教育多元统计学与SPSS软件5方差分析.docx

1、教育多元统计学与SPSS软件5方差分析第五章 方差分析方差分析是由费歇尔（R.A. Fisher）提出的，它与t检验相比优越之处在于可以同时检验多个平均数之间的差异，并且可以解释几个因素水平之间的交互作用。如教学效果受教法、教材、学生接受能力等诸多因素的影响，要研究这些因素对教学效果的影响程度、分析它们之间交互作用的大小，t检验方法就无能为力了，而方差分析正是为解决这类问题提供的一种有效的方法。方差分析分为单因素、多因素方差分析、协方差分析、多元方差分析、重复试验设计的方差分析与方差成分分析。方差分析的内容较多，一般在基本统计中介绍单因素方差分析，其他方法介绍得较少，而本章主要介绍这些方法。第

2、一节 方差分析的基本概念1常用术语11 因变量试验中要观测的量，即所要考察的结果。12 因素影响因变量的指标，也称为自变量。13 水平因素在试验时所分的等级或因素不同的状态，可能是数量的，如年龄，也可能是分类的，如性别。14 主效应试验中由一个因素的不同水平引起的差异。15 简单效应一个因素的水平在另一个因素的某个水平上的差异。16 处理效应试验的总变异中由自变量引起的差异，主效应、简单效应、交互作用均为处理效应。17 交互作用当一个因素的水平在另一个因素的不同水平上变化趋势不一致时，称两个因素之间存在着交互作用。或者：若一个因素A对因变量的影响与另一个因素B取什么水平有关，就称因素A与因素B

3、之间存在着交互作用，即除了因素A与B单独的作用外，它们的不同水平的组合对因变量产生的作用。注：当两个因素A与B之间的交互作用的方差很小、比误差项的方差还小时，可以认为A与B之间无交互作用，相应的平方和只不过是误差的一种反映，可将该项与误差项合并，相应的自由度也合并，以提高分析的精度。2基本假设21 正态分布22 变异的同质性，即各个组的变异是相等的：12=22=k2以两个总体为例说明，所用统计量为： S12 F= S22一般情况下无差异。23 独立性指试验中一个被试的观测值应该独立于其他被试的观测值。3样本含量 样本中所包含的个体数称为样本含量，用n表示。统计分析在于探讨统计规律，因此，n最好

4、取大一些，若试验研究设计得好，有严密的试验控制，每组受试者至少15人，最好在30人以上。第二节 单因素方差分析对于影响一个因变量的众多因素，若仅使一个因素发生变化，而使其他因素均保持不变（或控制在一定范围内），分析这一因素对因变量的影响是否显著，属于单因素方差分析问题。1方法介绍设因素A有m个水平，在每一水平下做k次（每一水平下的次数可以不等，通常用ki表示）试验，用S总表示所有数据与总平均数的总的离差平方和，它可以分解为： S总=SA+SeSA称为组间平方和，反映了因素A的各个不同水平所引起的差异，即主效应；Se称为组内平方和，反映了试验过程中随机误差的大小，即随机效应。对给定的显著性水平，

5、比较F与F，若FF，则认为因素A对因变量的影响是显著的；否则，影响不显著。F的计算公式为： SA/（m-1） F= Se /m(k-1)其中，SA、Se分别为组间平方和、组内平方和，m为水平个数，k为试验次数。2SPSS软件操作步骤选择“Analyze ”“Compare Means”“One-Way ANOVA”项，弹出如图5.2.1的对话框。图5.2.1 单因素方差分析对话框21 Dependent List框存放因变量。22 Factor框存放自变量。23 Contrasts按钮图5.2.2 Contrasts对话框 Polynomial项激活“Degree”，用于均值的多项式比较。Li

6、near：一阶，即线性；Quadratic：二阶；Cubic：三阶；4th：四阶；5th：五阶。 Coefficients框在该框中输入多项式各组均值的系数，单击“Add”按钮追加、单击“Change”按钮改变、单击“Remove”按钮删除。一组系数输入结束，按“Next”按钮，进行下一组的输入，需要查看、修改前面输入的系数时按“Previous”按钮。因素分几个水平输入几个系数。 Coefficient Total项显示每组系数的总和。24 Post Hoc按钮指定一种多重比较的检验方法。若经方差分析所得结论为无显著性差异，则只需对该结果进行分析，否则，要进行多重比较。因为有显著性差异是针对

7、因素的所有水平这一整体而言的，并不能判定各水平两两之间的差异均显著。那么，究竟哪些水平之间的差异显著、哪些水平之间的差异不显著呢？需要进行多水平之间的比较，即多重比较。图5.2.3 Post Hoc对话框 Equal Variances Assumed项方差齐性时选用该项。该项的方法较多，实际问题中可根据需要选择，最常用的有以下几种方法。 LSD用t检验完成组间成对均值的比较。 Scheffe用F检验进行均值间的配对比较。 S-N-K用t检验进行均值间的配对比较。 Tukey用学生化极差统计量进行所有组间均值的配对比较。 Equal Variances Not Assumed项方差非齐性时选用

8、该项。 Significance level框改变显著性水平，常用的有0.05或0.01。25 Options按钮图5.2.4 Options对话框 Statistics项选择输出的统计量。 Descriptive输出样本含量、平均数、标准差、标准误、最大值、最小值、各组每个因变量的95%的置信区间。 Fixed and random effects输出固定与随机效应模型的标准差、95%的置信区间等结果。 Homogeneity-of-variance输出方差齐性检验结果。 Brown-Forsythe以“Brown-Forsythe”为统计量，检验各组的均值是否相等。 Welch以“Welc

9、h”为统计量，检验各组的均值是否相等。 Means plot项输出均数分布图。 Missing Values项选择缺失值的处理方法。 Exclude cases analysis by analysis删除要进行检验的数据中含有缺失值的数据。 Exclude cases listwise删除所有含有缺失值的数据。3应用举例例5.2.1 为了探讨不同教法对英语教学效果的影响，将一个班分成3组，接受3种不同的教法，试问不同的教法之间是否存在着差异。表5.2.1 3组学生英语成绩第一组第二组第三组78.0061.0080.0072.0072.0070.0066.0065.0076.0069.0066

10、.0072.0070.0062.0072.00因变量：英语成绩；自变量：教法；3种水平：3种不同的教法。这是一个单因素3水平的试验。将3个水平的数据按列输入(变量为x)，第二列标明数据的水平(变量为a)。选择“Analyze ”“Compare Means”“One-Way ANOVA”项，将变量x移入“Dependent List”框、变量a移入“Factor”框。按“Post Hoc”按钮，在“Equal Variances Assumed”中选择“Scheffe”与“Tukey”方法，取“Significance level”的默认值0.05。按“Options”按钮，在“Statist

11、ics”中选择“Descriptive”项，输出样本含量、平均数、标准差、标准误、最大值、最小值、各组每个变量的95%的置信区间，选择“Homogeneity-of-variance”，输出方差齐性检验结果，选择“Means plot”，输出均数分布图。计算结果如下。表5.2.2 平均数标准差等结果 DescriptivesNMeanStd. DeviationStd. Error95% Confidence Interval for MeanMinimumMaximumLower BoundUpper Bound1.00571.0004.472142.0000065.447176.55296

12、6.0078.00 2.00565.2004.324351.9339159.830670.569461.0072.00 3.00574.0004.000001.7888569.033378.966770.0080.00 Total1570.0675.470271.4124267.037373.096061.0080.00 表中列出了每组人数、平均数、标准差、标准误、95%的置信区间、最小值、最大值。表5.2.3 方差齐性检验结果Test of Homogeneity of VariancesLevene Statisticdf1df2Sig. 0.0072120.993 P=0.9930.10

13、，方差齐性。表5.2.4 方差分析结果ANOVASum of Squares（离差平方和）dfMean Square（均方）FSig.Between Groups（组间）200.1332100.0675.4880.020 Within Groups（组内）218.8001218.233 Total（总和）418.93314 P=0.020.05，各教法之间的差异显著。若差异不显著，说明各种教法的效果基本一样，实际教学中，可选择一种较为简单的方法。表5.2.5 多重比较结果Dependent Variable: X (I) A(J) AMean Difference (I-J)Std. Erro

14、rSig.95% Confidence IntervalLower BoundUpper BoundTukey HSD1.002.005.80002.700620.122-1.404913.0049 3.00-3.00002.700620.526-10.20494.2049 2.001.00-5.80002.700620.122-13.00491.4049 3.00-8.8000*2.700620.017-16.0049-1.5951 3.001.003.00002.700620.526-4.204910.2049 2.008.8000*2.700620.0171.595116.0049 Sc

15、heffe1.002.005.80002.700620.142-1.728213.3282 3.00-3.00002.700620.556-10.52824.5282 2.001.00-5.80002.700620.142-13.32821.7282 3.00-8.8000*2.700620.022-16.3282-1.2718 3.001.003.00002.700620.556-4.528210.5282 2.008.8000*2.700620.0221.271816.3282 * The mean difference is significant at the 0.05 level.两

16、种多重比较方法的结果：在0.05显著性水平下，教法2与教法3之间的差异显著，而教法1与教法2、教法1与教法3之间的差异不显著。表5.2.6 多重比较齐次性（均衡）子集结果ANSubset for alpha =0.0512Tukey HSD2.00565.2000 1.00571.000071.0000 3.00574.0000 Sig.0.1220.526 Scheffe2.00565.2000 1.00571.000071.0000 3.00574.0000 Sig.0.1420.556 Means for groups in homogeneous subsets are display

17、ed.a Uses Harmonic Mean Sample Size = 5.000. 该表是表5.2.5的另一种表达形式，给出了差异不显著的结果。图5.2.5 均值分布图由图可以看出各组均数的分布情况。第三节 双因素方差分析实际问题中，影响试验结果的因素往往不只一个，而是多个，这就需要进行多因素方差分析。本节介绍双因素方差分析，其基本思想是：若某一因素的几个水平能引起试验的结果差别较大，该因素认为是重要的；结果相近，该因素认为是不重要的。通过进行双因素方差分析，可以检验两个因素对试验结果的影响是否显著、哪个因素是主要的以及它们之间有无交互作用等。1方法介绍11 无交互作用 设有A、B两个因

18、素，分别有m、n个水平，记为：A1，A2，Am；B1，B2，Bn在每组水平下各做1次试验，测得数据xij，见表5.3.1。假设数据独立，服从正态分布，检验：HA：1=2=m HB：1=2=n是否显著。S总=SA+SB+Se 为总平方和，SA、SB分别刻划因素A、B的主效应，Se 刻划随机效应。自由度的关系为：f总=fA+fB+fe交互作用在无重复试验下与试验误差混在一起，无法区分。因此，在条件许可的情况下，尽量安排重复试验，以减轻误差的干扰，提高分析精度。表5.3.1 无交互作用双因素方差分析数据 BA12N1x11x12x1n2x21x22x2nmxm1xm2xmn12有交互作用设有A、B两

19、个因素，分别有m、n个水平，在每组水平下各做d次试验，测得数据xijk，见表5.3.2。检验：HA：1=2=m HB：1=2=n H3：11=12=mn是否显著。ij反映的是交互效应。S总=SA+SB+ SAB+Se 为总平方和，SA、SB分别刻画因素A、B的主效应，SAB刻画因素的交互效应，Se 刻画随机效应。自由度的关系为：f总=fA+fB+fAB+fe表5.3.2 有交互作用双因素方差分析数据 BA1Jn1x111 x112 x11dx1j1 x1j2 x1jdx1n1 x1n2 x1ndIxi11 xi12 xi1dxij1 xij2 xijdxin1 xin2 xindmxm11 x

20、m12 xm1dXmj1 xmj2 xmjdXmn1 xmn2 xmnd2SPSS软件操作步骤选择“Analyze ”“General Linear Model”“Univariate”项。弹出如图5.3.1的对话框。21 Dependent Variable框存放因变量。22 Fixed Factors框存放分组（固定）变量（因素）。图5.3.1 双因素方差分析对话框23 Random Factors框存放随机变量（因素）。24 Covariates存放协变量。25 WLS Weight存放加权变量。26 Model按钮设定模型。 Full Factorial项建立全模型，包括所有变量的主效

21、应与所有的交互效应，选择此项后，无需进行其他操作，按“continue”返回主对话框。 Custom项建立自定义模型，激活下面各操作框。选择该项后，Factors&框中列出可以作为变量的变量名，括号中标有字母“F”，也可列出作为协变量的变量名，括号中标有字母“C”，这些变量均为用户在主对话框中定义的。选中变量名，按“Build Terms”下方的箭头，移入“Model”框。 Build Terms项 Interaction指定任意的交互效应。 Main effecrs指定主效应。 All2-Way指定所有2维交互效应。图5.3.2 Model对话框 All3-Way指定所有3维交互效应。 Su

22、m of Squares项确定平方和的分解方法。一般情况下选择“Type ”，对F的较高水平效应参数作对比时选择“Type ”。 Include intercept in model项回归模型中包含截距项，若能假设数据通过原点，可以不选该项。27 Contrast按钮均值比较。图5.3.3 Contrast对话框 Factors框列出了在主对话框中所选的因素，括号中的是对比方法。 Change Contrast项 Contrast选择对比方法。None：不进行均数比较。Deviation：比较预测变量或因素的每个水平的效应，选择“Last”或“First”作为参考水平。Simple：除了作为参

23、考的水平外，对预测变量或因素的每个水平均与参考水平进行比较，选择“Last”或“First”作为参考水平。Difference：除了第一个水平外，对预测变量或因素的每个水平均与前面各水平的平均效应进行比较。Helmert：除了最后一个水平外，对预测变量或因素的每个水平均与后续各水平的平均效应进行比较。Repeated：对相邻的水平进行比较，除了第一个水平外，对预测变量或因素的每个水平均与前面的水平进行比较。Polynomial：进行多项式比较，包含一次效应、二次效应等。 Chang按钮按“Chang”按钮，选中的（或改变了的）对比方法会显示在“Factors”框选中的因素后面的括号中。 Ref

24、erence Category项当选中了“Deviation”与“Simple”项后，激活“Reference Category”项：Lsat：确定最后一个水平。First：确定第一个水平。28 Plots按钮图5.3.4 Plots对话框该框是为描绘变量的均数分布设计的，利用图形，可以帮助判断水平之间是否有交互作用，平行线表明无交互作用，否则，认为有交互作用。 Factors框列出主对话框所选的变量名。 Horizontal Axis项横坐标。 Separate Lines项纵坐标。 Separate Plots项散点框。 Plots项 Add移入。 Change修改。 Remove删除。2

25、9 Post Hoc按钮指定一种多重比较检验方法，说明见“单因素方差分析中的解释”。210 Save按钮图5.3.5 Save对话框 Predicted Values项预测值选项。 Unstandardized保存非标准化预测值。 Weighted保存加权的非标准化预测值，只有在主对话框中选择了“WLS Weight”项时才可选。 Standard error保存预测值的标准误差。 Diagnostics项设置诊断选项。 Cooks distance保存Cook距离，衡量剔除回归模型中的某个因素时残差的变化量。 Leverage values保存非中心化Leverage（杠杆）值，反映每个观测

26、值对模型拟合程度的影响。 Residuals项设置与残差有关的选项。 Unstandardized保存非标准化残差。 Weighted保存加权的非标准化残差，只有在主对话框中选择了“WLS Weight”项时才可选。 Standardized保存标准化残差。 Studentized保存学生化残差。 Deleted保存剔除残差，即变量与校正预测值之差。 Save to New File项设置统计量保存方式选项。Coefficient statistics：将协方差矩阵等项保存到指定的文件中，可以作为新数据文件被调用。211 Options按钮选择输出项。 Estimated marginal M

27、eans项估测边际均值栏。 Factors and Factor Interactions列出可供选择的变量与交互作用项。 Display Means for存放左框选择的各项。 Compare main effects进行多重比较，3个选项在“Post Hoc”中有介绍。 Display项设置有关输出内容选项。 Descriptive statistics显示平均数、标准差等结果。 Estimates of effect size显示F和t检验效应的大小。 Observed power显示显著性水平Alpha值，在0.01到0.99之间。图5.3.6 Options对话框 Parameter estimates显示回归系数、标准误、t检验、95%的置信区间。 Contrast coefficient matrix显示变换矩阵。 Homogeneity tests显示方差齐性检验结果。 Spread vs.level plot显示均值-标准差图形。 Residual plot显示残差图形。 Lack of fit检查独立变量与非独立变量之间的关系是否被充分描述。 General estimable function显示可估计函数的一般形式。 Significance level项改变显著性水平。3应用举例31 无交互作用例5.3.1 4名工人操作3台机器，1天的日产量数据见表5