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为 N 。2 序数理论 为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。对某一个有限集合计数，就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法启发了意大利数学家皮亚诺（ G. Giuseppe Peano ， 1858 1932），他于 1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。自然数的序数理论，是根据一个集合里某些元素之间有“后继” （如 3是 2的后继， 15是 14的后继 ）这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按 1、 2、 3、 4、 5、

7、 这样一种基本关系而完全确定下来。定义 非空集合 N*中的元素叫做自然数 ,如果 N*的元素之间有一个基本关系“后继” （b后继于 a,记为 b=a ），并满足下列公理：（ 1） 0 N*；（ 2） 0不是 N*中任何元素的后继元素；（ 3）对 N*中任何元素 a，有唯一的 a N；（ 4）对 N*中任何元素 a，如果 a 0，那么， a必后继于 N*中某一元素 b；（ 5）（归纳公理）如果 MN*，而且满足条件 : 0 M；若 a M，则 a M.那么， M= N*. 这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。事实上，很容易验证，我们日常所用的全体自然数的集合满足上述定义。反之，

8、如果把 N*中的 0放在最前面，后面紧跟它的后继数，以此类推，可把 N*中元素排成一列： 0， 0，（ 0）， .如果选用适当的符号，如记 0 =1， 1 =2， 2 =3，便是我们所熟悉的自然数列： 0， 1， 2， 3， 4， . （三）自然数 “ 0”自然数 0是作为空集 的标记。在空集中，加入一个元素就得到含有一个元素的集合，就可用 1表示。从基数理论看， 1比 0多 1，这样就可以把 0写在自然数系的前面，得到一个数列： 0、 1、 2、 3、 4。这个数列就叫做扩大的自然数系。既然 0成了扩大的自然数系里的一员，它也就取得了自然数的资格。我国以往的中小学数学课程不将 0列为自然数，

9、直到 1993年颁布的中华人民共和国国家标准（ GB 3100-3102-93）量和单位（ 11-2.9）第 311页，明确规定自然数包括 0。这才有了数学课程中 0在自然数中的“合法”位置。“ 0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和中国宋代以前的筹算记数法，都是留出空位而没有符号。 13世纪初，意大利的商人斐波那契（ L.Fibonacci,1175-1250）编著算经（ 1202年），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和 10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。（四） 自然数系所蕴含的思想1 对

10、应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。而这个概念与约在公元前世纪至公元前世纪的古希腊荷马史诗中的一段美妙故事连在一起：当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。这种方法在今天的数学上就叫一一对应。正是这个“对应思想”，导致了俗称“理发师悖论”的 罗素悖论 的发现

11、，引起了数学上的第三次危机。 1902 年，英国数理逻辑学家罗素（ Bertrand Russell ， 1872-1970 ）发现的这个悖论震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾。所谓 “理发师悖论 ”，就是说，“一位理发师给不给自己理发的人理发，那么，理发师该不该给自己理发呢？”从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中的一个重要工作就是把集合论建立在一组公理之上，以便回避悖论。首先进行这项工作的是德国数学家策梅罗（ E.Zemelo ， 1871-1953 ），他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经

12、过德国的另一位数学家弗芝克尔（ A.Fraenkel ）的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓 ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。正是这场数学危机，给数学发展带来了新的动力和繁荣。2 数位思想 位置制记数法是数系发展的第一个里程碑。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。最重要和最美妙的记数法则是十进位位置制记数法。法国著名数学家拉普拉斯 （ Laplace,1749 1827 ） 曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而

13、且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。 拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，十进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张， 英国著名科学家、中国科技史大师李约瑟 （ Joseph Needham ,1900-1995 ） 博士 就曾指出

14、“ 在西方后来所习见的 印度数字 的背后，位置制已在中国存在了两千年。 ” 不过，十进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。特别指出的是，了解自然数的一些基本数学常识，可以更好地理解中小学数学课程中的不少内容。自然数系的思想和方法已经成为当代中小学数学教师专业功底的基本内容，尤其是娴熟地驾驭小学数学课程教学内容的必备前提之一。三、如何理解负数的数学含义及 中学负数的教学把握？（一）负数的数学含义 数是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充

15、都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。从数学上来说，正负数的含义至少包括如下几个方面：+a 与 -a表示一对相反意义的量 引入负数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张，可以满足数学上的需要（如， 2-3可以进行运算，方程 x+2=1有解，等等）。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一

16、种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。我国是最早使用负数的国家，在九章算术 “ 方程 ”章 中就有记载 ，因为对 “方程 ”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。 中国古代数学的计算以“筹”为主，用木棍和兽骨做成的红筹表示正数，黑筹表示负数， 九章算术在正负术中提出了一套完整的符号运算法则 。国外最早使用负数的是印度人婆罗摩笈多，公元前 628 年左右他用正数表示财产，用复数表示负债，并提出负数的四则运算。 负数通过阿拉伯人的著作传

17、到了欧洲。 负数的引入颇费一番周折，大多数人不接受负数。负数在西方直到 17 世纪也没有得到数学界的广泛承认， 即使是承认了，也并不认为它们是方程的根。新旧观点之间引起了激烈的冲突。如丘凯（ 1445-1500）和斯蒂费尔（ 1486-1567）都把负数说成是荒谬的数，是 “无稽之零下 ”。卡丹 （1501-1576） 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达 （1540-1630） 完全不要负数，巴斯卡（ 1623-1662）则认为从 0减去 4纯粹是胡说。笛卡儿部分地接受了负数，他把方程的负根叫假根，因它比“无”更小。直到 17世纪，笛卡儿在他

18、的几何学中提出了决定正负根数目的 “笛卡儿法则 ”使得负数才在方程中获得了真正独立的地位。总之在 16、 17世纪，欧洲人虽然接触了负数，但对负数的接受的进展是缓慢的。关于正负数的大辩论延续了几百年，最后才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数。由此，由自然数集扩张到整数集，那么我们需要在更大的集合上验证加法和乘法的封闭性。显然，整数集上加法是成立的，对于乘法需要注意的是负数与正数的乘积以及负数与负数的乘积问题。（二）中学负数的教学把握 与以往的小学代数内容相比，小学增添了“负数”内容。引入负数，是 20世纪 90年代以来我国小学数学课程内容的一个突破点，负数 蕴涵着对立统一的思想

19、。 在此之前，小学数学的数系尚在“非负有理数”，让小学生接触负数初步，建立数感、正确认识数系的扩张，对于完善小学生的数学认知结构，都有帮助，同时，这也是负数内容在义务教育阶段“螺旋式上升、多次出现、多次反复”的具体体现。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）对“负数”课程教学内容提出的具体目标是：在熟悉的生活情境中，理解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。需要指出的是，大千世界中充满了相反意义的概念或者量，如“奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与众，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静”，这些对立概念被两千多年前的著名的“毕达哥拉丝学派”认为是整个宇宙的 10个对立概念。从相

20、反意义的量的广泛存在性出发，认识负数，对于完善学生的数学认知结构很有帮助。从中学数学学习的课程教学目标出发，负数的课程教学设计的理想思路应当是：利用相反意义的量的存在性，产生“数不够用了”的困惑 引入负数 会用负数表达有关的量，尤其是正确表达相反意义的量 阐述 a-b与 a+（ -b）是相等的，如此，加减法封闭 获得负数的两个特征，一是相反意义的量，二是一种新的数，这种数的最大作用就是满足数系对加减法运算的封闭性。当然，需要指出的是，目前的小学阶段负数的要求并不高，仅仅是初步了解负数及其表示，已经正式出现了“作为一种新的数出现”，但是，并没有正式揭示“ a-b与 a+（ -b）是相等”，亦即，

21、尚未达到掌握“数系对加减法运算的封闭性”这一特征，而后者是初中负数的核心教学任务之一。四、怎样理解无理数的引入？在人们对数的认识过程中，首先接触到的是自然数 1， 2， 3。这些数可用于数离散对象的个数。但在实际生活中有些对象不能简单地用数的方法来度量。比如长度，只能通过测量的方法来进行。在测量一个物体的长度时，是将它的长度与所取的单位长度进行比较，其结果可能会出现分数。我们定义有理数为两个整数之比就是这个道理。有理数有一种简单的几何解释。在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为 0和 1。正整数在 0的右边，负整数在 0的左边。对于分母 q的有理数，就可以用把单

22、位区间 q等分的那些分点表示。因此，每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。起初人们认为，这些有理数的对应点充满了整条直线（如图 1.1-1）。但是，古希腊的毕达哥拉斯学派的人发现了直线上还存在着不与任何有理数相对应的点。特别是他发现了这样的一点 P，使得 OP的长度恰好等于以单位长度 1为边长的正方形的对角线的长度（如图 1.1-2）。后来，他们又发现了更多这样的点，它们也都不对应于任何有理数。因此，只有发明一些新的数来与这样的点对应，但这些数又不可能是有理数，所以把它们称为无理数。直到大约公元前 37O年，由古希腊数学家欧多克斯通过给比例下新定义的办法解决了。但是，古希腊人仍然对无理数

23、存有戒心。他们在算术、代数里坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的发展不平衡，向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近 2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代数蓬勃发展形成了鲜明的对照。引入无理数，也就实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要。引入了无理数，也就实现了实数系关于加减运算的封闭性。 无理数的定义出自 19世纪德国数学家戴德金（ R.Dedekind），他阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。其中 ,稠密性是指任意两个有理数之间存在无限多个数。 分数系是

24、一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。戴德金分割是指 ,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，作出这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。为了刻画无理数甚至实数，我们对无理数给出一个定义是非常必要的。这样我们就可以用“有理数和无理数统称为实数”来定义实数了。第二节 式 由研究确定的“数”发展到研究更具有一般性的“式”，是数学发展过程中一次重要飞跃。 数学是一种语言，是一种符号语言。没有哪一门学科能象数学这样大量地使用符号来表达思想。数学中不仅有表示数量的数字符号，还有代表某种固定含义的概念性符号，按照一定

25、的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为式（即解析式），式是数学研究的基本对象。式能够方便的表达一定的逻辑含义，它标志着符号数学语言的产生，数学也因“式”的诞生而发生了根本性的变化。学生学会用符号语言表达和交流数学内容，这是初中数学课程的一项重要学习目标，也是学生必须掌握的一项基本的数学能力。一、如何理解数学符号 ?数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达 （ Fracois Viete ， 15401603 ） ，由于他的符号体系的引入导致代数在性质上产生重大变革。 数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才

26、使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。（一）数学符号发展概况 古代数学很少利用抽象符号。原本就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，也大量求解方程，但因计算过程依赖于筹算，所以也没有使用小数点、分数和其他运算符号， 0只是用一个空位表示。公元 10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍以文字表述为主，直到 15-16世纪，数学有了重大发展，“对数”的产生、方程的求解等等都要求使用精确、简约的符号表达复杂的数学概念并进行运算。中国古代数学之所以没能向前进一步发展和没能产生便于

27、书写和使用的数学符号是有着密切关系的。例如， 1859年李善兰和伟烈亚力合译的第一部微积分著作代微积拾级中仍然用甲、乙、丙、丁代表 a、 b、 c、 d等，用天、地、人、元代表 x、 y、 z、 w，不足的符号，则用二十八宿补之（如东方七宿依次为角、亢、氐、房、心、尾、箕）。 如， 今有式：二天 三地 = 四五 ,三天 三地 = 一五，求天地之同数。这套符号读起来，宛如天书，李善兰等人创造的这套早期记号，辛亥革命后，终于废弃不用了。 1919年五四运动后，中国开始普及现代学校教育，国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。（二）文字代表数 中文将 Algebra 译为代数， 原意就是指“文字代

28、表数”的学问。由于用 x,y,z等字母代表未知数，用 a,b,c等代表已知数，使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解，使得“代数”几乎和“解方程”成为同义词。其实，“文字代表数”的意义要广泛得多。解方程时使用“文字代表数”，只是一个部分。据英国 CSMS小组的研究，文字代表数有 6种不同的情况：（ 1）给字母附值。例如， a+5 = 8, a = ? 答案为 3的有 92%。（ 2）忽略字母的意义。例如，已知 a+b =43,问 a+b+2 = ? 这里和 a,b 意义无关，只是一个过渡而已。（正确率 97%） （ 3）把字母当作物体。例如， 2a + 5a = （7a）， （ab）+b

29、=（a）.这里的 a， 可以看作苹果、香蕉等任何具体事物。（正确率为 86%）。上述的加法交换率，以及 r 2等 ,大体相当于这一类。（ 4）把字母看成特定的未知量。例如， 3n 和 4相加等于多少？答案是 3n + 4.英国 14岁孩子能够正确回答的只有 36%。这表明，在列方程时“用文字代表数”的目的是表示特定的未知量，是比较困难的一类。（ 5）把字母看成广义的数。例如，若 c+d =10, 且 c < d，判断 c的值。回答 c & 5或查 1， 2， 3， 4的，占 30%。较多的是给出 c=4 ，占 39%。（ 6）把字母当作变量。例如， 2n和 n+2，哪一个更大？请作出解释。能够给出“当 n>2时， 2n 较大”的仅占 6% 。这是最难的一种。根据这一研究工作， 我们在文字代表数的教学中，应该由低层次到高层次不断地孕育、巩固和提高。文字代表数的关键在于“式的运算”算术是数的运算，代数是“式”的运算。这是一个根本的差别，是学生从算术走向代数的一次飞跃过程。实际上，文字代表数只是表面现象，根本的内涵是“未知数的符号 x可以和数一样进行四则运算”。在上述调查的第（ 4）类：把字母看成特定的未知量，是列方程的第