集合创新型、综合型试题80例.doc

1、2013高三数学精品资料：集合创新型、综合型试题80例 集合是高考数学必考内容，集合创新型、综合型试题是一些省市高考数学试卷的热点与亮点，本资料从上百份数学试卷中精选此类问题80例，供数学成绩较好的高三学生参考，同时也可供教师备课与组题时使用.一、选择题1.已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合、有（ B ）A、33组B、29组C、16组D、7组3.已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ D ） A

2、. 3240 B. 3120 C. 2997 D.28894.设集合S=,，在集合S上定义运算+为：+=，其中为+被4除的余数，则(+)+(+)=(C )A. B. C. D. 5.用()表示非空集合中的元素个数，定义|=.若=1，2，=|+1|=1，且|=1，由的所有可能值构成的集合为S，那么(S)等于（ C ）A.1 B.2 C.3 D.46.定义：若平面点集A中的任一点，总存在正实数，使得集合，则称A为一个开集。给出下列集合：；。其中是开集的是（ C ）A B C D 7.集合上定义两种运算+和如下+ 那么+（A）A. B. C. D.8.如图，有4个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0

3、，0)，O2(2，0)， xO1O2O3O4y(第5题)O3(0，2)，O4(2，2)记集合MOii1，2，3，4若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对” (当AB时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对” (A，B) 的个数是(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 89.设集合,若都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的， 都有：，表示两个数中的较小者），则的最大值为（B）A、10B、11C、12D、1310.函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集

4、R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为 （ B ）A B C D 11.若，且，则称A是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（ A ）A B C D12.设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（C）(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集13.集合，则运算可能是（ B ）A加法 减法 乘法 B 加法 乘法 C加法 减法 除法 D乘法 除法14.对于复数a,b,c,d,若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于（ B ）

5、A.1 B.-1 C.0 D.i15.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,bS,有a*(b*a)=b,则对任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是（ A ） A.（a*b）*a=a B.a*(b*a)*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)* b*(a*b)=b16.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是（ A）A中至少有一个关于乘法是封闭的B中至多有一个关于乘法是封闭的C

6、中有且只有一个关于乘法是封闭的D中每一个关于乘法都是封闭的17.设集合，定义集合 ，已知,则的子集为 ( D ) A. B. C. D. 18.设集合I=1，2，3，AI,若把集合MA=I的集合M叫做集合A的配集，则A=1，2的配集有（ D ）个 A，1 B，2 C，3 D，4 19.设A、B是非空集合，定义AB=且，己知A=，B=，则AB等于（ A ）A(2，+) B0，12，+) C0，1)(2，+) D01(2，+)20.已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，. 设是的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表

7、的张数为 ( A )A BCD21.函数其中p、M为实数集R的两个非空子集，又规定.给出下列四个判断：若PM=，则，若PM，则.若，则.若，则.其中正确判断有：（ B ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个22.设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”， XY (XY)对于任意集合X，Y，Z，则 ( XY )Z( B )(A) (XY) Z (B) (XY) Z (C) ( X Y )Z (D) ( X Y )Z23.设非空集合满足：当，给出如下三个命题：若；若若；其中正确的命题的个数为（ D ）A0个 B 1个 C2个 D3个 24.记集合，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2011个数

8、是（ B ）ABC D25.设集合，则的子集的个数是（ C ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）126.是正方体，点为正方体对角线的交点，过点的任一平面，正方体的八个顶点到平面的距离作为集合的元素，则集合中的元素个数最多为（ B ）A3个 B4个 C5个 D6个27.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为D（A） （B） （C） （D）28.设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（ B ）A4 B6 C8 D1029.设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称M为锥.现有下列平面向量的集合: 上述为锥的集合的个数是

9、B A1 B2 C3 D430.设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是（D ）A三角形区域B四边形区域C五边形区域D六边形区域 二、填空题31.设集合，函数 若当时，B， 则的取值范围是32.已知集合，若非空集合满足：中各元素都加4后构成的一个子集，中各元素都减4后也构成的一个子集，则=_33.已知集合，当为4022时，集合的元素个数为 34.若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：、；对于的任意子集、，当且时，有；对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“集合类”.例如：是集合的一个“集合类”。已知集合，则所有含的“集合类”的个数为

10、10 .35.已知全集=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合，则满足的集合A的个数是 .（用数字作答） 5636. 设集合，对任意，运算“具有如下性质：(1) ； (2)； (3)给出下列命题： 若1A,则（11)1=0;若，且，则a = 0;若a、b、，且，则a = c.其中正确命题的序号是_ (把你认为正确的命题的序号都填上）.37.对任意两个集合M、N，定义：，则 .答案 3,0)(3,)38.对任意两个正整数m，n定义运算：当m，n都是正偶数或都是正奇时数mn=m+n，当m，n有一个是正偶数，有一个是正奇时数mn=mn，则M=(m,n)|mn=36,m,n为正整数中的元素个数

11、为 .答案：3539.设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.答案 符合题意的集合是：共6个.40.非空集合G关于运算满足：（1）对任意，都有;(2)存在，便得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算：，为整数的加法.为整数的乘法.，为平面向量的加法.，为多项式的加法.，为复数的乘法.其中G关于运算为“融洽集”的是 .（写出所有“融洽集”的序号）.解题思路 准确理解题意，从“新运算”的定义入手，逐一检验.解答 对于，两个非负整数的和仍是非负整数，即满足（1）；对于一切非负整数，

12、取，故满足（2）是“融洽集”.对于满足（1），而不满足（2），故不是“融洽集”，对于，满足（1），取.即满足（2），故是“融洽集”，对于，不满足（1），如则，故不是“融洽集”.对于不满足（1），如，则，故不是“融洽集”.故填.41.对于集合N=1，2，3，n及其它的每个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排我该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合1，2，4，6，9的交替和是9-6+4-2+1=6，当集合N中的n=1时，它的闪替和S1=1；当集合N中的n=2时，集合N=1，2的所有非空子集为1，2，1，2，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2-1)=4.请你尝

13、试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N=1，2，3，n的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=_. 点拔：对于任一个不含元素n的子集A，加入一个元素n后成集B，则集合A与集合B“交替和”的和为n.这种构造的集合A集合与集合B是一一对应的，各有2n-1个，切每一对集合的“交替和”的和为n，故非空子集的“交集和”的总和Sn=n2n-42.若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k= ，则（1）是E的第_个子集；（2）E的第211个子集是_（1）5.（2）E的第211个子集是_43.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、（除数），则称是一个数域，

14、例如有理数集就是数域，有下列命题： 数域必含有这两个数； 整数集是数域； 若有理数集，则数集必为数域； 数域必为无限集；则其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上44.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：集合Sabi|为整数，为虚数单位为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）45.对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必 定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如右（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （2）（3）（写出所有凸集相应图形

15、的序号）。46.若点集，则点集所表示的区域的面积为_47.将集合的元素分成不相交的三个子集：，其中，且，则集合为：.48.集合1,2,2011的元素和为奇数的非空子集的个数为 .解析：22010令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x奇次项的系数和故所求的答案为(f(1)f(1)=22010.49.在集合中，末位数字为的元素个数为 答案：解：将集合中的每个数都截去其末位数字，都会得到集合中的数，而中形如的数，皆可看成由中的元素后面添加数字而得到；故中形如的元素个数，等于的元素个数，即个50.设集合，是的子集，且满足，那么满足条件

16、的子集的个数为 185 51.设数集，而两两之和构成集合，则集合 答案：或解：设 ，由于集中有个元，即知两两的和互不相同，因 ，且 ，只有两种情况：，则 ，由，得 ，进而得 ，；，则 ，于是，得 ，进而得 ，60.已知集合，若非空集合满足：中各元素都加4后构成的一个子集，中各元素都减4后也构成的一个子集，则=_52.已知集合，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和(例如，A=2,3,8，则可求得和为(-1)22+(-1)33+(-1)88=7),对的所有非空子集，这些和的总和为 .解析：因为S=2，3，9，对于每个k(k=2,3,9)，在总和中出现27次，故总和为53.已知

17、两个集合A=，B=，若AB，则整数a 的值为 .解析：由题意知，方程组有整数解(x，y)，x0.显然a0，y0，从而a0.消去y，可得即3a2-2a9，由于a是负整数，所以a只能等于1.当a=-1时，所以a=-154.对于非空实数集，记设非空实数集合，若时，则 现给出以下命题：对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有；对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有； 对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是 1、4 （写出所有正确命题的序号）55.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：属于，

18、属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合上的一个拓扑已知集合，对于下面给出的四个集合：；其中是集合上的拓扑的集合的序号是 【解析】 不是拓扑，因为，但；是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足；不是拓扑，因为全集；是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足56.在平面直角坐标系中，点集，则 点集所表示的区域的面积为_； 点集所表示的区域的面积为 【解析】 ；点集就是整个单位圆；点集所表示的区域是如图所示的直角三角形，其中， 点集是将点集中的所有点横坐标加纵坐标加得到的，即都进行了一个向量的平移，所以整体上集合也按照向量进行了平移，得到的点集还是一个半径为的圆，圆心在，所以面积依旧

19、是； 点集实际上可以写成：，其中看成是按照向量的平移得到的点集而得到的是以为圆心半径为的圆，所以就是所有圆心在里半径为的圆的并；如图所示：当半径为的圆在边界上滑动时，分别得到矩形，矩形，矩形；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终就是图示阴影部分不难求得面积【点评】 解决本题的关键在于发现实质是的平移，是的全体平移的并如果只从集合的描述性表示入手的话是很抽象的本题可以推广到一般情形：如果是两个闭图形，则都是的全体平移的并57.已知集合,使得集合A中所有整数的元素和为28,则a的范围是_.58.设A和B是从集合M=a,b,c,d的子集中选出的2个不同的非空真子集，且A和B满足，那么共有_中不同的选

20、法。36.59. 已知集合,有下列命题若则；若则；若则的图象关于原点对称；若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是 三、解答题60.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？解：（），. （）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. （）

21、因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素， .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 . 所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.61.若集合，其中，且。如果，且中的所有元素之和为403.（1）求；（2）求集合。解：（1）由可知必为某两个正整数的平方，而，故必有（2）由（1）知，而于是又必有于是中的所有元素之和为403,因为，逐一检验：当时：由当时，必须有，这与矛盾综上所述62.已知集合A的元素全为实数，且满足：若aA，则A.(1)若a=2,求出A中其他所有元素.（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数aA,再求出A中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能

22、得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2A,得=-3A. 又由-3A，得A.再由-A，得A. 而A时，=2A.故A中元素为2，-3，-，.（2）0不是A的元素.若0A，则=1A，而当1A时，不存在，故0不是A的元素. 取a=3,可得A=3,-2,-.(3)猜想：A中没有元素-1，0，1；A中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：由上题，0、1A，若0A，则由=0,得a=-1.而当=-1时，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.设a1A,则a1Aa2=Aa3=-Aa4=Aa5=a1A.又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素：a1,a2,a3,a4,且a1a

23、3=-1,a2a4=-1,显然a1a3,a2a4.若a1=a2,即a1=，得a12+1=0,此方程无解；同理，若a1=a4,即a1=,此方程也无实数解.故a1a2,a1a4.A中有4个元素.63.己知集合A=x|x=f(x)，B=x|x=f(f(x),其中f(x)=x2+ax+b (a,bR)，证明：（1）AB （2）若A只含有一个元素，则A=B .证明：（1）(2)设A=c，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c为 f(x)-x=0的重根. f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x)=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x)-x=(f(x)-c)2+f(

24、x)-x=(x-c)2+x-c2+(x-c)2=0故f(f(x)=x也只有惟一解x=c，即B=c. 所以A=B64.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立 （）函数是否属于集合？说明理由； （）设函数，求的取值范围； （）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数.解：（1）若，则在定义域内存在，使得化简得， 方程无解， （2），有解且法一：利用值域得法二：利用方程有解得（3）函数图象与函数的图象交于点，则，所以其中，即65.设a，b为常数，：把平面上任意一点 （a，b）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当，这里t为常数； （3）对于属

25、于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象.解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立.特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数.（2）当时，可得常数a0，b0，使=由于为常数，设是常数.从而.（3）设，由此得在映射F之下，的原象是（m，n），则M1的原象是.消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆.66.设集合由满足下列两个条件的数列构成：；存在实数，使（为正整数）.在只有项的有限数列，中，其中；试判断数列，是否为集合的元素；设是各项为正的等比数列，是其前项和，证明数列；并写出的取值范围；设数列，且对满足条件的的最小值，都有（）求证：数列单调递增对于数列，取，显然不满足集合的条件，故不是集合中的元素，对于数列，当时，不仅有，而且有，显然满足集合的条件，故是集合中的元素是各项为正数的等比数列，是其前项和，