一线三角模型及例题Word文件下载.docx

1、若确定，求期度数；若不确定, 请说明理由.4、如图，在 ABC中， BAC 90, AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF AB, EG AC，垂足分别为F， G 求证:（1）EG CG ；AD CD（2）FD 丄 DG 5、如图，四边形 ABCD中, AC与 BD交于点 E，AC丄AB,BD丄CD. Seb（=16, Saed=8.AD（1）求 的值；BC（2）问：/ BEC是不是定角？如果是，把它求岀来；如果不是，请说明理由5、如图，在 ABC中，角ACB为直角，CDLAB于点。，又厶ACE与厶BCF都是等边三角形，连结 DE DF; 求证:DE丄DF中考热点：一线三等角型的相似三角形

2、一、问题引入如图， ABC中， B 90，CD AC，过D作DE AB交BC延长线与E。求证：ABC : CED三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。（1）等腰三角形中一线三等

3、角例1、 如图，已知在厶 ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结 DE，并作DEF B，射线EF交线段AC于F （1）求证： DBE ECF ; （ 2）当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；（3）联结DF，如果 DEF与厶DBE相似，求 FC的长.讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似;2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相 似。变式练习1就是这类题型；3、 第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是 DF与底边平行，一种是E为中

4、点；4、 在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适 用。变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边 ABC的边长为8，点D、F、E分别在边AB、BC、AC 上, BD 3，E为AC中点，当 BPD与厶PCE相似时，求BP的值.变式练习2 （宝山22题）如图6,已知 ABC中，AB AC ,点E、F在边BC上，满足/ EAF = / C.求证：BF CE AB2 ；变式练习3如图，在三角形 ABC中，AB=4，AC=2，/ A =90，点D为腰AC中点，点 E在底边 BC上，且 DE丄BD，求 CED 的面积。变式练习4PQ AD已知/ ABC=90

5、，AD II BC，P为线段BD上的动点，点 Q在射线AB上，且满足 ，当AD p AB，且PC AB点Q在线段AB的延长线上时，求 QPC的大小.（2）等腰梯形中一线三等角例1、（长宁区18题）如图，等腰梯形 ABCD中，AD II BC，AD .2，BC 4 2，/ B 45?，直角三角 板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点 A，斜边与CD交于点F .若厶ABE为等腰三角形，则 CF的长等于例 2、如图，梯形 ABCD 中，AB II DC， / B=90 ，E 为 BC 上一点，且 ABEECD。（1 ）若 BC=8，AB=3，DC=4，求 BE 的长 （2 ）若 BC

6、= 4、3 ，AB=3，DC=4，求 BE 的长.（3 ）若 BC=6，AB=3，DC=4，求 BE 的长.例3、如图，梯形 ABCD中，AB II CD，/ ABC=900，AB=8，CD=6，在AB上取动点 P,连结 DP,作PQ丄DP，使 得PQ交射线BC与点E，设AP=x，BE=y。（1 ）当BC=4时，试求y关于x的函数关系式;（2）当BC在什么范围时，存在点 P,使得PQ经过点C （直接写岀结果）。例4、（徐汇区25）如图，在梯形 ABCD中，AD II BC , AB CD BC 6 , AD 3 点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰

7、CD于点F，联结EF MEF BEM ； （ 2）若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；（3）若EF CD，求BE的长.例4、（杨浦区基础考） 四边形ABCD中，AD II BC， ABC 0o 90，AB DC 3，BC 5 点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC 上,且 APE 记 PAB 1， EPC 2，BP x， CE y （1） 当点P在线段BC上时，写岀并证明 1与2的数量关系；（2） 随着点P的运动，（1）中得到的关于 1与 2的数量关系，是否改变？若认为不改变， 请证明；若认为会改变，请求岀不同于（1）的数量关系，并指岀相应的 x的取值范围；1

8、一（3 ）若cos =，试用x的代数式表示 y 3（3）坐标系中一线三等角4例1、（金山区24）如图，住平面直角系中，直线 AB : y x 4 a 0分别交x轴、y轴于B、A两点，直线aAE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA OD，过D作CD x轴交AE于C，连接B C， 当动点B在线段OD上运动（不与点 O点D重合）且 AB BC时 ABO s BCD ； （2）求线段CD的长（用a的代数式表示）；13若直线AE的方程是y x b，求tan BAC的值.161例2、如图，在直角坐标系中，直线 y X 2与X轴，y轴分别交于A，B两点，以AE为边在第二象限内作矩形2ABCD

9、，使 AD 5 ，求点D的坐标.变式练习1在平面直角坐标系 XOY中， AOB的位置如图所示，已知 AOB 900, A 60,点A的坐标为 .3, 1（1）求点B的坐标；（2） 若抛物线y ax2 bx c经过A、OB三点，求函数解析式。变式练习2一 2如图所示：RT AOB中/AO B=90 ， OA=4，OB=2，点B在反比例函数 y 图像上，求过点 A的双曲线解析式。x如图，在平面直角坐标系中， 0B丄OA，且OB = 20A，点A的坐标是（一1, 2） 求过点A、0、B的抛物线的表达式;（4）矩形中一线三等角如图，四边形OAEC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C

10、在y轴上，将边EC折叠，使点e落在边oa的点 D处已知折叠线CE且CE 5： 5， tan EDA ，求直线ce与x轴交点的坐标；例6、（长宁区24题）如图，在矩形 ABCD中，AB 4，AD 6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点 P，三角板两直角中的一边始终经过点 C，另一直角边交射线 BA于点E（1）判断 EAP与厶PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x，AE y，求y与x的函数关系式，并写岀它的定义域；（3）2倍？若存在，请求岀 PD的长度；若不存在,是否存在这样的点 P，是 EAP周长等于厶PDC周长的请简要说明理由.“一线三等角”专题练习、知识梳理

11、：二、经典例题解析1、如图，在 ABC 中， AB = AC=4, BC = 6,Z B = Z ADE，点 D E 分别在 BC、AC 上（点 D 与 B、C 不重合），设BD = x , AE = y，求y关于x的函数解析式及 x的取值范围。F.x的取值范围;E （不与点 C重合），过点 E作EF丄DC交线段DC于点（1 ）求CH的长;（2）设BE = x , EF = y，求y关于x的函数解析式及（3）当以E、F、C为顶点的三角形与 ABE相似时，求BE的长. 3、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90o, AB=10 , AC=6，点E、F分别是边 AC、BC上的动点，过点 E作E

12、D丄AB于 点D，过点F作FG丄AB于点G，DG的长始终为 2.（1 ）当AD=3时，求DE的长；（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设 AD X， FG y，求y关于X的函数解析式，并写岀函数的定义域；（3）在点E、F移动过程中， AED与厶CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由.4、已知在梯形 ABCD 中，AD II BC，AD v BC ,且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点.（1） 如图3，P为BC上的一点，且 BP=2 .求证： BEPCPD ;（2） 如果点P在BC边上移动（点 P与点B、C不重合），且满足/ EPF= / C，PF交直线CD

13、于点F，同时交直 线AD于点M，那么1当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=X，DF= y，求y关于X的函数解析式，并写岀函数的定义域；92当S DMF S bep时，求BP的长.A D5、（ 2009闸北22题）（本题满分10分，第（1 ）小题满分3分，第（2）小题满分7分） 如图七，在平面直角坐标中，四边形 OABC是等腰梯形，CB/OA0A=7, AB=4,Z COA=60，点 P为x轴上的一个动点，但是点 P不与点0、点A重合连结CP,D点是线段AB上一点，连结 PD求点B的坐标；当/ CPD=/ OAB 且BD5=，求这时点P的坐标.AB86、如图，已知在厶 ABC中，AB=AC=

14、8 ,cosB=，D是边BC的中点，点 E、F分在边 AB、AC上，且/ EDF= / B，（1 ）当AE 6时，求AF的长；（2） 当以点C为圆心CF长为半径的O C和以点A为圆心AE长为半径的O A相切时，求BE的长;（3）当以边 AC为直径的O O与线段DE相切时，求 BE的长.知识总结:补充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式：总结：在教学中要突出重点、深化学生对于 一线三等角”模型的理解；把握难点： 一线三等角”模型变式;通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的1在教学中通过 回忆旧知”环节的师生互动过程让 95%学生掌握解函数型综合题需要的必备

15、知识储备.2在教学中通过一个 一线三等角”模型综合题的有效分析引导过程，让 95%的学生树立几何型综合题的解决的信心，让75%的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力.3.在教学中通过有效分解策略的实施， 打破他们对综合题的畏惧心理， 让同学们加深对于题目条件的使用： 条件用完,即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试着加 强解后反思与培养他们欣赏试题的能力.【课后作业】1、如图，已知正方形 ABCD的边长为4 , P是射线CD上一动点.将一把三角尺的直角顶点与 P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角

16、边所在直线与射线 AD相交于点E.设CP=x，DE=y.（1）当点P在线段 CD上时，求证： BPCPED ;（2） 当点P在线段CD的延长线上时，求 y与x的函数解析式及自变量 x的取值范围；（3 ）当DE=1时，求CP的长.2、如图，在矩形 ABCD中，E为AD的中点，EF EC交AB于点F，联结FC（AB AE）.（1） AEF与 EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2） 设 k，是否存在这样的 k值，使得 AEF BFC ?若存在，证明你的结论并求岀 k的值；请说明理由.30 角的透明三角板，使 30 角的顶点落在BPE CFP ；BA的延长线、边 AC于点E

17、、F.3、等腰 ABC，AB=AC= 8，Z BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含点P,三角板绕P点旋转.（1）如图a,当三角板的两边分别交 AB、AC于点E、F时求证：（2）操作：将三角板绕点 P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交探究】： BPE与厶CFP还相似吗？（只需写岀结论）探究2:连结 EF， BPE与厶PFE是否相似？请说明理由;设EF=m， EPF的面积为S,试用m的代数式表示 S.（1）若AF=AE,并设CE=x,A AEF的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写岀函数的定义域;5、如图，在厶ABC中,AC=BC=2，/ C=90,点D为腰BC中点，点E在底边AB 上,

18、且DE丄AD,则BE的长为 .6、如图，ABC中，/ ACB=9, / A=60,AC=2, CDL AB,垂足为 D.任意作/ EDF=6,点 E、F 分别在 AC BC上.设 AE=x,BF=y.（1 ）求y关于x的函数关系式，并指岀它的定义域；（2 ）当x为何值时，BDF是等腰三角形.7、如图：AB是等腰直角三角形 ABC的斜边，点 M在边AC上，点N在边BC上，沿直线 MN将 MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为 P.当P是边AB中点时，求证：PACM ；PBCN （2）当P不是边AB中点时，CM是否仍然成立？请证明你的结论CN8、如图第13题图-1，在Rt ABC中，/ C=90

19、 AC=BC D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点 A C不如图第13题图-2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF;如果 AC=BC=6，AD： DB=1 : 2,设 AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写岀定义域9、已知ABC 90 AB 2，BC3，AD / BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC（如图14-1 ）（1 ）当AD 2，且点Q与点B重合时（如图14-2所示），求线段 PC的长;3 Sa apq，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，-;2 SA PBC表示 APQ的面积,Sa pbc表示 PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写岀函数定义域;（3 ）当AD AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图14-3所示），求QPC的大小.C