创新设计一轮复习 第三章 第2节 第2课时Word格式.docx

1、 ln 21故f（x）在定义域上的极大值为f（x）极大值f（2）ln 21，无极小值.（2）由（1）知，函数的定义域为（0，），f（x）a（x0）.当a0时，f（x）0在（0，）上恒成立，即函数在（0，）上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0），所以g（x）m，令h（x）mx2xm，要使g（x）存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0m.规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不

2、是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 （1）（2017全国卷）若x2是函数f（x）（x2ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f（x）x2（a2）xa1ex1，则f（2）42（a2）a1e30a1，则f（x）（x2x1）ex1，f（x）（x2x2）令f（x）0，得x2或x1，当x1时，f（x）所以x1是函数f（x）的极小值点，则f（x）极小值为f（1）1.答案A（2）（2018北京卷）设函数f（x）ax2（4a1）x4a3ex.若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；若f（x）在x2处取得极

3、小值，求a的取值范围.解因为f（x）ax2（4a1）x4a3ex，所以f（x）ax2（2a1）x2ex.f（1）（1a）e.由题设知f（1）0，即（1a）e0，解得a1.此时f（1）3e0.所以a的值为1.f（x）ax2（2a1）x2ex（ax1）（x2）ex.若a，则当x时，f（x）0.所以f（x）在x2处取得极小值.若a，则当x（0，2）时，x20，ax1x10.所以2不是f（x）的极小值点.综上可知，a的取值范围是.考点二利用导数求函数的最值【例2】 （2019广东五校联考）已知函数f（x）axln x，其中a为常数.（1）当a1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的

4、最大值为3，求a的值.解（1）易知f（x）的定义域为（0，），当a1时，f（x）xln x，f（x）1，令f（x）0，得x1.当0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，）上是减函数.f（x）maxf（1）1.当a1时，函数f（x）在（0，）上的最大值为1.（2）f（x）a，x（0，e，.若a，则f（x）0，从而f（x）在（0，e上是增函数，f（x）maxf（e）ae10，不合题意.若a0得a0，结合x（0，e，解得0；令f（x）0得a0，结合x（0，e，解得xe.从而f（x）在上为增函数，在上为减函数，f（x）maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e20），求当下潜速度v取什么值时

5、，总用氧量最少.解（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为100.99（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为1.5（升），因此总用氧量y9（v（2）y，令y0得v10，v10时，y10时，y0，函数单调递增.若c0，f（x）单调递增；0，f（x）单调递减，故当x2时，f（x）取得最大值80，则V4.体积最大值为4 cm3.答案4思维升华1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；

6、函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.易错防范1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围（如定义域），导致出现了增解.基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.函数yf（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.（1，3）为函数yf（x）的递增区间B.（3，5）为函数yf（x）的递减区间C.函数yf（x）在x

7、0处取得极大值D.函数yf（x）在x5处取得极小值解析由函数yf（x）导函数的图象可知，f（x）的单调递减区间是（，1），（3，5），单调递增区间为（1，3），（5，），所以f（x）在x1，5取得极小值，在x3取得极大值，故选项C错误.答案C2.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则（）A.a1C.a D.a解析因为yexax，所以yexa.又函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，0时，ex1，所以aex0，g（x）6x22x1的200恒成立，故f（x）0恒成立，即f（x）在定义域上单调递增，无极值点.5.（2019青岛二模）已知函数f（x）2ef（e）ln x（

8、e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为（）A.2e1 B. C.1 D.2ln 2解析由题意知，f（x），f（e）2f（e），则f（e）.因此f（x），令f（x）0，得x2e.f（x） 在（0，2e）上单调递增，在（2e，）上单调递减.f（x）在x2e处取极大值f（2e）2ln（2e）22ln 2.二、填空题6.函数f（x）xex，x0，4的最大值是_.解析f（x）exxexex（1x），又f（0）0，f（4），f（1）e1，f（1）为最大值.答案7.已知函数f（x）x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f（m）的最小值是_.解析f（x）3x22ax，由f（x）在x2处取得极值知f（

9、2）0，即342a20，故a3.由此可得f（x）x33x24.f（x）3x26x，由此可得f（x）在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当m1，1时，f（m）minf（0）4.答案48.若函数f（x）x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_.解析函数f（x）在区间上有极值点等价于f（x）0有2个不相等的实根且在内有根，由f（x）0有2个不相等的实根，得a2.由f（x）0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a0），若函数f（x）在x1处与直线y相切.（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值.解（1）由f（x）aln xbx2（x0），得f（x）2bx，函数f（

10、x）在x1处与直线y相切，解得（2）由（1）知，f（x）ln xx2，则f（x）x，当xe时，令f（x）0，得x1，0，得1xe，f（x）在上单调递增；在（1，e上单调递减，f（x）maxf（1）.10.（2018天津卷选编）设函数f（x）（xt1）（xt2）（xt3），其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.（1）若t20，d1，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）若d3，求f（x）的极值.解（1）由已知，得f（x）x（x1）（x1）x3x，故f（x）3x21.因此f（0）0，f（0）1，又因为曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为yf（0）

11、f（0）（x0），故所求切线方程为xy0.（2）由已知得f（x）（xt23）（xt2）（xt23）（xt2）39（xt2）x33t2x2（3t9）xt9t2.故f（x）3x26t2x3t9.令f（x）0，解得xt2，或xt2.当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：（，t2）t2（t2，t2）t2（t2，）极大值极小值所以函数f（x）的极大值为f（t2）（）39（）6；函数f（x）的极小值为f（t2）（）396.能力提升题组20分钟）11.（2019郑州质检）若函数yf（x）存在n1（nN*）个极值点，则称yf（x）为n折函数，例如f（x）x2为2折函数.已知函数f（x）（x1）exx

12、（x2）2，则f（x）为（）A.2折函数 B.3折函数C.4折函数 D.5折函数解析f（x）（x2）ex（x2）（3x2）（x2）（ex3x2），令f（x）0，得x2或ex3x2.易知x2是f（x）的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点.又e23（2）24.函数yf（x）有3个极值点，则f（x）为4折函数.12.若函数f（x）2x2ln x在其定义域的一个子区间（k1，k1）内存在最小值，则实数k的取值范围是_.解析因为f（x）的定义域为（0，），又因为f（x）4x，所以由f（x）0解得x，由题意得解得1k0，当t（2，8）时，V（t）（1）令g（x）f（x），求

13、g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.解（1）由f（x）ln x2ax2a，可得g（x）ln x2ax2a，x（0，）.所以g（x）2a.又a当x时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当x时，g（x）0，函数g（x）单调递减.函数yg（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，f（1）0.当0a1，由（1）知f（x）在内单调递增，可得当x（0，1）时，f（x）所以f（x）在（0，1）内单调递减，在内单调递增.所以f（x）在x1处取得极小值，不合题意.当a时，1，f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，）内单调递减，所以当x（0，）时，f（x

14、）0，f（x）单调递减，不合题意.当a时，00，f（x）单调递增，当x（1，）时，f（x）0，f（x）单调递减.所以f（x）在x1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为.新高考创新预测15.（试题创新）当x1，4时，不等式0ax3bx24a4x2恒成立，则ab的取值范围是（）A.4，8 B.2，8C.0，6 D.4，12解析因为x1，4，所以不等式0ax3bx24a4x2等价于0axb4，即0ab4.令tx，x1，4，则t1，则tx在1，2）上单调递减，在（2，4上单调递增，所以当x2时，tmin3，当x1时，tmax5，所以3t5，则由0atb4，得所以ab2（3ab）（5ab）4，8，故选A.