矩形性质与判定的灵活运用 专项训练含答案Word格式文档下载.docx

1、四边形ADCE是菱形；（2）若B60，BC6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.连接AD，BC.四边形ABCD是菱形；（2）若E为AB的中点，DEAB，求BDC的度数；（3）在（2）的条件下，若AB1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长利用菱形的性质与判定解决周长问题3如图，在RtABC中，ACB90，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将ADE绕点E旋转180，得到CFE，连接AF.四边形ADCF是菱形；（2）若BC8，AC6，求四边形ABCF的周长利用菱形的性

2、质与判定解决面积问题4如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F.AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC4，AB5，求菱形ADCF的面积专训3.正方形性质与判定的灵活运用正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1已知：在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N.（1）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，易证：BMDNMN.当MAN绕点A旋转到BM

3、DN时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由（2）当MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明利用正方形的性质证明线段位置关系2如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DECF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AMDF.正方形性质与判定的综合运用3如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.（1）不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得

4、的四边形PQRS总是正方形（2）四边形PQRS在什么时候面积最大？（3）四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定矩形的综合性问题a矩形性质的应用1如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E.（1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB8，DE3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于点G，PHEC于点H，试求PGPH的值b矩形判定的应用2如图，点O是菱

5、形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE.求证：（1）四边形OCED是矩形；（2）OEBC.c矩形性质和判定的应用3如图，在ABC中，ABAC，点P是BC上任意一点（不与B，C重合），PEAB，PFAC，BDAC.垂足分别为E，F，D.BDPEPF.（2）当点P在BC的延长线上时，其他条件不变如图，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由菱形的综合性问题a菱形性质的应用4已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.AEEC.（2）当ABC60，CEF60时，点F在线段BC上的什么位置？b菱形判定的应用5如图，在RtAB

6、C中，B90，BC5，C30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是t s（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF.AEDF.（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由（第5题）c菱形性质和判定的应用6（1）如图，纸片ABCD中，AD5，SABCD15.过点A作AEBC，垂足为E，沿AE剪下ABE，将它平移至DCE的位置，拼成四边形AEED，则四

7、边形AEED的形状为（）A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形（2）如图，在（1）中的四边形纸片AEED中，在EE上取一点F，使EF4，剪下AEF，将它平移至DEF的位置，拼成四边形AFFD.求证：四边形AFFD是菱形；求四边形AFFD的两条对角线的长（第6题）正方形的综合性问题a正方形性质的应用7如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DEAG于E，BFDE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由（第7题）b正方形判定的应用8两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上（如图），CE2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将矩形EFGH绕

8、着点E逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶点D，H重合时（如图），连接AE，CG，求证：AEDGCD；（2）当45时（如图），求证：四边形MHND为正方形（第8题）答案专训11解：由折叠的性质知HEMAEH，BEFFEM，HEFHEMFEM18090.同理可得EHGHGFEFG90，四边形EFGH为矩形HGEF，HGEF.GHNEFM.又HNGFME90，HNGFME.HNMF.又HNHD，HDMF.ADAHHDHMMFHF.HF5（cm），AD5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HNMF，进而证明HDMF，从而将AD转化为直角三角形E

9、FH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想2解：PEPFAB.理由：过点P作PGAB于G，交BD于O，如图所示PGAB，PFAC，A90，AAGPPFA90.四边形AGPF是矩形AGPF，PGAC.CGPB.又BDDC，CDBP.GPBDBP.OBOP.PGAB，PEBD，BGOPEO90.在BGO和PEO中，BGOPEO.BGPE.ABBGAGPEPF.3证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD.BEDF.又BEDF，四边形BFDE是平行四边形DEAB，DEB90四边形BFDE是矩形（2）四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC.DFAFAB.由（1）易得BCF为直角三角形，在R

10、tBCF中，由勾股定理，得BC5，ADBCDF5.DAFDFA.DAFFAB，即AF平分DAB.4（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ABDC.ABEECF.又点E为BC的中点，BECE.在ABE和FCE中，ABEFCE.ABCF.又ABCF，四边形ABFC为平行四边形AEEF.AEC为ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBEEC，即AFBC.四边形ABFC为矩形（2）解：四边形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等边三角形，CFCD2.AC2.S四边形ABFC224专训21（1）证明：AECD，CEAB，四边形ADCE是平行四边形，又ACB

11、90，D是AB的中点，CDBDAD，平行四边形ADCE是菱形如图，过点D作DFCE，垂足为点F，则DF即为菱形ADCE的高，B60，CDBD，BCD是等边三角形，BCD60.CEAB，BCE180B120，DCE60，又CDBC6，在RtCDF中，易求得DF3，即菱形ADCE的高为3（第1题）2（1）证明：BD垂直平分AC，OAOC，ADCD，ABBC.四边形AFCG是矩形，CGAF.CDOABO，DCOBAO.CODAOB（AAS）CDAB.ABBCCDDA.四边形ABCD是菱形E为AB的中点，DEAB，DE垂直平分AB.ADDB.又ADAB，ADB为等边三角形，DBA60CDAB，BDCD

12、BA60（3）解：由菱形性质知，OABBAD30.在RtOAB中，AB1，OB，OABD1，AC3（1）证明：将ADE绕点E旋转180得到CFE，AECE，DEFE.四边形ADCF是平行四边形D，E分别为AB，AC边的中点，DE是ABC的中位线DEBC.ACB90，AED90.DFAC.四边形ADCF是菱形在RtABC中，BC8，AC6，AB10.点D是AB边的中点，AD5.四边形ADCF是菱形，AFFCAD5.四边形ABCF的周长为8105528.E是AD中点，AEDE.AFBC，FAEBDE，又AEFDEB，AEFDEB（ASA）（2）证明：由（1）知，AEFDEB，则AFDB，D是BC的

13、中点，DBDC，AFCD，又AFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADDCBC，四边形ADCF是菱形设菱形ADCF的DC边上的高为h，则RtABC斜边BC上的高也为h，BC，DC，h，菱形ADCF的面积为：DCh10.专训3（1）仍有BMDNMN成立证明如下： 如图（1），过点A作AEAN，交CB的延长线于点E, 易证ABEADN，DNBE，AEAN. 又MAN45，EAMNAM45，AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .（2）DNBMMN.证明如下： 如图（2），在DN上截取DEBM，连接AE.四边形ABCD是正方形，ABMD9

14、0，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90，MAE90MAN45EAN45MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN.（1）（2） （第1题）2证明：AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在RtAOE与RtDOF中，RtAOERtDOF.OAEODF.DOF90，DFOFDO90.DFOFAE90.AMF90，即AMDF.四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又不管滚动多长时间，APBQCRDS，SAPBQCRD.ASPBPQCQRDRS.PSQPR

15、QSR，ASPBPQ.不管滚动多长时间，四边形PQRS是菱形又APSASP90，APSBPQ90.QPS180（APSBPQ）18090.不管滚动多长时间，四边形PQRS总是正方形当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积当P，Q，R，S四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半理由：设原正方形ABCD的边长为a.当PS2a2时，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即（aAP）2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形P

16、QRS的面积为原正方形面积的一半专训4（1）AEDCEB.证明：四边形ABCD是矩形，BCDA，BD.由折叠的性质，知BCBC，BB，BCDA，BD.在AED和CEB中，AEDCEB.（2）如图，延长HP交AB于点M，则PMAB.12，PGAB，PMPG.CDAB，23，13，AECE835.在RtADE中，DE3，AE5，AD4.PHPMAD，PGPHAD4.（1）DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是菱形，ACBD.DOC90.四边形OCED是矩形（2）四边形ABCD是菱形，BCCD.四边形OCED是矩形，OECD，OEBC.如图，过点B作BHFP交FP的延长线于点

17、H.BDAC，PFAC，BHPF，四边形BDFH是矩形BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90.EPBFPC.又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90又PBPB，PEBPHB.PEPH，BDHFPFPHPFPE.即BDPEPF.不成立，此时PEBDPF.过点B作BHPF交PF的延长线于点H.与（1）同理可得PEPH，BDHF.PEFHFPBDPF.连接AC，如图BD是菱形ABCD的对角线，BD是线段AC的垂直平分线，AEEC.点F是线段BC的中点四边形ABCD是菱形，ABCB.又ABC60ABC是等边三角形，BAC60AEEC，EACACE.

18、CEF60EAC30EACEAB.AF是ABC的角平分线BFCF.点F是线段BC的中点5（1）证明：在DFC中，DFC90，DC2t，DFt，又AEt，AEDF.能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AEDF，四边形AEFD为平行四边形在RtABC中，设ABx，则由C30，得AC2x，由勾股定理，得AB2BC2AC2，即x2（5）24x2，解得x5（负根舍去），AB5.AC2AB10.ADACDC102t.由已知得点D从点C运动到点A的时间为1025（s），点E从点A运动到点B的时间为515（s）若使AEFD为菱形，则需AEAD，即t102t，解得t.符合题意故当t s时，四边形AEFD

19、为菱形当EDF90时，四边形EBFD为矩形在RtAED中，ADEC30AD2AE，即102t2t，解得t当DEF90时，由（2）知EFAD，ADEDEF90A90C60AED30AE2AD，即t2（102t），解得t4.符合题意当EFD90时，DEF不存在综上所述，当t s或4 s时，DEF为直角三角形6（1）C（2）证明：AF綊DF，四边形AFFD是平行四边形SABCDADAE15，AD5，AE3.AE3，EF4，E90AF5.AD5，ADAF，四边形AFFD是菱形解：如图，连接AF，DF，在RtAEF中，AE3，EFEFFF459，由勾股定理可得AF3在RtDFE中，FEEEEF541，D

20、EAE3，由勾股定理得DF四边形AFFD的两条对角线的长分别是3和7解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AFBFEF，理由如下：四边形ABCD是正方形，ABAD，DABABC90DAEBAF90DEAG于E，BFDE交AG于F，AFBDEFAED90ADEDAE90ADEBAF.在ABF和DAE中，ABFDAE.BFAE.AFAEEF，AFBFEF.8证明：（1）CDCEDE2 cm，CDE60又四边形ABCD和四边形EHGF是矩形，ADCGDE90ADEGDC150.在AED和GCD中，AEDGCD.（2）45NCENEC45CNE90，CNNE，HND90HDHND90四边形MHND是矩形又CDHE，CNNE，HNND.四边形MHND是正方形