线性常微分方程的若干初等解法探讨数学毕业论文Word文档下载推荐.docx

1、y（1 - xy2）dx = xdy.解方程变形为- xy令z二y，dx x则 主一 2y或；dx dx代入变形方程为： 空2x-空；利用常数变易法，其中p（x） 2,q（x） 2x;x2则它的通解为 zZ .弓；2 x代回原来的变量y，得到一 x c,；y 2 x此外，方程还有解常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐 次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶 线性微分方程21和线性微分方程组时就显出了它的优越性， 变易常数思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程（如贝努利方程， 黎卡提方程）3】也可使用常数变易法求解，并且常数变易法在数学分 析中有很

2、多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献 411.1.3积分因子法把一阶线性微分方程 dy二P（x）y Q（x） （1 ）改写为如下的对称形 dx式：dy P（x）ydx=Q（x）dx （2），一般而言，（2）不是恰当方程，但以因子M（ x）1 s2 2 2（1 s2）1 s2 -1x（s） 2 2 ,2（1 +s2）2由于 tcostd s2 ,（1+s2）2 ?故所求初值解为x（t） 一 _ltcost.当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的 右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的 一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.233幕级数解法幕级数解法

3、待定的是级数的系数，因而通常计算较大，其实幕级 数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方 程，也能求其特解或通解.二阶线性方程po（x）y p!（x）y P2（x）y =0.在近代物理学以及工程 技术中有着很广泛的应用，其中幕级数解法不但对于求解方程有意 义，而且还由此引出了很多新的超越函数，在理论上是很重要的 .下来给出两个定理，若要了解定理证明过程，可参考有关书籍10 定理1如果pogpdx）, P2（x）在某点xo的邻域内解析，即它们可展成 X-X。的幕级数，且 po（xo）=O，则 po（x）y Fi（x）y p2（x）y = 0的解在 xqQ的邻域内也能展开成为（x

4、-Xo）的幕级数 y an（x-Xo）n.n=0定理2如果Po（x）, Pi（x）, P2（x）在Xo的邻域内解析，而Xo为Po（x）的s重零点，是Pi（x）的不低于s-1重的零点，（若s = 1），是P2（X）的不低于s-2重的零点，（若SA2 ），贝y方程COPo（x）y P1（x）y P2（x）y=o 至少有一个形如 y=（x-Xo）f an（x-x）n 的广n=o义幕级数解，其中r为某一实数.若要了解幕级数的详细解法可以参考常微分方程，这里不做具 体分析.总之，不同的方法用于不同类型的方程，这是应用之时必须特 别注意之点.参考文献1朱思铭，王寿松等常微分方程M.北京：高等教育出版社.2

5、006（3） :126-129.2汤光宋，余复民.应用交换变量位置法解两类一阶常微分方程J.兰州工业 高等专科学校学报.1996,（1）:20-25.3焦洪田.一阶非线性微分方程的常数变易法J.雁北师范学院学报.1999（6）： 44-45.4周斌.常数变易法在数学分析中的应用 J.内江师范学院学报.2003,18（4） :56-58.5曹玉平.一阶线性变系数微分方程组的矩阵解法 J.河北理工学院学报.2005（ 2）.阮炯.差分方程和常微分方程M.上海：复旦大学出版社.2007:39-90.7黄雪燕.常微分方程的化归思想J.长春师范学院学报.2007,26（04）:24-26.8李鸿祥.对“关于y py q Aeax的特解” 一文的意见J.高等数学研究.2007 ，9（ 03）:55.9刘林平.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 J.内蒙古农业大学学报.2006,27 （ 04）:157-159.10黄启昌，任永泰，陈秀东等.常微分方程M.东北师范大学数学系微分方程教研室编.人民教育出版社.2008:173-180.Ordinary Differential Equation of Elementary Method of Clas