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1、最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德 的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100 年后，牛顿和莱布尼兹开

2、辟了新的天地微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一 步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零； 第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项， 从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾焦点是：无穷小量是零还是非零？ 如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到 19 世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过 去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样 小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极 限

3、的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass 创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二 次数学危机基本解决。罗素在该悖论中所定义的集合 R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于 R 是集合，若R 含有自身作为元素，就有 RR，那么从集合的角度就有 R R。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要 R 有异于 R 的元素，又要 R 与 R 是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循 RR 的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素

4、悖论中所定义的一切 RR 的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R 也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上， 罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法， 其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓 ZF 公理系统），这场数学危机到此缓和下来。我们应该怎样看待这三次数

5、学危机呢？我认为数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到 较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后 仍然会这样。就拿悖论的出现来说，从某种意义上并不是什么坏事，它预示着更新的创造和光明，推进了科学的进程，我们应用辨证的观点去看待他。通过数学的发展史和这三次数学危机，我越来越感到 M克莱因教授著的一本书，是关于确定性的丧失，其中书中说道:数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是， 我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是 通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学 中，我们并没要求这样做。在物理学中所

6、有的定理都是假 设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常 这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变 更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。因此我们看问题的观念应该改变一下，数学是不确定性的。如果说“危机”是数学长河的主流，那数学史上一道 道悬而未解的难题、猜想，就是一朵朵美丽的浪花。费马 猜想，历经三百年，终于变成了费马定理；四色猜想，也 被计算机攻克。哥德巴赫猜想，已历经两个半世纪之多， 众多的数学家为之竞相奋斗，尽管陈景润跑在了最前面， 但最终的证明还是遥遥无期。更有庞加莱猜想、黎曼猜想、孪生素数猜想等?

7、，刺激着数学家的神经，等待着数学家 的挑战。天才的思想往往是超前的，在我们这些凡夫俗子眼中， 的确很难理解他们。但就是在这样的环境下，他们依然默默的坚守着自己的信念，执著着自己的理想。数学家们那种锲而不舍的精神是我们应该努力学习的，正是有了那种精神，他们才能坚守在自己的阵地上直到自己生命的最后一刻，这也许就是他们所认为的幸福。回想我们自身，什么才是我们所追求的呢？什么才是幸福呢？教师职业本身的内涵和学生的健康成长是我们应该追求的目标，享受职业内在的幸福要从做好自己的本职工作开始。浪花是美丽的，数学更是美丽的，英国数学家罗素说过：“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美一种冷峻严肃的美，即就像是

8、一尊雕塑?这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，他可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。”体会一：懂得历史：从欧几里得到牛顿的思想变迁 历史使人明智，数学史也不例外。古希腊的文明，数学是主要标志之一，其中欧几里得的几何原本闪耀着 理性的光辉，人们在欣赏和赞叹严密的逻辑体系的同时， 渐渐地把数学等同于逻辑，以“理性的封闭演绎”作为数 学的主要特征。跟我国古代数学巨著九章算术相对照， 就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东西方 数学的不同风格：几何原本以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，极少提及应用问题，以几何为主，略有一点算术内容，而九章算术则按问题的性质和

9、解法把全部内容分类编排，以解应用问题为主，包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。但是在近代数学史上，以牛顿为代表的数学巨人冲破了“数学=逻辑演绎”的公式， 创造地发明了微积分。从中我们可以认识到欧几里得的几何学具有严密的逻辑演绎思维模式，牛顿的微积分具有开放的实践创造思维模式。在我们的学习中同样需要兼顾严密的逻辑演绎思维与开放的实践创造思维。体会二：激发精神：数学大师的执着、爱国学过数学的人应该都知道勾股定理吧！那你知道是谁最早发现的吗？在西方的文献中一直把勾股定理称作毕达 哥拉斯定理。他是希腊论证数学的另一位祖师，并精于哲 学、数学、天文学、音乐理论；他创立的毕达哥拉斯学派 把数学

10、当作一种思想来追求，去追求永恒的真理。你知道 被国际公认为“东方第一几何学家”的人谁吗？当我们学 校组织高一段的同学去平阳春游，参观了苏步青的故居后， 这个谜团才得以解决。而且对苏步青有了进一步的了解， 从他身上发现爱国情怀尤其突出，如在极端恶劣的条件下毅然回国，并以严谨的治学态度、宽厚仁慈的胸怀、苦心孤诣的钻研精神激励着学生，于是才有了潘承洞、王元、陈景润等对哥德巴赫猜想的突出贡献，才有了我国在国际奥林匹克数学竞赛上的一枚枚金牌。体会三：掌握学法：学习之道在于悟例如，做菜，用同样的材料和调味品，为什么大厨做出来的就比你做出来的好吃？材料都是一样的啊！这说明 除材料外，还有一个东西在起作用就是

11、在做菜的过程 中，如何搭配材料，材料的使用顺序，何时使用材料，如 何把握火候等。这些东西在起作用。同理数学知识分为两类：一类是陈述性知识（或者说明性知识），是关于事实本身的知识，例如定义、定理、公理、概念、性质、法则、 运算律等等，是关于是什么的一类知识；另一类是程序性 知识，指怎样进行认识活动的知识。陈述性知识可通过说 明、解释、举例等方式达到理解，是可传授的，易掌握的， 通过训练是能够牢固掌握的。程序性知识更多地体现在经 验，可传授性差，要靠体验、意会和悟性，而体验是要在 过程中生成的，需要逐步积累的。数学学习的特点给我们 两点启示：、程序性知识比陈述性知识更为重要。（为什么不会解题的原因

12、）2、程序性知识的学习要在应用过程中揣摩，陈述性知识要在训练中加深理解和掌握。体会四：更新理念：大胆猜想，小心求证在数学史中，有这样一个游戏：汉诺塔游戏。以上的游戏体现了数学中的探索、推理、归纳的思想，合情推理是创新思维的火花，操作探究是创新的基本技能。当面临错综复杂的实际问题时，应能自觉运用数学的思维方式（退到简单入手）去观察和思考问题，并努力寻求用数学解决问题的办法（寻找递推关系）。这种思考方式在解题中非常重要，又如谢宾斯基三角形与雪花曲线：以上是我在学习数学史后的总结，在学习过程中， 我们体会到数学的发展并非一帆风顺，它是众多数学先贤前赴后继、辛勤耕耘的奋斗过程，也是克服困难、战胜危机的

13、斗争过程。了解数学史，对于我们把握数学知识之间的关系和联系，领会数学知识所内含的数学思想方法大有好处。你知道毕达哥拉斯何许人？这些问题让我们学了十几年数学的学生不知所答， 但随着上学期对数学史进行整合学习，对这些问题逐渐明朗与了解。发现数学的发展伴随着人类的发展，上下五千年的人类文明蕴藏着十分丰富的数学史料。通过学习让我们更加深入地了解数学的发展历程， 历经数学萌芽期、初等数学时期、变量数学时期、近代数学时期、现代数学时期，这如同胎儿的发育过程，大体要经过从单细胞生物到人类的进化过程，要经过类似原生动物、腔肠动物、脊椎动物、灵长类等各阶 段，最后才长成人类的样子。作为人类智慧的结晶， 数学不仅

14、是人类文化的重要组成部分， 而且始终是推 动人类文明进步的重要力量。在数学那漫漫长河中，三次数学危机掀起的巨浪， 真正体现了数学长河般雄壮的气势。第一次危机发生在公元前 580568 年之间的古希 腊， 数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数， 而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑

15、推理发现，边长为 1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死， 这就是第一次数学危机。最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三、学习数学史的心得体会篇二：数学史心得体会 2学习数学史的心得体会学院：数学与信息科学专业：数学与应用数学姓名： 张小胤学习数学史对每一位数学工作者来讲都具有非常重要的意义，尤其是对于我们以后要从事数学知识的传播的人。我认为学习数学史的意义主要有以下三点：一、每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的

16、科学，既有其历史性又有其现实性。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路。多了解一些数学史知识， 同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。二、“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言， 数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自 然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分 有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，

17、是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。三、当我学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于 17 世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是 17、18 世纪的高等数学。这些数学教材已经过千锤百炼，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因

18、此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。通过对数学史的学习，可以激发学生的学习兴趣， 也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。篇三：学习心得 1重拾梦想，超越自己国培学习体会我很荣幸能参加这次为期 15 天的 XX 年国培小学数学学科培训班，转眼间一周过去了，回想这一周的学习，有很多的感想和收获。一、 重

19、拾梦想。生活在繁杂的城市，每天奔波于学校和家之间，忙于琐碎的事情，几乎没有时间坐下来静静的反思自己，这次学习离开了学校，离开了家，每天学完后有更多的时间反思自己，忙碌的生活中仿佛已经忘记了自己当年踏上讲台时的誓言，更多的是工作中的恨铁不成钢、满腹怨言、得过且过。通过聆听西安市纺织城小学郝振华老师的“骨干教师的成长之路”让我明白一个专家型教师的发展成长之路，对照分析后，我知道了自己从教 13 年为什么没有成为专家型教师，工作中疏于研究、没有明确的目标，反思写作不够，在今后的工作中我将努力寻找自己的特色，制定近期和长期发展目标，舍得付出，正如老师所说：“瀑布美，那是江河走投无路时创下的奇迹”，对自

20、己严格要求，多一些努力、多一些渴望，默默成长，永不言放弃。二、 对中国数学发展史有了系统的认识。自己虽然教了 13 年的小学数学，但对中国数学发展的历史，及每个时期的主要成果了解不够，通过聆听西北大学数学系主任曲安京教授的讲座，我了解到中国古代数学发展有 5 个时期，刘徽、祖氏父子、秦九韶等数学家痴迷于数学，坚持不懈的探索精神，真是值得我们学习；九章算术、周髀算经、缉古算经等数学著作，对最大公约数、最小公倍数、鸡兔同笼等问题的讲解是那么巧妙，不得不佩服古人的智慧，也为自己多年来没有阅读这些著作感到遗憾， 回去后一定要通读这些让中国人骄傲的数学著作。三、 教学中有了理论的支撑。小学教师，实践经验有，但缺乏理论学习，平时只是按照自己的经验做，听了未央区崔建利老师“关注数学学科素养”后，把自己零散的认识系统化了，知道了一些数学思想，特别是几个重要的数学思想，如：抽象思想、推理思想、模型思想、转化思想、数形结合思想、极限思想等，有了这些理论的支撑，我相信自己将来的教学会更适合学生的发展。总之，这一周学到了很多数学方面的知识，也能及时反思自己，对自己的未来有了新的认识，期待后面更精彩的课程。XX 年国培小学数学班XX 年 12 月 27 日