2子空间与子空间的分解Word文档格式.docx

1、i1是 V 的一个子空间，称为由 1 , 2m生成的子空间若记 A （ !, 2, , m） Rnm，则（A） Span 1, 2 , m由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向1, 2,m，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说Span 1,2, m是V的一个子空间注：容易证明（1） dim （A） rank（A）。（2） （A） （A B）, B b1 bl ，特别若 bj, j 1,2, ,l 可表示为1, 2, , m的线性组合，则（A） （A B）。定理2设W是Vn的一个m维子空间，1 , 2 , , m是W的一 个基，则这m个向量必定可扩充为Vn的基。证明若m n ,则定理

2、已成立。若 m n,则Vn中必存在一个向量m 1 不能由 1 , 2,m线性表出，从而 1, 2, , m, m 1线性无关。如果m 1 n,则定理已成立。否则继续上述步骤。经过n m次，则可得到Vn内n m个线性无关的向量，使1, 2, , m, m 1,n为Vn的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交（W1 W2），和（W1 W2）等 运算，对它们有如下定理。定理3设W1,W2是线性空间V的子空间，则有（1） w与W2的交集w W2 | WN W2是V的子空间，称为Wi与W2的交空间。（2） Wi 与 W2 的和 Wi W2 | 1 2, 1 Wi, 2 W2是V的子空间，称为W1

3、与W2的和空间。（1） 由0 W1, 0 W2 ,可知0 W1 W2,因而W1 W2是非空的.其次， 如果 ,W1 W2 , 即 , W1 而且 , W2 , 因 此W1 ,W2 , 因 此 W1 W2 . 同 样 , 由k W1, k W2,知k W W2.因此 W1 W2是V的子空间.（2） 由 定 义 W1 W2 V , 而 且 非 空 . , W1 W2 , 则 有Wi,i 1, 2.1212 （ 1 1） （ 2 2）,k k 1 k 2 ，因 Wi 是子空间 , 则 1 1W1,2 2 W2,k 1 W1,k 2 W2 ,W1 W2, kW1W2,即W1 W2是V的子空间.2子空间

4、的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4 （维数定理）设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则有dim W1 + dim W2 = dim（W1 W2） + dim（W1 W2） （1）设 dim（W1 W2） r , dimW1 s1 , dimW2 s2 , W1 W2 基 为1, 2, , r ，由定理 2知，它们可分别扩充为：W1 的基1, 2, , r , r 1, , s1 ，W2 的基1, 2, , r , r 1, , s2 ，则W1=Span 1, 2 , , r , r 1, , s1 ，W2 =Span 1, 2, , r , r 1, , s2 ，W1 W2 S

5、pan 1, 2 , , r , r 1, , s1 , r 1, , s2下面证明1, 2, , r, r 1, , s1, r 1, , s2 为线性无关组。任取数ki，pi，qi，使kii pii r 1qiir10.（2）因为s1pirs2qi i ,r1W2.从而有nii 0.1,2,rrs1 是 W1 的 基pi 0,i, s1 .代入（2） 式,得ki iqi i 0,s2是W2的基,于是ki 0（i,r）, qi 0（i,s2）,r 1 s1 r 1线性无关，dim（W1 W2） r （s1 r） （s2 r） s1 s2 r ,定理得证.从（1）式知，若W1 W2 0，则有

6、dimCWWzjvdimWdimW?,这时 Wi W2, X1 X2,Xi Wi,i 1,2,其表达式中xi与X2不是唯一的 例如3W1 Span 0 , W2 Span 1 ,，有 2 W1 W2 ，即 W1 W2 0 。这时 0 W1 W2 可有两种表达式 0 0 0 和例4设R3中的两个子空间是-1 1-1 -13 , 2 10 -1W1 Span 1 1 , 2 1 , W2 Span 101求W1 W2及W1 W2的基和维数。解W1 W2 = Span 1, 2, 1, 2由于1 1 2 2且1, 2, 2线性无关，故W1 W2的一个基为 1, 2, 2，其维数 dim（W1 W2）

7、=3。由维数定理知dim（W1 W2）=dim（W1） dim（W2） - dim（W1 W2） =2+2-3= 1根据2，得到1 2 1 2 （0,2,1）T 0 W1 W2，从而（0, 2,1）t为W1 W2的一个基，其维数dim（W, W2）=1。三、直和子空间子空间的和Wi W2的定义仅表明，其中的任一向量 可表示 为 1 2 , 1 W1, 2 W2 。但这种表示法不一定唯一。定义8 设Wi,W2是线性空间V的两个子空间，如果Wi W2中 每个向量 的分解式i 2、 i Wi, a W2是唯一的，则 Wi W2称为Wi,W2的直和，记为 Wi W2。定理5设Wi，W2是线性空间V的两

8、个子空间，则下面几条等价Wi W2是直和； 0向量表示法唯一，即由 0 i 2（ i Wi, a W2）得i 2 0；（3）Wi W2= 0 ；（4）dim（Wi） dim（W2） dim（Wi W2）采用轮转方式证明这些命题。（i）（2）按定义，Wi W2内任一向量表示法唯一，因而 0的表示法当然唯（2）（3）用反证法。若 Wi W2 0 ，则有 Wi W2, 0 ，于是假设矛盾。（3）（4）利用维数定理即得。 （4） （i）2- 2于是这说明22定理6设Wi是V的一个子空间，则必存在Vn的子空间W2 ,使 Wi W2 Vn 。m是Wi的一个基，根据证明：设 dim（ Wi ） = m ,

9、且 i, 2W2 Span m 1, , n ，显然 W2 就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加 法和数量乘法进行的。 与几何空间相比， 向量的度量性质如长度、 夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义 内积，导出内积空间的概念。定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的V ，都有一个实数 （ , ） 与之对应，且满足（1）（ , ） （ , ）;（2）（ , ） （ , ） （ , ）;（3）（k , ） k（ , ）;（4） （ , ） 0,当且仅当 0时 （ , ） 0.

10、积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。n例如，在Rn中，定义内积（x, y） xTy xi yi。这时Rn成为内积空间。在内积空间Rn中，如果（x, y） 0,则称x与y正交,记为 x y 。设欧氏空间Rn中的基为1, 2, n，欧氏空间中有两个向nn量 xi i , yj j ，下面我们来计算 , 的内积。i1 j 1（,）（Xii 1i, yj j 1j）Xi（ i,i 1 j 1j）yj记（1, 1）（1,2 ）1 , n ）G（ 1 , 2, , n）（2, 1）（2 ,2 , n ）n , 1 ）（n,n , n ）X,yyiXnyn注:阵，或度量矩阵G（ 1

11、, 2, , n） 0 0（3） G（ 1, 2, , n）对称正定。因为方阵X 0, （1,2, , n）X 0, XTG（ 1, 2, , n）X （ , ） 0若n 1 ,则G（ 1） |表示长度的平方；n 2时，则G（ 1, 2） | 1 2I ,表示面积的平方；n 3,呢？n） In，内若1, 2, n是规范正交基，则G（ 1, 2,积（，）XTy 0即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基另外，在规范正交基 1, 2, n 下向量需要解线性方程组就能得到Xi （ , i）,i 1, ,n,即 （ , i） i间。如果V的一个向量 与W的每一个向量正交，则

12、称 与W正交，记为 W。对于V中的两个子空间 WW2，如果任取W1, W2，都有（，）0，即 ，则称W1与W2是互相正交的。记为 W1 W2。定义10设S为V中的子空间，记S x|x S,x V容易证明S也是线性空间，称为S的正交补空间。定理7设A为n k矩阵。记A为满足条件A A 0且具有 最大秩的矩阵，则R（A ） R （A）设XR（A ）X A t, t A XAA t 0zAx0, z（Az） X 0 X AzX R （A）；反之，x R （A） x Az, z （Az） x 0zAx 0, z A x 0 x A t, t x R（A ） .推论：R （A） R（A ） N（At）

13、; R （At） N（A）.只证第一式，因为把第一式中的A看成A即得第二式.由 x R （A） x R（A） x At,t任意 （At）x 0,t任意tAx 0,t 任意 Ax 0 x N（A）.和x R（A ） x A t, t Ax AA t 0 x N（A）,证毕.对于一个线性空间S，如果存在k个子空间Si, ,Sk，使得对任意 S，可唯地分解为ik, iSi ,ii,2,k,则称S为Si, ,Sk的直和 ，记为 S Si S2Sk ，若进.rh 一步假设，对任意的i Si,j Sj,ij ，有 ij，则称S为Si , ,Sk 的 正 交 直 和 ，记 为 S Si S2特别，Rn S

14、S，对于Rn中子空间S都成立。设 A （am Ak）, （A） （Aj） 0 ,i j,则（A） （Ai） （Ak）;若进一步假设AAj 0,i j,则容易证明 （A） （Ai） （Ak）。容易证明对于内积空间Rn的子空间S有下面的性质 （1） S （S ） ;（S1 S2） S1 S2 .定理8对任意矩阵A，恒有R（A） R（AA）。显然R（AA ） R（A）,故只需证R（A） R（AA ）,事实上,对任给 x R（AA）,有 xAA 0。右乘 x,得x AA x （Ax） （Ax） A x 0 ,故 Ax 0,即 x R（A）.证毕.定理 9 设 An m, H k m，则（1） S Ax

15、: Hx 0是R（A）的子空间； dim（ S） rank HA rank（H）.第一结论的证明是简单的，现证（2） 0不妨设R（H ） k,则存在k阶可逆矩阵Q，使得HQ （Ik 0）,于是=rank HA rank（H）. 证毕.推论 设 R（A）I R（B） 0 ,则 R（AB ） R（A）. 证明因 rank （ AMB） dim R（ AMB） dim（ R（ A） R（B）dim R（A） dim R（ B） dim（ R（A） I R（B） dim R（A） dim R（B） =rank （A） rank （ B）又因为R（AB ） Ax,x B t,t任意 Ax,Bx 0，依定理9及假设条件，有Arank （ B ） rank （AMB） rank （ B）rank （A B ） rank（A ）Rank（ A） dim（但 R（AB ） R（A），于是 R（AB ） R（A ）。证毕