直角三角形的存在性问题解题策略Word下载.docx

1、如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）例题解析例 如图1-1，在ABC中，ABAC10，cosBD、E为线段BC上的两个动点，且DE3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止过E作EF/AC交AB于F，连结DF设BDx，如果BDF为直角三角形，求x的值图1-1【解析】BDF中，B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况如果把夹B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了如图1-2，作AHBC，垂足为H，那么H是BC的中点在RtABH中，AB10，cosB，所以BH8所以BC16由EF/AC，得，即所以B

2、F图1-2 图1-3 图1-4如图1-3，当BDF90时，由，得解方程，得x3如图1-4，当BFD90解方程，得我们看到，在画示意图时，无须受到ABC的“限制”，只需要取其确定的B例 如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设ABx，若ABC为直角三角形，求x的值图2-1【解析】ABC的三边长都可以表示出来，AC1，ABx，BC3x如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：若AC为斜边，则，即，此方程无实根若AB为斜边，则，解得（如图2-2）若BC为斜边，则，解得（如图2-3）因此当或时，A

3、BC是直角三角形图2-2 图2-3例 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2, 0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且ABP是直角三角形，求点P的坐标图3-1【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点由题意，得点B的坐标为（2，0），且BAP不可能成为直角如图3-2，当ABP90时，点P的坐标

4、为（2，1）方法一：如图3-3，当APB90时，OP是RtAPB的斜边上的中线，OP2 设P，由OP24，得解得此时P（,）图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得PA2PB2AB2方法三：如图3-4，由AHPPHB，得PH2AHBH图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是（x22）20这个四次方程的解是x1x2，x3x4，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P两点（如图3-5）例 如图4-1，已知直线ykx6经过点A（1,4），与x轴相交于点B若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标图4-1【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB

5、的垂线，各有1个点Q和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的将A（1,4）代入ykx6，可得k2所以y2x6，B（3,0）设OQ的长为m分三种情况讨论直角三角形ABQ：如图4-2，当AQB90时，BOQQHA，所以解得m1或m3所以Q（0,1）或（0,3）如图4-3，当BAQ90时，QHAAGB，所以解得此时如图4-4，当ABQ90时，AGBBMQ，所以图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便已知A（1,4）、B（

6、3,0），设Q（0, n），那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了例 如图5-1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）若直线l过点E（4, 0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM是什么意思呢？过A、B两点分别画AB的垂线，与直线l各有一个交点，那么第三个直角顶点M在哪里？以AB为直径的G与直线l相切于点M啊！由，得A（4, 0）、B（2, 0），直径AB6如图5-2，连结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE

7、5，所以EM4因此设直线l与y轴交于点C，那么OC3所以直线l（直线EC）为根据对称性，直线l还可以是图5-2例 如图6-1，在ABC中，CACB，AB8，点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连结CE、DE（1）求底边AB上的高；（2）设CE与AB交于点F，当ACF为直角三角形时，求AD的长；（3）连结AE，当ADE是直角三角形时，求AD的长图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D看作主动点，那么CE就是从动线段反过来画图，点E在以CA为半径的C上，如果把点E看作主动点，再画ACE的平分线就产生点D了（1）如图6-2，设AB边上的高为CH，那么AHBH4在RtAC

8、H中，AH4，所以AC5，CH3（2）如图6-3，当AFC90时，F是AB的中点，AF4，CF3在RtDEF中，EFCECF2，所以此时如图6-4，当ACF90时，ACD45，那么ACD的条件符合“角边角”作DGAC，垂足为G设DGCG3m，那么AD5m，AG4m由CA5，得7m5解得此时图6-2 图6-3 图6-4（3）因为DADE，所以只存在ADE90的情况如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知CDACDE135，此时CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以ADAHDH1如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知CDACDE45，此时CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以ADAHDH7图6-5 图6-6马学斌 wnmaxuebin2015年9月21日星期一To：中小学数学初中版北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048