数列通项公式习题精选精讲文档格式.doc

1、由（n+1）得，= 所以例4. 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。首先由易求的递推公式：将上面n1个等式相乘得：一般地，对于型如=（n）类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用 （2）例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2） （1）=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。六、待定系数法： 例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn设 例6. 已知数列中，其中b是与n无关

2、的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知： 故数列是首项为，公比为的等比数列，故用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，。七、辅助数列法例7：已知数的递推关系为，且求通项。 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例5. 在数列中，求。在两边减去，得 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得= = 例8： 已知数列中且（），求数列的通项公式。 ， 设，则故是以为首项，1为公差的等差数列 这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。趣谈数列的通项问

3、题及其思维方式1递推关系的形成：直接给出，函数给出，解析几何给出，应用问题给出，方程给出。2给出递推关系求通项，有时可以用归纳，猜想，证明的思路；而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法；而给出铺垫（转化后的数列）的问题常常可以用证明（变换，待定系数法等）处理，一般难度不大。3给定初始条件和递推关系往往可以用演绎（推导）的方法求出它的通项公式，其最主要的思想方法是生成、转化、叠代。4给定初始条件和递推关系，有时不一定能求出通项，却也可以研究它的其他性质。（如取值范围，比较大小，其他等价关系等，无非等与不等两类），这类问题往往有一定的难度。本文主要采用风趣的“楼层式”讲解，更易于理解数

4、列中求通项的问题。将喻为楼的第一层，喻为楼的第二层，喻为楼的第三层，则数列中之间的关系式可理解为这三层之间的走动关系，那么我们可以用爬楼层的方式理解之间的相互转化关系-我亲切地称它为“楼层式”的转化方式。一、“二层”之间的关系式，即型若数列的连续若干项之间满足关系，由这个递推关系及n个初始值确定的数列，叫做递推数列。它主要给出的是“二层”中连续几项之间的递推关系式（如：、等类型），这是数列的重点、难点问题。求递推数列通项的方法较多，也比较灵活，基本方法如：迭加法、迭乘法、转化为等差、等比数列求通项法、归纳猜想证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。（一）由等差、等比演

5、化而来的“差型”、“商型”递推关系（1）由等差数列演化为“差型”，如：生成：，累加：=，于是只要可以求和就行。（2）由等比数列演化为“商型”，如：累乘：，于是只要可以求积就行。例题1：已知数列满足：求证： 是偶数 （数学通讯2004年17期P44）证明：由已知可得：又=而=所以，而为偶数（二）由“差型”、“商型”类比出“和型”、“积型”：即例题2：数列中相邻两项、是方程的两根，已知求的值。分析：由题意：+- ， 生成： +-由得：所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差。其基本思路是：生成、相减；与“差型”的生成、相加的思路刚好相呼应。到这里本题的解决就不在话下了。特例：若+，则，

6、即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。若- ， 则 -由得：所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比。生成、相除；与“商型”的生成、相乘的思路刚好相呼应。若，则，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。（三）可以一次变形后转化为“差型”、“商型”。如：、等类型。例题3：设是常数，且，（2003年新课程理科，22题）这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法：方法（1）：构造公比为2的等比数列，用待定系数法可知方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理。方法（3）：直接用叠代的方法处

7、理：说明：当时，上述三种方法都可以用；当时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其它两种方法做则都比较难；用叠代法关键是找出规律，除含外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题。（四）数学归纳法：例题4：已知数列中，求通项公式利用归纳、猜想、数学归纳法证明方法也可求得通项公式。 即 再利用数学归纳方法证明最后的结论：当时，显然成立；假设当时，成立，由题设知 即当时，成立根据，当时，然后利用等比数列求和公式来化简这个通项。二、“三层”之间的关系式，即型若数列满足关系，由这个关系式及初始值确定的数列，也可理解为递推数列。它主要给出的是“三层”中连续几项之间的递推关系式，解决途径是利用将“三层”问

8、题全部走下“二层”，回到型或直接能求出，以下过程依同上述。例题5：已知数列的首项，前n项和满足关系式（t为常数且）（1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的公比为，作数列，使，求（1）由，得,，又，得，得是一个首项为1，公比为的等比数列。（2）由，有是一个首项为1，公差为的等差数列，。类比例题：已知数列满足，求的通项公式。记 。三、“一层”与“三层”的关系式，即型可利用公式： 直接求出通项。例题6：已知数列的前n项和为 ， 分别求数列的通项公式。当时， 当时， 经检验 时 也适合 当时，经检验 时 不适合 四、“二层”与“三层”的关系式，即型若数列满足关系，由这个递推关系及初始值确定的数列，

9、也是递推数列。它主要给出的是“二层”与“三层”之间的递推关系式，解决途径是利用转化为纯粹的“二层”或“三层”问题，即型或型（也就是将混合型的转化为纯粹型的）例题7：已知数列的前n项和Sn满足（）写出数列的前3项； （）求数列的通项公式。（） -由得-由得，得-由得，得-（）-用代得 -由得：即-由叠代法得-例题8：数列的前n项和记为Sn，已知（2004全国卷（二）理科19题）方法（1） 整理得 所以 ， 故是以2为公比的等比数列.事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=得 ， 下面易求证。当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的。五、二个（

10、或多个）“楼层”（即数列）之间的递推关系除以上的转化方式外，还会出现多栋楼之间的联系，即不同数列之间的递推关系，对于该类问题，要整体考虑，根据所给数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例题9：甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1=10%,b1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn，（1）试用an-1、bn-1表示an、bn；（2）求证数列 an-bn是等比数列，并求出an、bn的通项。该问题属于数列应用题，涉及到两个不同的数列an和b

11、n，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。（1）由题意；（2）an-bn=（）（n2）， an-bn是等比数列。又a1-b1=-10% an-bn=-10%（n-1 （1）又= a1+b1=30% （2）联立（1）、（2）得=-（n-15%+15%；=（n-15%+15%。综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项的递推数列的五种转化思路-“楼层式”的转化方式，同样采用相应的、风趣的教学形式，更

12、易于学生接收新知识，从而激发学生的学习兴趣，让数学课堂生动活泼风趣起来。这正顺应了当前“新课程理念”的大趋势。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型（1）若f（n）为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f（n）为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：时，所以各式相加得 即：.为了书写方便，也可用横式来写： 时，=.例 1. （2003天津文） 已知数列an满足,证明由已知得： = .例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：例3.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通

13、项.若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型（1）有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f（n）为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法. 由得 时，=f（n）f（n-1）. 例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.已知等式可化为

14、：（）（n+1）, 即时，=.本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列an的通项公式.因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法（两式相减）得，分奇偶项来分求通项.例1. 数列满足,求数

15、列an的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：两式相减得：构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.方法一：因为以下同例1，略答案 4.形如型（1）若（p为常数），则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列,求此数列的通项公式.注

16、：同上例类似，略.5形如,其中）型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1已知数列中，求通项.两边直接加上,构造新的等比数列。由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 方法

17、二：由 两式相减得 ,数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.=（ .方法三：迭代法由 递推式直接迭代得=方法四：归纳、猜想、证明.先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.6.形如型.（1）若（其中k,b是常数，且）方法：相减法例1. 在数列中，求通项.， .令,则利用类型5的方法知即 再由累加法可得.亦可联立 解出.例2. 在数列中，,求通项.原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.（2）若（其中q是常数，且n0,1）若p=1时，即：，累加即可.若时，即：求通项方法有以下三种方向：i

18、. 两边同除以. ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则证法2：由得 .设，则b. 即：所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,故 .本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .方法4：本题也可用数学归纳法证

19、.（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； （ ii）假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.7.形如型（1）即 取倒数法.例1. 已知数列中，求通项公式。取倒数：例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.证：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.不

20、动点法:我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例1. 设数列an满足,求an的通项公式.此类问题常用参数法化等比数列求解.对等式两端同时加参数t,得：令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：两边取倒数得，令b，则b,转化为类型5来求. 8.形如（其中p,q为常数）型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列中，若,且满足,求.把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 利用类型6的方法可得 .（2）当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足，且,且满足,求.令,即,与已知比较，则有,故或下面我们取其中一

21、组来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即,利用类型 的方法，可得. 形如的递推数列,我们通常采用两次类型（5）的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.9. 形如（其中p,r为常数）型（1）p0， 用对数法.例1. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：（2）p0时 用迭代法.例1.（2005江西卷）已知数列，（1）证明 （2）求数列的通项公式an.（1）略（2）所以 又bn=1，所以.本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.