西南大学2019秋[0158]《高等代数》在线作业答案Word文档格式.docx

1、叙述下列概念参考答案：高等代数第一次作业参考答案1. 数域 P 上多项式 p（x）在 P 上不可约。答：p（x）为数域 P 上多项式， （ p（x）1，如果 p（x） 不能表成数域 P 上两个次数比 p（x） 的次数低上不可约多项式。2. 数域 P 上 n 维向量组 1 , 2 , m 线性相关。, kmP若存在不全为零的数k1 ,k2 ,，使得k1 1k2 20 ，则称向量组 1 , 2 ,kmm,3. 数域 P 上 n 维向量组 1 , 2 , m 的秩。向量组 1 ,2 , m 的极大无关组所含向量的个数称为 1 ,2 , m 的秩。4. 矩阵 A 可逆。设 A 为 n 阶方阵，若存在

2、n 阶方阵 B，使得则称 A 是可逆的，也称 A 为可逆矩阵。5. 线性空间 V 的维数ABBAE ，设V 为 P 上线性空间，若在V 中有 n 个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，n。6. 线性空间 V 的线性变换。 设 V 为 P 上线性空间，A 为 V 的变换，满足（1）对任何 ,V ，有 A （） = A（） +A （ ）；（2）对任何kP,V ， 有 A （k） = kA（ ） 。则称 A 为 V 的线性变换。12、高等代数第二次作业.doc参考答案：计 算 题 1 设 f （x） 解：由算式4x 33x 22x 1 ， g （x）x 28x 25x22xx 2 12x

3、10x 10x高等代数第二次作业参考答案3 为有理数域上的多项式，求 g（x）除 f（x）的商式 q（2x34x33x 22x14x51516得q（x）4x5 ， r（ x）16 。2. 计算下面行列式的值：（1） D=c ba11ab；cbac解：将第 2 行加到第 3 行，则新行列式的 1，3 行成比例，所以 D= 0 。（2） Dn=01L110L1 。L L L L11L0将第 2，3，n 行都加到第 1 行，并从第 1 行提公因子（n1） 得1L1将第 1 行的（-1）倍分别加到第 2，3，n 行得Dn=1（n 1）L0L1 ，L L L1L0所 以 Dn= （1）n 1 （n1）

4、。Dn=（n 1） 01L11 L0 ，LLL0L13. 设 A=110011102，试判断 A 是否可逆，若可逆，则求出 A1 。因为 A10 ，所以 A 可逆。计算 A 中各元素的代数余子式可得 A 的伴随矩阵为A221121，111所以 A 11 AA221121。4. 设 1的秩。（1,0,2,3） ， 2（0,1,5,0） ， 3（3,2,0,4） ， 4（1,1,7,3） 为 F4 中一个向量组，求该向量组解 ： 以 1 , 2 , 3 ,4 为列向量构成矩阵3274A，对 A 做初等行变换可化为，于是 1 , 2 , 3 为一个极大线性无关组，并且向量组的秩为 3。5. 设 VP

5、3 ，（1,0,0）, 2（1,1,0）, 3（1,1,1） ，1（0,0,1）, 2（0,1,1）, 3求由基1 , 2 ,3 到基3 的过渡矩阵。 观察可得10 123 ，210 23 。30 1023 。所以由基3 的过渡矩阵为01 0100 。6. 求下面的齐次线性方程组的一个基础解系x1x2x5x30 。x4所以一般解为：x3x2x5 x5，其中 x2 , x5 是自由未知数。基础解系为： 1x40（ 1,1,0,0,0）, 2（ 1,0, 1,0,1） 。13、高等代数第三次作业.doc高等代数第三次作业参考答案证明题1. 设 VPn n 是数域 P 上全体 n 阶方阵关于矩阵加法

6、及数与矩阵的数乘构成的线性明： W 是 V 的子空间。证明： 由于 n 阶零矩阵在 W 中， 所以 W 是 V 的非空子集。对A, BW ， 有 Tr（ AB）Tr（ A）Tr（B）0 ， 所以 ABW 。对kP,A W ， 有 Tr （kA）kTr（ A）0 ， 所以 kA W 。所以 W 是 V 的子空间。2. 设向量组1 ,2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 ,4 线性无关，证明：（1） ）1 可由 2 , 3 线性表示；（2） ）4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示。（ 1 ）由2 , 3 ,线性表示。4 线性无关知，其部分组2 ,3 线性无关；由于1 ,2 , 3 线性相关

7、，而 2（ 2 ） 若4 能 由 1 ,盾。2 , 3 线性表示， 由于（1）1 可由2 ,3 线性表示， 则4 能由2 ,3 线性3. 设 A 为 n 阶矩阵，A 的秩R（ A）n 。证明存在 n 阶非零矩阵 B 使 AB0。 因为 A 的秩 R（ A）n ，所以齐次线性方程组 AX = 0 有非零解。令为一个非零解，做 n 阶矩阵B（ ,0,0） ，则 AB0，且 B 为零矩阵。4. 设向量组1 ,2 , 3 线性无关，证明：向量组 12 , 22 3 , 33 1 线性无关。 设 k1 （12 ）k2 （ 22 3 ）k3 （ 33 1 ）0 ，则（k13k3 ） 1（k1k2 ） 2（2k2k3 ） 30由于1 , 2 , 3 线性无关， 所以k1 k1 2k23k30k20k30所以 k10,k20,k30 ， 所以12 , 23 1 线性无关。