圆锥曲线常见题型解法.docx

1、圆锥曲线常见题型解法高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第81讲:圆锥曲线常见题型解法【知识要点】圆锥曲线常见的题型有求圆锥曲线的方程、几何性质、最值、范围、直线与圆锥曲线的关系、圆锥曲线与圆锥曲线的关系、轨迹方程、定点定值问题等【方法讲评】题型一求圆锥曲线的方程解题方法一般利用待定系数法解答.2 2【例1】已知椭圆 2 yr =1 ( a . b .0 )的左、右焦点为F1,F2 ,点A(2, 2)在椭圆上，且AF a b与X轴垂直.(1)求椭圆的方程；(2) 过A作直线与椭圆交于另外一点 B ,求AAoB面积的最大值.【解析有BH c = 2j - = 2 . = 22j i = 4,Q-

2、故椭圆方程为壬+匸=1;8 4(2)当X5斜率不存在时：S = IX222=22,L (5当血斜率存在时：设其方程为；y-2 = (x-2jt),sJ= + (2-2)得(加+1 疋+ 4(返一2貯尬+2(厲-尸-40,2 +2 V- =8由 : 二 M 2.iij -s21-l.2 2 -J = S20 .o到直线曲的距离：=7+= 22-t , 2a+ll12)UaI-KX),二此时 SOB (0.2V2综上所求：当 AB斜率不存在或斜率存在时： AAOB面积取最大值为2、. 2 .【点评】（1）求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量 （ 2）本题用到了椭圆双曲2b线的通径公

3、式d ,这个公式很重要，大家要记熟a2 2 _【反馈检测1】已知椭圆M : L2 . L- =I （ a b . 0 ）的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两a b 3个焦点构成的三角形的周长为 6 4S .（1） 求椭圆M的方程；（2） 设直线I与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 C ,求 ABC面积的最大值.题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答 在线段AB上有且只有一个点 P满足P F1-PF2 ,则椭圆的离心率的平方为（ 5 -1【解析】由题设可知以耳码为宜径的圆与直线府相切,而直线的方程为+-=b即-a D胡 亦bx-av+ = 0,故圆心 0(

4、0.0)到直线 bx-a + a = 0 的距离 d = 一F = = G 即 =C,4a1+b1 C也-e2)-CAJ所以+F =1，解之得/ =忑、 $故应选D.【反馈检测2】已知双曲线2 2X V2 2 a b=1 ( a .0,b .0 )的左、右焦点分别为 F1, F2以F1F2为直径的【点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于X V则双曲线的离心率为(圆被直线 1截得的弦长为a b2A. 3题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答 2 2【例3】已知椭圆X2 V2 =1(a . b . O)上任意一点到两焦点 F1 ,F2距离之和为4、2

5、 ,离心率为a b(1)求椭圆的标准方程；1(2) 若直线I的斜率为一，直线I与椭圆C交于A, B两点.点P(2,1)为椭圆上一点，求.：PAB的面积2的最大值. 2a =4寸2_【解析】(1)由条件得： ,解得a =2. 2,c =、.6,b =2 ,所以椭圆的方程为a 2a 2 二 b 亠 J 设的方程为J = + m ?点越遍JilEa!r 1y = X + m由* 消去卩得X2 + 2x + 2耕一4 =O .x V2 II + ” 1U 2 = 4-8+160j 2,S /Pab1=AB d2J 2m .5(4 二 m2)2 .52 2(4 -m )2 2m 4 m 2由韦达定理得再

6、+七=-2TnIXIX2 =2m -4 .当且仅当m2 =2 ,即m h$2时取得最大值. APAB面积的最大值为 2.【点评】圆锥曲线的最值问题一般利用函数和数形结合解答A,B .【反馈检测3】在平面直角坐标系 Xoy中，直线l与抛物线y2 =4x相交于不同的两点(I)如果直线l过抛物线的焦点，求 OAQB的值；()在此抛物线上求一点 P ,使得P到Q (5,0)的距离最小，并求最小值.题型四圆锥曲线的范围问题解题方法一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答 .【例4】已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 X轴上，有一个顶点为 A(_4,0),22a16 .C(1)求椭圆C的方

7、程；(2)过点B( -1,0)作直线I与椭圆C交于E、F两点，线段EF的中点为M ,求直线MA的斜率k的取 值范围.【解析】(1)因为tfl圆有一个顶点为X(TO)故长轴口 =4 ,又= 16 Jf从而得：口 = 4 , C -2 ? CJil 勺3 = 12二椭圆E的方程+- = 1；16 12 依题意，直线f过点5(-1IO)且斜率不为零(1)当直线I与X轴垂直时，M点的坐标为B(_1,0),此时，k = 0 ;(2)当直线I的斜率存在且不为零时，设直线 I方程为y =m(x - 1), (m =0),由方程组2 2 2 2X1 2 y2 消去y ,116 12并整理得(4m 亠3)x 亠

8、8m X亠4m 48 = 0 ,设 E (x1 , y1 ), F (x2, y2) , M(x。，y。),又有 A( -4,0)X1 X228mX1 X22 I4m 3X03m y = m( x - 1)=2 . 4m 3y2X0 4 4(m 1)1(m = 0),14 (m )m1Ilm | =| m |m综合、可知直线M A的斜率18【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等【反馈检测4】设椭圆E中心在原点，焦点在 X轴上，短轴长为4,点Q (2, 2 )在椭圆上.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线L交椭圆E于A, B两点，且 石丄亦，求AOAB的面积的取

9、值范围.(3) 过 M ( Xi , y )的直线 l1 : x1x 2y1y =8 2 与过 N gU )的直线 2ix2x2y2y=8. 2 的、 交点P ( x0,y0)在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于 G , H两点，求OG OH的值.题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答2【例5】已知双曲线X2 上 1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于A、B ,且点2M是线段AB的中点.若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由 【解析】设存在被点少平分的弦AB ?且J(3 vl) . B(XIty2)

10、贝lJxl + x3 = 2 , y1 +y2 = 2两式相;咸，潯（HI-W）（M 7：）一亠丁 JLlI 厂）二 0 J 二 H H 二故直线 =Iy-I = 2（x-l）由3 V2 t i2x2-4x+3 = 0 =（-4）3-42x3 = -SB(Xfr yr)j 由 SP-IA3,则 33Jt= ,3v-1! H r _ V又触在抛物线上，则FF讥生F*-整理得(TJw(T)为所求轨迹方程.【点评】点P之所以在动，就是因为点 B在动，所以点P是被动点，点B是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程【反馈检测8】 已知JABC的顶点B ( J3,0), C (1,0),顶点A在抛物线

11、y =X2上运动，求 ABC的重心G的轨迹方程.题型九存在性问题解题方法般先假设存在，再探求，最后检验 1 3【例9】已知中心在原点，焦点在 X轴上的椭圆C的离心率为一，且经过点(_1,一)，过点P(2,1)的直2 2线I与椭圆C在第一象限相切于点 M (1)求椭圆C的方程；(2)求直线I的方程以及点M的坐标；- - -2(3)是否存过点P的直线1与椭圆C相交于不同的两点 A,B ,满足PA PB = PM ?若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由解得宀3 J故椭圆C的方程为 +計】.（id因为过Pa 1）的直纟戋7与椭圆在第一象限相切，所臥/的斜率存在，故可调直线J的议程为-y =(

12、x-2)+L所以1k =.又 x1 X228k1 (2k11)216 k116 k1 -8. 23 4k1,Xi X2丄 2 3 4k1因为直线 I 与椭圆 相切，所以.I =_8k(2k -1) 2 -4(3 4k2)(16k2 -16 k _8) =0.2 2 2(3 4k1 )x -8k1(2k1 -1)x 16 k1 -16 k1 -8=0.因为直线l与椭圆C相交于不同的两点 A, B ,设A, B两点的坐标分别为（x, y）, （X2,y2）,因为所以PA PB =PM $ 即(X1 -2)(X2 -2) 伯-1)( y2 -1) =5 ,4丄 2 2 5(X1 2)(X2 -2)(

13、1 k PM |即【XM2 -2(X1 X2) 4(1 k：) =54所皿咔小一警紆+畑心熒斗解得仔垮因为为不同的两点，所CU = I于是稈在J足条件，其方程为y = M (2,m)到焦点的距离是 3.于A、B两点.是否存在这样的k ,使得抛物线C上总存在点Q (Xo, yO)满足QA _ QB ,若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 81讲:圆锥曲线常见题型解法参考答案2X 3【反馈检测1答案】(1) y2 =I ； (2)-9 8【反馈检测1详细解析】(I) V椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长6 + 42又椭圆的离心率力 芈,即三二型2

14、3 33, c = 2y2f .b = f Iffi圆 M 的方程为+ =设 A(xyj ,B(X2 ,2)281 n -9 3X29n +1227 n -32 ，9n 1的方程 y =n(x 3) ( n . 0),则 AC同理可得X227 -3n I BC I= 162 I9n - 1IACU26 n，9亠nS ABC1| BC2IIAC I = -(n12(n )n1 2 64)n 91，贝U SABCn2t64+93,64 8t9t当且仅当8t 时等号成立,3【反馈检测2答案】D【反馈检测2详细解析】由已知可得圆心到直线的距离Ja$ + b?ab 1 rfC 4 5 2 2 4 4 2

15、 2=c a C 囂a O=. 2e _5e 2=0=. e 2=e = .2，故选 D .2【反馈检测3答案】(I) -3 ; () 4.学科.网【反溃检测3详细解析】(I )由题意：抛物线焦点为(X 0x = rpl代人Uli物线资=斗兀消去X得y2 -4 = OlT4(j. J1)15(1y2)WJ 1 + 2 =yIyl=-fOA-OBXXX2 yly-2 = fo +iry2+l)+13 = I%” + f *对斗1 二-斗F + 斗F +1 -斗=-3(ID IPeI= (x-5)1 + = x2-6x25 ,当工=3 时，创站=4,此时 P(l+23)2 24答案】(1) X y

16、 =I8 4(2)设 P (x, y), Ag, y),B(X2, y2),当直线斜率存在时设方程为 y =kx mIy二 kx 亠 m22 :-y 二 1I.84解方程组2 2X 2 (kx -m ) 8卄 2 2 2即(1 2 k )x 4kmx 2m 一8 = 0 ,贝UA= 16k2m2 -4(1 2 k2)( 2 m2 一8) =8(8k2 -m 2 4) 0 ,即 8k2 -m2 4 0 (*)r丄4 kmX 亠XC 1 2J. 212k2X1X22 m -821 2k2y1 y2 =(kx1 m)(kx2 m) =k x1x2 km (x1 x2) m2 2 2 2k (2 m

17、8) 4km 2 m 21 2k“ 2 2k2 2m 8k1 2k2UUr UUU要使O A _ O B ,需使x1x2 yy =2-8km，即=+dk228k 83将它代入（*）式可得k2 . 0,=）-4x1x2 .S=1 AB |d =1 Jl +k2 IXI X2 | ； m 1 2 2 + k22心 2 8k +8将m = 及韦达定理代入可得由 4 r-v4t+x)3Q当血=O时，S=3当肋的斜率不存在时，S=I J ? 22(3)点 P( X0, y0 )在直线 Ii : X1 X 2 y1 y 十2 和 12 : x2x+2y2y=8V2上，XMo 2 y1 y0 = 8 、2，

18、 x? x 2 y 2 y =8.2故点 M ( X1 , y1) N ( X2 , y2 )在直线 xx 2 y y =8. 2 上故直线M N的方程，X X0 2y y0 =8. 2上设G,H分别是直线M N与椭圆准线，X =4的交点, 2 2 x0 x由 X x0 2 y y0 =8-2 和 X =-4 得 G ( 4,y。22yo故 OG OH = 16+ 32 4x0 32OG OH = 16 +2 (32 8y。2y。【反馈检测5答案】X【反愦检测5详细解析】依題惹短直线的斜率存在，且不等于6 设直线=Aj 0 .J7i) J 丹(花.乃)由(y =冷+D 消 F 整理，得 AJy

19、 + (2-l)x+ = 0y =X由直线和抛物线交于两点得山=(2-l)-4 = -AkP +l00Jt2 )的垂心为B ?有3 BM AN = 0 + (Jl Xj,1 ) = 0.斗由点N(,)在抛物线上，X? -byI-b J 解得：y1 = -,1 = (i)4= (b.-M当b-)f 得SQAfX重心坐标().2 2 4 2 4 4由重心在抛物线上得：3 + -所以Jf(-A(57-l),又因为HN在椭圆上得: 4 2 2/ = 椭圆方程 + = b抛物线方程为 + 2j = 4.3 4r2 2X V【反馈检测7答案】(1) =1 ；( 2)直线l过定点，定点坐标为4 3( ) AXlr H), B(x yj),V=AX + M联立 0, = 64*-16(3 4* X榭；-3)0,j +xi SmAr3 + 4F4(-3)3+ 4AJ3(/ -4P)3+ Ak*J y1jr2 = (fcq +wXfc, + m) = k1xJGl + x2)+ ZKt因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kAD kBD = -1y1 Y?