人教版中考数学压轴题汇编因动点产生的面积问题附答案.docx

1、人教版中考数学压轴题汇编因动点产生的面积问题附答案2018年人教版中考数学压轴题汇编因动点产生的面积问题（附答案）1.6 因动点产生的面积问题 例1 2017年河南省中考第23题 如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F点D、E的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)，联结PD、PE、DE （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小

2、明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE周长最小时“好点”的坐标 例2 2017年昆明市中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于A(2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ存在时，求运动多少秒时PBQ的面

3、积最大，最大面积是多少？ （3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52，求点K的坐标例3 2017年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线 （b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0) （1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）； （2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S 求S的取值

4、范围； 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个例4 2017年菏泽市中考第21题 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到三角形ABO （1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质例 5 2017年河南省中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，直线

5、 与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D （1）求a、b及sinACP的值； （2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由例 6 2017年南通市中考第28题 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线 (x0)交于点B(2，1)过点 (p1)作x轴的平行线分别交曲线 (x0

6、)和 (x0)于M、N两点 （1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由例7 2017年广州市中考第25题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 交折线OAB于点E （1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是

7、否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由1.6 因动点产生的面积问题答案 例1 2017年河南省中考第23题 如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F点D、E的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)，联结PD、PE、DE （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”

8、的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE周长最小时“好点”的坐标 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使PDE的面积为整数” 的点P共有11个 思路点拨 1第（2）题通过计算进行说理设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长 2第（3）题用第（2）题的结论，把PDE的周长最小值转化为求PEPF的最小值 满分解答 （1）抛物线的解析式为 （2）小明的判断正确，对于任意一点P，PDPF2说理如下： 设点P的

9、坐标为 ，那么PFyFyP 而FD2 ，所以FD 因此PDPF2为定值 （3）“好点”共有11个 在PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FDPE的最小值 而PDPE(PF2)PE(PFPE)2，因此当P、E、F三点共线时，PDE的周长最小（如图2） 此时EFx轴，点P的横坐标为4 所以PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(4, 6) 图2 图3 考点伸展 第（3）题的11个“好点”是这样求的： 如图3，联结OP，那么SPDESPODSPOESDOE 因为SPOD ，SPOE ，SDOE12，所以 SPDE 因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x6 如图4，当8x0时，4

10、S13所以面积的值为整数的个数为10 当S12时，方程 的两个解8, 4都在8x0范围内 所以“使PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个例2 2017年昆明市中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于A(2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ存在时，求运动多少秒时PBQ的面积最大，最大面积是多少？ （3）当PBQ的面积最大时，在BC

11、下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52，求点K的坐标 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运动到AB的中点时，PBQ的面积最大双击按钮“PBQ面积最大”，再拖动点K在BC下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5思路点拨 1PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值 2PBQ与PBC是同高三角形，PBC与CBK是同底三角形，把CBK与PBQ的比转化为CBK与PBC的比满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(2, 0)、B(4, 0)两点，所以ya(x2)(x4) 所以8a3解得 所以抛物线的解

12、析式为 （2）如图2，过点Q作QHx轴，垂足为H 在RtBCO中，OB4，OC3，所以BC5，sinB 在RtBQH中，BQt，所以QHBQsinB t 所以SPBQ 因为0t2，所以当t1时，PBQ的面积最大，最大面积是 。 （3）当PBQ的面积最大时，t1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ1。 如图3，因为PBC与PBQ是同高三角形，SPBCSPBQBCBQ51。 当SCBKSPBQ52时，SPBCSCBK21。 因为PBC与CBK是同底三角形，所以对应高的比为21。 如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PBDB21。 因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，

13、点D的坐标为 过点K作KEx轴于E设点K的坐标为 由 ，得 整理，得x24x30 解得x1，或x3所以点K的坐标为 或 图2 图3 图4 考点伸展 第（3）题也可以这样思考： 由SCBKSPBQ52，SPBQ ，得SCBK 如图5，过点K作x轴的垂线交BC于F设点K的坐标为 由于点F在直线BC： 上所以点F的坐标为 所以KF CBK被KF分割为CKF和BKF，他们的高的和为OB4 所以SCBK 解得x1，或x3 图5 例3 2017年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线 （b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1,0) （1）b

14、_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）； （2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S 求S的取值范围； 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个 请打开超级画板文件

15、名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个 思路点拨 1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC 2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD 3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方 4求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值 满分解答 （1）b ，点B的横坐标为2c （2）由 ，设E 过点E作EHx轴于H 由于OB2OC

16、，当AE/BC时，AH2EH 所以 因此 所以 当C、D、E三点在同一直线上时， 所以 整理，得2c23c20解得c2或 （舍去） 所以抛物线的解析式为 （3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F 直线BC的解析式为 设 ，那么 ， 所以SPBCSPBFSPCF 因此当P在BC下方时，PBC的最大值为4 当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5 综上所述，0S5 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有11个 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0） 当P在BC下方，S4时

17、，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点例4 2017年菏泽市中考第21题 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到三角形ABO （1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线

18、上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍 请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍思路点拨 1四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，可以转化为四边形PBOB的面积是 ABO面积的3倍 2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形 3过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答 （1）AOB绕着原点O逆时针旋转90，点A、B的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2) 因为抛物线与x轴交于A(1,

19、0)、B(2, 0)，设解析式为ya(x1)(x2)， 代入B(0, 2)，得a1 所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2) x2x2 （2）SABO1 如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3 如图2，作PDOB，垂足为D 设点P的坐标为 (x，x2x2) 所以 解方程x22x23，得x1x21 所以点P的坐标为(1，2) 图2 图3 图4 （3）如图3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线 考点伸展 第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图4那样分割图形

20、，这样运算过程更简单 所以 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P： 作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E的坐标为(1，2) 而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的4倍因此点E就是要探求的点P 例 5 2017年河南省中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D （1）求a、b及sinACP的值； （2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段P

21、D的长，并求出线段PD长的最大值； 连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是910，也可以是109思路点拨 1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫 3PCD与PCB是同底边P

22、C的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答 （1）设直线 与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1) 在RtAEO中，OA2，OE1，所以 所以 因为PC/EO，所以ACPAEO因此 将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得 解得 ， （2）由 ， ， 得 所以 所以PD的最大值为 （3）当SPCDSPCB910时， ； 当SPCDSPCB109时， 图2 考点伸展 第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 而 ， BM4m 当SPCDSPCB910时，

23、 解得 当SPCDSPCB109时， 解得 例 6 2017年南通市中考第28题 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线 (x0)交于点B(2，1)过点 (p1)作x轴的平行线分别交曲线 (x0)和 (x0)于M、N两点 （1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y2上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1动感体验 请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是两个同高的三角形，

24、MN4MP存在两种情况思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论满分解答 （1）因为点B(2，1)在双曲线 上，所以m2设直线l的解析式为 ，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为 （2）由点 (p1)的坐标可知，点P在直线 上x轴的上方如图2，当y2时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(1，2) 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形 由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位

25、置关系，可知PNA为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图2 图3 图4（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上 当SAMN4SAMP时，MN4MP 如图3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此 解得 或 （此时点P在x轴下方，舍去）此时 如图4，当M在NP的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此 解得 或 （此时点P在x轴下方，舍去）此时 考点伸展 在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2） 情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90的情况 例7

26、 2017年广州市中考第25题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 交折线OAB于点E （1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图1动感体验 请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时

27、，S随b的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换思路点拨 1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长 2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积 3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形 4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理满分解答 (1)如图2，当E在OA上时，由 可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b此时SSODE 如图3，当E在AB上时，把y1代入 可知，点D的坐标为(2b2,1)

28、，CD2b2，BD52b把x3代入 可知，点E的坐标为 ，AE ，BE 此时 SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形 作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2 设菱形DMEN的边长为m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得 所以重叠部分菱形DMEN的面积为 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为 ，如图7所示