八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docx.docx

1、八年级数学第8讲四边形中的动点问题尖子班教师版docx8四边形中的动点问题满分晋级阶梯四边形 8 级四边形 7 级 四边形中的动点问题四边形 6 级 特殊图形的旋转与正方形弦图平移和几何最值问题春季班 春季班 春季班第六讲 第七讲 第八讲漫画释义如法炮制1知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；型目例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5标由动点产生的函数关系编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点

2、对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调2题型一：由动点产生的特殊图形思路导航我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题 解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点 典题精练【例 1】 已知如图： 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为 A(10，0) 、C(0 ，4) ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当 ODP 是腰长为 5 的等腰三yCP B角形时，点 P 的坐

3、标为 (101 中学初三月考 )【解析】 3 ，4 、 2，4 或 8 ，4O D A x【例 2】 在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?DCDCFEOOEFABBADCDCFEOOEFABAB【解析】 四边形 DEBF 是平行四边形理由： 四边形 ABCD 是平行四边形OAOC，OBOD3 E， F 两动点，分别从 A，C 两点以相同的速度

4、向 C，A 运动AECFOEOFBD、EF 互相平分四边形 DEBF 是平行四边形 四边形 DEBF 是平行四边形 当 BD EF 时，平行四边形 DEBF 是矩形BD 12cm， EF 12cmOE OF 6cmAC 16cmOA OC8cmAE 2cm 或 AE 14cm 动点的速度是 1cm/st 2s 或 t 14s【例 3】 如图所示， 在直角坐标系中， 四边形 OABC 为直角梯形， OA BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/

5、s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时， 点 P 也停止运动，设运动时间为ts 0 t 4 求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？ 求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式【解析】 t s 后， BP= 14 2tcm，AQ =4t cm由y7BP= AQ ，得 142t(s)4t ， t=73PB当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA BC，C3四边形 PQAB 为平行四边形OQxA C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0）， OC=2 cm ， O

6、A=16 cm S梯形 OABC =1(OA+BC ) OC=1(16+14)2=30(cm 2) 22 t s 后， PC= 2t cm， OQ= 164t cm， S四边形 PQOC =116 4t2162t 2t2由题意可得 S四边形 PQOC =10 ，162t10，解得 t=3s此时直线 PQ 的函数关系式为 yx 4 【探究】四边形中的动态问题【探究 1】单动点问题；4【变式 1】如图，在矩形 OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且 POE 是等腰三角形，求点 P 的坐标？yA P2P1ByP3P4A B

7、 O E C xO E C x【解析】如图，3 4，P22,4，P32.5,4，P49,3 .P1 ,【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动 . 过点Q作QE OB，交AB于点E，连接PE PQ. 设运动时间为t、秒 . 求t为何值时，PE OB.yAEBPQOCx16【解析】 PQ=BE 时， PE OB，此时 t .75【探究 3】

8、线动问题，线动问题转化为点动问题；【变式 3】如图，矩形ABCO 中， B 的坐标为 ( 43 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF OB，交 OB 于点 F；同时将直线 PF 以每秒3 个单位向右平移，分别交AB、 OB 于点 E、Q，连接 PE. 设运动时间为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE OB.yAEBPFQOCx【解析】同上，此时 t16 .7【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；【变式 4】如图，直角Rt ABO 中， A 的坐标为 ( 15 ， 5 3)，斜

9、边中线AC 将这个直角三角形分成了22两个等腰三角形AOC 与 ABC （如图所示） ，将 AOC沿直线x 轴正方向平移得到 A1O1C1 ，当点 O1 与点 C 重合时，停止平移。在平移的过程中， A1O1与 OB 交于点 D，O1 B1与 BC 交于点 E.设平移距离 OO1 为 x， A1O1 C1 与 ABC 重叠部分的面积为y ，是否存在这样的 x,使得重叠部分面积等于原ABO 面积的1 ？若存在，请求出x 的值；若不存在，4请说明理由yAyAA1PEFOCBxOO1CC1Bx5【解析】 x.26题型二：由动点产生的函数关系典题精练【例 4】 如图 1，在矩形 MNPQ 中，动点 R

10、 从点 N 出发，沿 N P Q M 方向运动至点 M 处停止设点 R 运动的路程为 x ， MNR 的面积为 y，如果 y 关于的函数图象如图 2 所示，则当 x 9 时，点 R 应运动到（ ）（ 161 期中）A N 处 B P 处 CQ 处 D M 处QPyRMNO49x图 1图 2如图，在矩形ABCD 中， AB=2，BC=1，动点 P 从点 B 出发，沿路线B C D 作匀速运动，那么 ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是（）（重庆中考）DCPABSSSS332111O13 xO13x O3 x O13 xA B CD 【解析】 C； B【例 5】 正方

11、形 ABCD 的边长为 2 厘米，点 E 从点 A 开始沿 AB 边移动到点 B，点F 从点 B 开始沿 BC 边移动到点 C，点 G 从点 C 开始沿 CD 边移动到点 D ，点 H 从点 D 开始沿 DA 边移动到点 A、它们同时开始移动，且速度均为 0.5 厘米 /秒设运动的时间为 t（秒）7GD CHFA E B求证： HAE EBF ；设四边形 EFGH 的面积为 S（平方厘米），求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；【解析】 t 秒时， AE=0 5t， BF=0 5t， DH =05t AE=BF=DH四边形 ABCD 为正方形 A= B=90， AD=A

12、B AH=BE= 20.5t HAE EBF 由 同理可得 Rt HAE ， Rt EBF ， RtFCG 以及 Rt GDH 四个三角形两两全等S 41(20.5t)41240.5tt2t22自变量 t 的取值范围是 0 t 4【例 6】 如图，已知正方形ABCD 与正方形 EFGH 的边长分别是42 和 22 ，它们的中心 O1，O2都在直线 l 上， AD l ， EG 在直线 l 上， l 与 DC 相交于点M ， ME722 ，当正方形 EFGH沿直线l 以每秒 1 个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕 O1以每秒 45顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都

13、不改变（ 1）在开始运动前，1 2；O O（ 2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE， O1O2；（ 3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求 y 与 x 之间的函数表达式ADHO1O2lMEGBCF【解析】 （ 1） 9（ 2） 0， 6BBBHHHO1CO1O2lCO1O2lO2AlEAGEG AECGFFFDDD图 1图 2图 3（ 3）当正方形 ABCD 停止运动后，正方形EFGH 继续向左平移时，与正方形ABCD 重叠部分的形状也是正方形重叠部分的面积y 与 x 之间的

14、函数关系应分四种情况： 如图 1，当 0 x4 时， EAx ， y 与 x 之间的函数关系式为yx22 如图 2，当 4 x8时， y 与 x 之间的函数关系式为2y228 8 如图 3，当 8 x12 时， CG 12x ，122x1 x212x 72 y 与 x 之间的函数关系式为 y22 当 x 12 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y 0 真题赏析【例 7】 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中， O 为原点，点A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，OA=10 ，OC=8 如图 1 在 OC 边上取一点 D ，将 BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边

15、上，记作 E 点； 求点 E 的坐标及折痕DB 的长； 在 x 轴上取两点 M、 N（点 M 在点 N 的左侧），且 MN4.5 ，求使四边形 BDMN 的周长最短的点 M、点 N 的坐标 如图 2，在 OC、CB 边上选取适当的点F 、G，将 FCG 沿 FG 折叠，使点 C 落在 OA 上，记为 H 点，设 OH = x ，四边形 OHGC 的面积为 S求： S 与 x 之间的函数关系式，并指出变量 x 的取值范围yyGCBCBDFOEAxxOHA图 1【解析】 在矩形 OABC 中， BC=OA=10 ， BA=OC=8由折叠可知： CBD EBD ， BE=BC=10 在 RtBAE

16、中， EA= BE 2BA2 =6OE=OAAE=4 ， E(4，0) 设 CDx， CBD EBD ，DE =CD =x， OD =8x，在RtODE 中， DE 2 =OD 2 OE2 ， x2 =（ 8x） 2 42 ， x =5在 RtCDB 中， BD =CD 2BC 2 = 5 5 要使 DB+ DM+MN+BN 最短，只需要 DM+BN最短将点 B(10 ， 8 )向左平移 4 5 个单位长度，得B1(5 5， 8)，9图2yB1C BDxO M E N A D 1BB1 45MN=4 5， BB1 M N ，BNMB 1 是平行四边形B1M = BN作D 关于 x 轴的对称点

17、D 1(0， -3) ， 连接 B1D 1，由对称性及两点之间线段最短可知： B1D1 与 x 轴的交点为所求 M 点， 在 x 轴上点 M 的右侧作 MN =4 5，得所求 N 点可求得直线 B1D1 的解析式为 y 2x 3 ，M ( 3 ， 0 )， N(6， 0 ) 2过点 G 作 GK OA 于 K，设 CG y，OK=CG y， GK =OC 8由折叠可知： CGF HGF ，GH=CG y，HK = OK OH=yx在Rt HKG 中， HG 2 =HK 2 GK 2 ， y22y x82 ，yGC BFxO H K Ay64 x2 ，2xS1 (OH CG ) OC1 ( x64 x 2) 86x2128 4 x 8 222xx10思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1.如图，在直角梯形ABCD 中， DC AB ， A90 ， AB28cm ，DC 24cm ， AD4cm ，点 M 从点 D 出发，以 1cm/ s 的速度向点 C运动，点 N 从点 B 同时出发，以 2cm/ s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动则四边