欧拉伯努利梁理论.docx

1、欧拉伯努利梁理论9.2欧拉-伯努利梁理论若在梁的总变形(挠度)中眄变形与弯曲变形相比较前者可以略 去则町对浹木辛柯梁理论作一些修正可以设(9.1-5b)式中这样FsHO这个假设的意义是：在谁未交形状态垂直F梁轴线的横截 面在梁变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线这样由(9.1 -5a)及(9.1-8a)式可得若给定梁端的3(或FJ以及器(或M),則可得到方程(9.2-3)的惟一 解方程(9.2-2)、(9.2-3)是欧拉-伯努利梁模型，这疑以对这个问题 进行研究的数学家、力学家欧拉(17071783)和伯努利(17001782)的 名字命名的欧拉-伯努利梁理论以其形式简单.便于应用而在工程

2、上被 广泛地采用，因此这一理论在材料力学课程中冇详细的讨论.需要指出 的是.在历史上，先有欧拉伯努利梁理论它对于细长梁 (*0,见图9-3)是正确的在这种情况下，略去的变形，即假设梁只有 弯曲变形，而梁对于剪变形是完全刚件的.这样处理，不会产牛明显的谋 羞对于粗短染(井非很小)，剪变形在渠的总变形(挠度)中右较大的 贡献.剪变形与弯曲变形相比洞者不能略去一因此.对片粗班梁必须采用 饮木辛柯梁模型进行计算.铁木辛柯梁理论是欧拉-伯努利梁理论的发 展.例弹性基础梁现应用欧拉-伯努利梁理论讨论弾性基础梁，它在结构力学中有广 泛的应用梁长为L,等敲面.两瑞简支受均布栽荷/。，弹性基础的刚性阳9-4系数

3、为趴邺性地础的證力的大小与梁的挠度w成止比，方向与如栩 反由于问题的对称性*坐标原点取梁的中点”如图9 4应用(9.2-3)式*谴的堆義懒分芳程为(9.2 -4a)EF爲式中(9 + 2-4c)方程(42 - 4b)的解为Tth Ct cos /it * cosh /lr + C2 sin /lr * sinh jh: + (coh /ir*sinh /Jr + C4sin fir * cosh /Sr -翠中厚帳理论（詬轲板理论:闪此令因此uj - Cjcos *cosh 肛 + Cjsin /hritih16F/Z*ocosh 2a + eos 2ti(9.2-9)Ct -字务一zh=単务

4、口加川】a倉D ft i召in a sinh a sin 住rsdnb tr) 1| (y.2- ioiW “ 歹色(ex f/crmli if sin /?isirib 阻 sin ahinhtjeofi /Jrffjsh fir)paL2 1 . .f - - (y)s zicosh 实际上这就是原来十维问题的虏克定律n杨氏桩吐e可以適过哥单的柚仲弍驗得到*通过删去方程強那中与丫轴有关的顶.就可得列一堆问題的动为学平衡对程学+几=严 2.40）dJC把式2.3B）W（2.39k优人式（2H0.就可得列均如g无关的弹性桁舉的控制方 禹即 jp + fr flu 2.41）1M去万轉（2* 4

5、屮抽谊性碘就可碍到桁臭的静力学平備力程，為2+ 42)对干均质的弹性带架剧去方程（2.40牛的惯性项，就可得到用也務表示的静力学乎囊 方墓为(2.43)对于檀霰面面积为常慣A的杆*上述方袈可写为这里Ft-ftA是忤用在杆的柚向的外力*1.5翼的方程如图2,9 JOf示嫌桁架杆件一痒*堡也口肴相ftl的几何特征不同的径作用拄聚上 的力呆播向約.即：力的方向垂直于咚的轴线因此梁会发生弯曲变形，在方向产冬挠 匮它是工的樽敕2.5.1应力和应蛮韋的欄載貶上的应力包括正应力亿和剪应力0有多个理论可用于井析叢的挠 度这尊理论棊本上可讪分为两种主要类程：税槃理论利棵锵理论本书童点是翳究浅 樂葺论，这种理论避

6、常称为歎拉伯努利（Eukr 论灯局山梁理论，欧拉-缶努利舉理论暇处雅直舌娈形舸的形心轴的平截面驾曲娈堆后仍俚捋为平面井且仍蚩直于变形肯的轴线如昭2. 10胪亦.利用这一噬谟*荷先再e, = 0 （： 44）它的盘文就是思略剪应变.其次.曜上距离形心轴为了的点的軸向位移茁可以衰示为u U曲 （孔4巧迭灵卩是工-平甄内的转弼*通过豊柱丫方向的轟葩軸的挠度可却剧转轴哀迭式(2.46)正应竟利揀度之间的董慕可写暂2.5. Z本构方程(2,W封桁竦杆却的方程类也用于梁的虎克定臬为3 = Er2.5.S力矩利前力因为邛用在絮上的试商量横向的，在集的商載面上梅怖用看力更杆相应旳諒力男 一方面.如黑不作用横向

7、力*而只作用力矩梁炮会炭生穹曲图 11所示为舉上一 0松 度为Lr的小軌元律.这个单元律量到外力人、力嶽M八曹力Q和惯餐力pA?的倍周* 只中P足材料帝度山足橫戒面面袄.在赴的横載就上的力矩由分布的正应产田ZU袄度购址的果单元体*力矩和剪力由槃地掴戢閒上皓眩力II井碍到生.抽阳丸12所示.把式(2.47代人式UM9)就可求岀正应力即牡一屮ELa C2. 50)由上说可肛*出在黑的欖截面上丘应力口口摊垂直方槿fcfc性玺化由横倉面上的正应力 所产生的力矩可以通过战靈面上的面棋积分樹到”曲* dA) L(? b EI 丄u =芝丿 E 0 丫 f 2.门 I曙=-几工卄品(2, 55我们也命宴专恿

8、染的小单元悻对右面上的枉羸-点的为拒平嘗 dMc -Qdj+CA-AiHdi）1 =0 恕略二阶小量頊归尸就得剽2”岡駐席把式（*,sim人式（冬訂），碍到Q+ 57)方程2烏亦和他”门皓出了歇拉-他努和谜的光度与梁由力紀和酯力之闾的先系。2,5.4钠力学平期方用把方SC2.57）ft人也烏I）就谒到了聲的动力宁平衡方程耳器十阴 A类低的*可戌搁去方CL58中的直力项就得刮了St的静力学平费右程2 *板的方穆飞班的机翼有时可以視为承覺盛向就荷（肚屋动机誠其抱部醤的宝直）的按结构.如 圍2. 口曲加.極耳右与二维鞍flftlltl的几何輪怔加图乙H朋用，不阖的是ft用裡板 上的力垂直于板平面，扳

9、类惟于二戟槃，因此板会发生时曲，并产生宅方向的挠度它欧拉-伯努利梁理论Euler-Bernoulli梁理论（Shames and Dym , 1985）认为横截面在变形前和变形后都垂直于中心轴并不受任何应变 （也就是说其构型仍无缺的）。换句话说，翘曲和横向剪切变形的影响和横向正应变非常小，所以可以忽略不计。这些假设对细长梁是有效的。无横向剪切意 味着横截面的旋转只由挠曲引起。对于厚梁， 高频模态的激励，复合材料梁问题， 横向剪切不可以忽略。Euler-Bernoulli梁理论有两个假设：1）变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为 平面（刚性横截面假定）；2）变形后横截面的平面仍与变形后的轴线

10、相垂直。论坛上的：（不一定正确）关于弯曲刚度：即EI;弯曲刚度表示梁抵抗弯曲变形的能力数值方法表示梁的变形能力为 1/ pP表示梁发生变形时中性层的曲率半径， 几何及数字分析可有， 当梁中性层的曲率半径减小时就意味着梁的弯曲程度增大， 显然变形和中性层曲率半径成减函数关系， 换个说法，就是可以用1/ p表示梁的变形程度。而应变的几何表示方法为= y/ p（题外话：从这里可以想到我们计算时在工程软件中可以直接给出应力， 其实最原始的计算方法是先计算应变然后通过弹性模量计算应变的， 只是在力学发展的过程中， 大家都越过先计算应变这一步，而通过公式演变或者说推导直接给出应力公式， 为什么？因为我们工

11、程中往往关注材料应力，是最直观的评价梁受力合理性的方法。 ）y?计算点到中性轴的距离倒退分析，需要计算 p,曲率半径根据静力学和数学微分方程具体可见材料力学 p106页推出方程：1/ 尸 M/ （ EI）根据结构力学可以求解某截面内力 M。材料力学计算截面几何特性，梁的弹性模量已知应力求解迎刃而解 上面方程给我们的启示就是表征梁变形能力的抗弯刚度的数值化和物理理解。 同时P106页给我们一个很重要的理论分析：1、 中性轴垂直于荷载作用面的弯曲为平面弯曲；2、 梁平面弯曲时，若材料为线弹性，则中性轴为横截面的形心主轴。3、 反映在空间梁单元理论上，可以认为梁的形心连线是梁的中性层和纵向切面的交线

12、,建模时完全可以赋予以形心计算的截面特性，主要是 I值。关于铁木辛科梁：现在从钢结构上了解，认为适合于分析短粗梁， 考虑横截面弯曲，在ansys（即 Euler-Bernoulli Beam中就是beam188/189的第七自由度的打开，这样截面的翘曲系数才有用。我们工程中最常用的就是欧拉梁，就是最理想状态的梁结构。讨论：:Euler-Bernoulli梁理论的假设：1、 连续性：则各未知、已知量均可以用位置坐标的连续函数表示，从而数学与物理 有机结合起来；2、 完全弹性：即弹性常数 E、G、均与受力历史（时间）无关；3、 均匀性：材料常数与位置坐标无关；4、 各向同性：材料常数与方向无关；5、 小变形：各点弹性位移远远小于结构的几何尺寸，不用考虑几何非线性；6、 横截面刚性假设：即变形后横截面保持平面。:欧拉梁理论是假定梁轴的转角和截面的转角相等，梁中有剪应力（为了平衡的需要）。