四边形添加辅助线Word格式.docx

1、 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.1、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.利用一组对边平行且相等构造平行四边形利用两组对边平行构造平行四边形利用对角线互相平分构造平行四边形2、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 作菱形的高；连结菱形的对角线.3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：. 计算型题，一般通

2、过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.4、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.5、与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（

3、5）作两腰的平行线等.三 、圆1遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用： 利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。2遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3遇到90度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。利用圆周角的性质，可得到直径。4遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。5遇到有

4、切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6遇到证明某一直线是圆的切线时 （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。若OA=r，则l为切线。 （2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OAl，则l为切线。 （3） 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系； 垂直关系； 全等、相似三角形。8遇到三角

5、形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等。9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点外心到三角形各顶点的距离相等。10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。11遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质； 垂径定理。12遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。

6、 利用连心线性质； 切线性质等。13遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。可利用连心线性质。14遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。 作用：以便利用圆的性质。例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证B

7、F=AC.分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.二、和菱形有关的辅助线的作法 例4 如图5，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.要利用已知条件，因为矩形ABCD

8、，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交

9、AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。例3如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。3、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积例

10、5如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。例7如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。例10如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。例11、在等腰梯形ABCD中，AD

11、/BC，AB=CD，ABC=60，AD=3cm，BC=5cm，求：（1）腰AB的长；（2）梯形ABCD的面积例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。例13如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90ABCD=AD。例14如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2）。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？例17、已知：梯形ABCD中，AD/BC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积