高中数学 随机变量及其分布列 版块一 离散型随机变量及其分布列1完整讲义学生版Word下载.docx

1、如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为2二项分布若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样

2、本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为，其中，是参数，且，式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望为、标准差为的正态分布通常记作正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为，

3、标准差为的正态分布叫做标准正态分布重要结论：正态变量在区间，内，取值的概率分别是，正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，称为标准正态分布函数标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，这些值对应的概率是，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的

4、平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，这些值对应的概率是，则叫做这个离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量3为随机变量，为常数，则；4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则，4事件的独立性如果事件是否发生对事件发生

5、的概率没有影响，即，这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立5条件概率对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示把由事件与的交（或积），记做（或）典例分析【例1】 以下随机变量中，不是离散型随机变量的是： 某城市一天之内发生的火警次数； 某城市一天之内的温度【例2】 下列随机变量中，不是离散随机变量的是（ ）A从10只编号的球 （ 0号到9号） 中任取一只，被取出的球的号码 B抛掷两个骰子，所得的最大点

6、数C区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值 D一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数【例3】 写出下列各随机变量可能的取值 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为元、元和 元，记他的旅费为； 正方体的骰子，各面分别刻着，随意掷两次，所得的点数之和【例4】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数；某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数注意事件与数字间的对应关系【例5】 抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么表示的随机试验结果是（

7、）A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C两颗都是4点D一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点【例6】 如果是一个离散型随机变量，则假命题是（ ）A取每一个可能值的概率都是非负数；B取所有可能值的概率之和为1；C取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2019-2020年高中数学 随机变量及其分布列 版块一 离散型随机变量及其分布列2完整讲义（学生版）2 概率密度曲线：离散型随机分布列的性质【例7】 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所

8、有可能取值的个数是（ ）A5 B9 C10 D25【例8】 下列表中能成为随机变量的分布列的是A110304B230701CD【例9】 设离散型随机变量的分布列为40201求的分布列；的分布列【例10】 已知随机变量的分布列为：分别求出随机变量的分布列【例11】 袋中有个大小规格相同的球，其中含有个红球，从中任取个球，求取出的个球中红球个数的概率分布【例12】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数的概率分布【例13】 盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品

9、前已取出的次品数的概率分布【例14】 有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列【例15】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：不放回抽样时，抽到次品数的分布列；放回抽样时，抽到次品数的分布列【例16】 设随机变量所有可能取值为，且已知概率与成正比，求的分布【例17】 某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）ABCD【例18】 设随机变量的分布列为，则的值为（ ）A 1 B C D【例19】 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值-1【例20】 随机变量的概率分布规律为，其中

10、是常数，则的值为（ ） A B C D【例21】 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则（ ） A B C D【例22】 某一射手射击所得的环数的分布列如下：5678910002004006009028029022求此射手“射击一次命中环数”的概率_【例23】 设随机变量X的分布列是XP1/31/21/6求；【例24】 随机变量的分布列，为常数，则（ ）A B C D【例25】 设随机变量的概率分布列为，其中为常数，则的值为（ ）A B C D【例26】 设随机变量的分布列为，求的取值【例27】 已知为离散型

11、随机变量的概率分布，求的取值【例28】 若，其中，则等于（ ）A B C D【例29】 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为，乙投中的概率为，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为，若甲先投，则_【例30】 某人的兴趣小组中，有名三好生，现从中任意选人参加竞赛，用表示这人中三好生的人数，则_【例31】 设随机变量的分布列如下：求常数的值【例32】 设随机变量等可能的取值，如果，那么（ ）【例33】 设随机变量的概率分布列为，则的值是（ ）【例34】 已知随机变量的分布列为，则 【例35】 设随机变量的概率分布是，为常数，则（ ）离散型随机分布列的计算【

12、例36】 在第路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第路或第路汽车假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于 【例37】 在个村庄中有个村庄交通不便，现从中任意选取个村庄，其中有个村庄交通不便，下列概率中等于的是（ ）【例38】 已知随机量服从正态分布，且，则（ ）【例39】 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确

13、完成与否互不影响分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列【例40】 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列，并求出所得分数不为0的概率【例41】 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条求选择甲线路旅游团数的分布列【例42】 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； 设随机变量为这五名

14、志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列【例43】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示 根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量 在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列； 从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率【例44】 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量；乙用一枚硬币掷次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量求随机变量与的分布列；求甲得到的正面朝上的次数不少于的概率求甲与乙得

15、到的正面朝上的次数之和为的概率；求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率【例45】 一袋中装有编号为的个大小相同的球，现从中随机取出个球，以表示取出的最大号码 求的概率分布； 求的概率【例46】 袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数 求袋中所有的白球的个数； 求随机变量的概率分布； 求甲取到白球的概率【例47】 一个袋中有个球，编号为，在其中同时取3个球，以表示取出的个球中的最大号码，试求的概率分布列以及最大号码不小于4的概率【例48】 对于正整数，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率求及；求证：对任意正整数，有【例49】 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；记 第次按下按钮后出现红球的概率为 求的值；当时，求用表示的表达式；求关于的表达式