浅谈几何直观在小学数学教学中地应用.docx

1、浅谈几何直观在小学数学教学中地应用徐州高等师范学校 毕业论文（2015届）浅谈几何直观在小学数学教学中的应用 毕 业 生 姓 名 xxxx毕 业 生 学 号 2010165指导老师姓名 朱允洲专 业 名 称 小学教育所 属 系 科 文理系论文提交时间 2015年1月摘要 标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”； 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的

2、直接感知.”； 也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”；弗赖登塔尔说：“几何直观可以告诉我们什么是重要的有趣的和容易进入的，当我们陷入问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们！ 2011年新课标将原来课程内容的六个核心概念增加到十个，其中“几何直观”就是其中新增的一个核心概念，几何直观在数学中，不管是做题还是教师教学都有着不可忽视的作用，本文将浅要谈谈几何直观在小学教学中的实际应用。关键词：几何直观、数学教学、思维方式、实际应用、如何培养一 什么是几何直观.1二 几何直观在小学教学中的体现.2 1.实物直观演示 2.图形直观操作

3、3.图形直观表示三 几何直观的意义.3 1.几何直观能够培养学生的创造性思维 2.几何直观能够帮助学生理解数学 3.几何直观能够培养学生科学的思维方式 四 几何直观在小学教学中的应用.5 1.在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识 2.让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值 3.通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念五 如何培养小学生的几何直观能力.11浅谈几何直观在小学数学教学中的应用一、什么是几何直观？1952年，我国首次制订的中小学数学教学大纲提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维能力”，中学数学应该“发展学生生动的空

4、间想象力，发展学生逻辑的思维力和判断力”。1963年，根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为培养“计算能力、逻辑推理能力和空间想象力”（即传统的三大能力）。1988年，九年义务教育数学教学大纲将能力培养任务改为“培养运算能力、发展逻辑思维能力和空间观念”。2001年颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”。2011年版课标把几何直观作为十个核心概念之一，并明确指出几何直观的含义，阐明其教育价值。由我国几何课程基本要求可以看出，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，几何直观的建立和发展是一个历

5、史演变过程。标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”； 著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”； 也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”；弗赖登塔尔说：“几何直观可以告诉我们什么是重要的有趣的和容易进入的，当我们陷入问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们！从这些描述中，我们可

6、以有以下的认识： 几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式.这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的即“几何”两字的意义. 用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向即“直观”两字的意义. 例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图1）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而

7、大”的道理.学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力. （图1)(图2）二、几何直观在小学教学中的体现 康德认为，直观分为经验直观和纯粹直观。孔凡哲、史宁中认为，在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。 还有人认为，几何直观具有创造性和工具性，其目的是利用图形描述和分析数学问题。因此，从数学功能看，几何直观在小学数学中的具体体现有实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示。 1.实物直观演示 实物直观演示是指借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断。实物直观演示既可以

8、是实际存在物，如球体、柱体、锥体、长方形、平行四边形、梯形、圆、椭圆等；也可以借助计算机、七巧板、木棒等辅助的实物直观演示，引导学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念。一旦借助实物直观演示用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。 例如在教学小学数学五年级长方体与正方体的认识时，教师不妨拿一个长方体及正方体的纸盒，让学生更直观的看到长方体和正方体的特征，更清楚地明白长方体和正方体的特点，为以后的面积及体积的教学打下坚实的基础。2.图形直观操作 图形直观操作是指对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。直观操作分为两类

9、：一类是实物的动手操作，包括折纸、展开、折叠、切截、拼摆、密铺等操作活动，能帮学生积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验；例如在教学三年级认识轴对称图形教师可以拿一些是轴对称图形的折纸来直观演示轴对称图形的特征；另一类是图形的运动操作（如平移、旋转、反射等运动），如“点动成线”“线动成面”“面动成体”，半圆以直径为轴旋转可以形成球体，矩形以一边为轴旋转可以成为圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以成为锥体等。借助图形直观操作可以帮助学生发现、寻找解决问题的思路。因此，教师应该引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们借助图形思考的能力。 3.图形直观表示 图形直观表示是

10、指借助明确的几何图形来描述和分析数学问题。图形直观表示是一种表征方式，是一种工具符号，主要分为两类：一类是“形形表示”，如借助三视图、网格、直角坐标系等图形工具探索、描述和分析几何问题；另一类“数形表示”，利用几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题，如利用数轴研究方向等。借助图形直观表示图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，促进数学的理解；通过图形进行观察，有利于信息回忆和方法的促成；根据直观认识来研究图形的性质和相关问题有助于数学问题结构的揭示。可以说，几何直观不仅解决“图形与几何”的学习中存在的问题，并且贯穿在整

11、个数学学习过程中。三、几何直观的意义 1.几何直观能够培养学生的创造性思维 几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用。从创造力来看，直观能引出数学发明，能决定理论的形式和研究方向；从数学证明上看，直观常常提供证明的思路和技巧，有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学家总是力求把他们研究的问题变成几何直观问题，使他们成为数学发现的向导。在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。如，利用平面图形认识分数的乘法，借助韦恩图计算“重叠应用问题”等。所谓的“看”是一种直接判断，是建立在长期有效的观察和思考的基础之上的灵感和顿悟，是

12、思维过程的高度简化。因此，在数学教学中保护学生先天的几何直观的潜质，培养和不断提高学生的几何直观水平，就成为数学教育的一个重要的价值追求。 2.几何直观能够帮助学生理解数学几何直观在数学中无处不在。数学家依赖直观推动对数学的思考，加强对数学的理解。几何直观不仅是一切几何学的基础，而且贯穿在整个数学学习过程中。正如美国数学家阿蒂亚所言：“在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位。所以，几何首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察。”几何直观能利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是理解数学的有效渠道。例如，借助地图理解比例，利用直观图理解正方形边长和面积的

13、关系，借助数轴认识小数的意义，借助“线路图”理解行程问题，借助网络图理解单元知识等。著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完美。”因此，教师在数学教学中要挖掘教材资源，利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界，设计“借助几何直观进行思考”的典型案例；要注意让学生经历动手操作、图形制作的过程，培养学生用几何直观描述、分析问题的意识，培养学生的画图能力，文字语言、符号语言和图形语言相互转化的能力，为学生使用几何直观理解数学提供保障。 3.几何直观能够培养学生科学的思维方式

14、数学抽象概念发展的“直观形式直观”模式，是一般科学概念发展“具体抽象具体”模式的特殊表现形式。几何直观具有原始的创造性。数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返璞归真，这正是数学发展的辩证过程。正是形式化与直观化之间的矛盾运动推动了数学的发展以及科学的发展。数学教学应该借助几何直观、几何解释启迪学生思路，利用直观背景或者几何直观帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，为学生创造主动思考的机会。例如，借助数轴认识小数的意义，利用直观图理解异分母分数加减法先通分的必要性，能使学生借助直观图，从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，使学生从非形

15、式化的、算法的直觉相互作用与矛盾中形成数学观。可见，直观本身不是目的，而是手段。对于学生的数学学习而言，用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题等，就是为了形成生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。4.几何直观能够帮助学生感悟数学美 数学美，不仅美在抽象简约，也美在直观多姿，而几何直观能够充分凸显其结构美。例如，利用直观感悟圆的对称美、理解圆的基本结构和性质；利用直观了解分形几何的奇异美；利用几何直观让学生感悟、发现美，如借助正方形或三角形计算1+3+5+7+9+，利用直观理解直柱体体积公式的统一美，感受数学的普遍联系。所以，培养小学生几何直观能力，不仅能提高学生学习数学的基

16、本素养，而且可以将几何美的直观、对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中，使学生在美的享受中发现知识、理解知识，在潜移默化中感受数学美。四、几何直观在小学教学中的应用1、在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识 新课程强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学在前，教在后，教只有贴合学，方能有效。基于此认识，我认为数学教学，一定要从学生的需要与困惑出发。如果教师以自己的机械指导过度牵制学生的自主体验，以自己的教学讲解全盘替代学生的主体思维，那我们培养的学生多数会是解题的领袖，而非数学思考的领袖！课堂是学生学习、发展的场所，做教师的一定要设法把课堂还给学生，让学生

17、去尝试、让学生去讲解，让学生由被动的接受变为主动的建构。例如二年级乘法口诀的教学，没有很多老师给予太多的关注，能够熟背口诀是最基本的教学任务，有些家长早已让孩子背的滚瓜烂熟。而有一位教师在教学乘法口诀时，更注重让学生理解口诀的意义。师：同学们把3的口诀记得真熟练，可是谁能告诉我们“三四十二”是什么意思呢？请你自己想一想，然后说给大家听。生1：三四十二就是43=12师：为什么等于12？谁能解释吗？生2：我想画图给大家解释，这里有4个3，是吗？4个3相加等于多少？（12）4个3相加可以写成34，所以34=12，大家说对吗？（学生已经初步学会问答式的讲解） 3 3 3 3老师没有想到孩子能主动走到讲

18、台上利用图形来讲，但从中可以看出要把自己的意思说清楚，让别人听明白，孩子需要借助图形。图形的直观，不但帮助学生理解算式的含义，同时帮助学生正确的表达。此时，采用直观的画图的方法已经成为学生自觉的一种需求。所以说如果从低年级开始就注重学生几何直观意识的培养，将有利于学生掌握更多的解题策略，发展学生的空间观念，提高学生解决问题的能力。2、让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值在以往的教学中，老师们对借助图形帮助学生解决问题也是有一定认识的。但往往在教学中会直接呈现，然后告诉学生图形是我们的好朋友，在遇到困难时可以请出这位好朋友。怎么请到这位好朋友呢，难道学生天生就有这个能力吗

19、？不是的！“直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强”，“只有把先天的存在与后天的经验有机结合起来，才能形成人的直观能力”。数学学习也是如此。虽然学生的几何直观有先天的成分，但是，高水平的几何直观的养成，却是主要依赖于后天，依赖于个体参与其中的几何活动，包括观察、操作（特别是，诸如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等）、判断、推理等等。让小学中的几何学“动”起来、数形结合等等，都是为了有效发挥几何直观的作用，更好地培养学生的几何直观。因而，积累几何活动经验就成为数学教学的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。例如有一位老师

20、在执教求一个数的几倍是多少的时候，这位老师对教材进行了深入的思考，北京版、人教版都采用了用线段图帮助学生理解数量关系的形式。那么为什么要出现线段图呢，应该怎样呈现呢，带着这些问题这位老师对学生进行了前测和访谈。首先学生看到求一个数的几倍的问题，虽然会列式，但是不会解释为什么要这样列式，而几何直观恰恰能建立起倍的概念和乘法的意思之间的联系，其次对于二年级学生来说，线段图这种高度抽象的几何直观学生没有认识，完全空白，理解起来有一定的困难。所以说不能忽略学生的认识水平，而是要让学生经历线段图的形成过程，在润物无声的引导之下，初步培养学生画图的能力，为中、高年级的学习奠定能力的基础。为此这位老师进行了

21、如下教学设计的：公鸡的只数是母鸡的4倍，你能用图形表示出它们之间的倍数关系吗？学生很快动起手来，经过筛选，几个不同形式的图就展示出来:生1：用公鸡和母鸡的图形生2：用圆形和三角形表示师：画圆圈、三角的同学说说你是怎么想的？你这也不是母鸡、公鸡生2：我用圆圈代表母鸡，两个圆圈就是2个母鸡。用三角代表公鸡。师：三角为什么要这样2个2个画呢？生2：因为公鸡的只数是母鸡的4倍，就得画4个2.师：画公鸡和母鸡图的同学，你画的挺像的，可是你没画完，说说你有什么感受？生1：画起来太费劲了，不好画，耽误时间。师：那大家想想，哪种画图方法比较简洁？为什么呢？生：第二种。画着省事，节约时间。师：还真是这样，当我们

22、觉得实物画起来费劲的时候，可以用一些小符号，像圆圈、三角形、小棒等来代替实物的数量，这真是一个简单的画图的好想法。大家想想，如果有三只鸡就画3个圆圈，简单吧。 （屏幕出示）要是10只鸡呢？ （屏幕的地方快不够用了）如果有100只鸡呢。（一个一个出示，屏幕终于不够用了）大家想想，这可怎么办呀？数量多了，画起来还是不太方便吧，有没有什么好办法，不用画这么多？生：老师，我知道，我画一个圈，里面写上100就行了。师：呀，你这个办法更简洁，一份就用一个图来表示，一下子表示出100个，那你们说说，这一个圈除了表示100个，还可以表示几呀？生：表示50、35、什么数都可以。师：同学们真善于思考，想出了用一个

23、图形表示多个数的方法，真了不起。这一个图形可以是一个，一个，还可以是一条线段。我们数学书上，就有很多地方用到了这样的线段图。从这个设计中可以看出，由实物抽象出符号，学生有这个能力，但从符号到线段图就太过抽象，学生不好理解。所以这位老师通过直观演示数量的增加，让学生体会到数量太多了，用符号一个一个的画也很麻烦，进而想到用一个图形来表示多个数量（集合圈），从而初步认识了线段图。就因为学生有了这样的经历，所以虽然教学不要求学生用线段图来表示数量关系，但在学生解决问题中依然认可了线段图，使用了线段图，为后面的学习打下了良好的基础。3、通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念几何直观是为更好的数学

24、理解而服务的。我们不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在“形式化的海洋里”。例如教学乘法分配律 乘法分配律的教学历来是老师关注的焦点，为什么要如此关注，有的老师曾说过：乘法分配律讲着明白，就是不会用，一让简算就爱出错。总是和乘法结合律混，每天都练习几个这样的简算，可到考试时还是错。学生的困惑成因是什么呢？一是学生能机械模仿，但对于acbc为什么等于（ab）c，四个数的运算怎么就变成了三个数的运算，弄不明白，因此解题思路不清晰。二是乘法分配律是老师教给学生的，不是学生自主探究得出的，学生缺少亲身经历，因此，对乘法分配律印象不深，凭想当然解题。老师讲，

25、学生听，然后让学生记住乘法分配律公式，最后解题，这种传统的讲解式教学方式已经不能让每一个正常的学生学会乘法分配律，所以我们不妨尝试新的学习方式，让学生借助直观图形亲自参与到实验中，让归纳推理、概括总结的过程由学生自己得出，这样，学生自己得出的结论，用起来才能得心应手。有的老师在讲课时进行了这样的设计：1、首先出示北师大版教材呈现的问题，让学生尝试求出“一共贴了多少块瓷砖？”学生得出两种不同（1）49+69 （2）（4+6）92、请学生分别说说：每种方法每一步求的是什么，为什么能有两种方法。 通过课件的演示，两个图形合并成一个图形。学生在动态的图形支撑下，初步理解了乘法分配律。老师继续提问，若瓷

26、砖的边长为1的话，能发现什么？这两个算式是什么关系呢： 49+69=（4+6）93、自由拆分。学生可以由此感觉到：长方形的面积图上可以发现乘法分配律这一规律。老师接着追问：如果长方形的长是10，宽是9，面积是910，可以讲大长方形拆成49+69外，还有其他的拆法吗？学生经过短暂的观察和思考很快想出了很多拆法，经过整理，老师将拆法呈现在黑板上。 9 9 9 3 7 1 9 3.5 6.5910=93+97 910=91+99 910=93.5+96.5 2 7 4 5 3 6 10 10 10910=210+710 910=410+510 910=310+610学生从操作中体会到，无论是拆长边还

27、是拆宽边，都有无数种拆法。这时候，学生对乘法分配律有个直观的认识。为了体会更加深刻，老师给学生提供了正方形和不同形状的长方形，学生可以选择2到3个长方形或正方形拼成一个大的长方形，并写出对应的算式。（长正方形有：35 12 36 42 52 44 76）有的得出：35+36=3（5+6）有的得出：12+42+52=2（1+4+5）4、总结归纳。让学生进一步观察等式左右两边的算式的特点，并与对应的图形相结合，再让学生说说乘法分配律是什么意思，这时学生能够就头脑中的表象很好的进行描述。学生充分的理解了乘法分配律的含义，运用起来才会得心应手。总之，借助几何直观可以展现问题的本质，有利于帮助学生直观地

28、理解数学，有利于培养学生的观察、推理能力。五、如何培养小学生的几何直观能力 1 首先，在教学中激发学生画图的兴趣 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。要想培养学生的几何直观能力，首先要激发他们画图的兴趣。几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，因此学生掌握一定的画图能力必不可少。在低年级数学中，学生年龄偏小，识字量较少，孩子们都爱把生活中复杂的人和事用简单的图表达出来。因此在教数学的运算时我注重让孩子们用画图来表示，并结合图表达出自己的理解。一方面培养学生倾听的能力，又激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。

29、 2 其次，在教学中养成良好的画图习惯 几何直观是具体的，它与许多重要的数学内容紧密相连，如分数的认识，负数的认识等。作为教师要从思想上认识到它的重要性，并把它当作是最基本的能力去培养学生。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。学生如果养成了画图习惯，在做题中便会自然利用画图技巧。例如在做“有一堆桃子，小猴子第一天吃了它的，第二天吃了剩下的，第三天吃了剩下的.，五天后，还剩下5个桃子，问原来有多少个桃子”，学生如果有画图的习惯，利用线段图就可清楚发现每天吃的桃子一样多，就很容易求出原来桃子的个数了。所以，在教学中，教师要多指导学生利用图形解决问题。后记数学发展的历程表明，越是高度抽

30、象的数学内容，往往越需要形象直观的模型作为其解释和支撑，即使是推理几何的功臣欧几里得，在进行几何学的论述过程中仍然依赖了头脑中的图形的直观。正如笛卡儿所确认的“起始原理本身则仅仅通过直观而得知”。正所谓“物极必反”越是抽象的数学对象，其数学本质越有可能用简捷而直观的图形来表达。在数学教学中，借助恰当的图形、直观的模型，更有利于揭示数学对象的性质和关系，使思维更容易转向更高级、更抽象的空间形式。当然，无论是数学家的研究，还是学生的数学学习，直观本身不是目的，而是手段。对于学生的数学学习而言，直观是为了形成学生的生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。总之，几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观，是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一。而培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，不仅仅是“图形与几何”领域的任务。同时，有效的培养工作必须依托具体的数学课程教学内容，落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。为此，教师具有培养学生几何直观的自觉意识是重要的，而将几何直观的培养自始至终落实在数学教学的每个环节，