解三角形知识点汇总和典型例题Word文档格式.docx

1、在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍a2 = b2 + c2 2bccosA； b2 = c2 + a2 2 2 22cacosB; c = a + b 2abcosG3 三角形的面积公式：（1） s = ；aha = 1 bhb= ：chc （ha、hb、he分别 表示a、b、c上的高）；（2） s = ；absin C= ；bcsin A= ；acsin B；4解三角形：由三角形的六个元素（即三条 边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个 是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广

2、义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、 中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、 面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他 边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和 其他两角5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上 述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在 ABC中，A+B+C=n , 所以 sin（A+B）=sinC ; cos（A+B）= cosC; tan（A+B）= tanC。sin 口 =c

3、osC,cos卩 5C；2 2 2 2 ?（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定 理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题， 写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意 义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例 1.（ 1 ）在 ABC 中,已知 A=32.0，B=81.8，a=42.9cm，解三角形；（2）在 ABC 中，已矢口 a=20CnTj b=28Cm, A=40 , I 解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）

4、解：（1）根据三角形内角和定理，C=180_（A + B） =180（32.0+81.8） =66.20 ;根据正弦定理,asinB 42.9sin81.80 _ 、.b.八 0 吒80.1（cm）；si nA sin 32.00 asinC 42.9sin66.20 升 仃、 b 八 一- 74.1（cm）.si nA si n32.0（2）根据正弦定理，sinB空響上警0.8999. 因为 00 V B V 1800，所以 B 640，或 B 1160.当 B640 时, C=180 （A+B）切80 （400 + 64）=76当B 1160时，CWOjA + BroJMlI6,24。，*

5、霊=儒*13（cm）.点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其 中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例 2 在：ABC 中,sin A cosA 二;,AC = 2 , AB =3 ,求 tanA的值和- ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角 A的值。匸 sin A +cosA = J2 cos（A 一452 ABsi nA = 汇 2 工 3过圧十= （V2 + V6）。 ： 2 2 4 4sin A cos A 的值。sin A cos A =中小学1对1课外辅导专家2 1.（sin A cosA）1 .2sin

6、 AcosA =:0 : A : 180, sin A 0,cos A ： 0.1另解（sin2A=-）（si n Acos A）2 =1 2s in AcosA =号,.sinAcosA+得sinA二4一得cosA- 6。从而 tanA = sinA2 6 4 23。cosA 4 J2 _J6以下解法略去。本小题主要考查三角恒等变形、三角 形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力， 是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你 认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3.在厶ABC中, a、b、c分别是/ A、Z B Z C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2

7、c2=ac bc，求Z A的大小及 逊B的值。c分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，c成等比数列，二b2=ac。 b2+c2 a2=bc。由余弦定理得：要求/ A需找/A与三边的关系，故可用余弦定 理。由b2=ac可变形为：=a，再用正弦定理可求 bsinB的值。 a、b、又 a2 c2=ac bc,在 ABC中,COSA=b2 c2 _a2 =竺=1 ,2bc 2bc 2 ?b2=ac,/ A=60解法二：由面积公式得bcsin A=； acsin B。T b2=ac,/ A=60, bcsin A=b2sin B。.bsinB =sin A= 3。c 2评述：解三角形时，找三边一角之

8、间的关系 常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦 定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例 4.在 ABC中，若 2cosBsin A= sinC，则 ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin AcosB = sin C =sin （ A+ B） =si nAcosB+cosAsi nBsin （A B）= 0,. A= B另解：角化边本题考查了三角形的基本性质，要求 通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向， 通畅解题途径 题型5:三角形中求值问题例5. ABC的三个内角为A、B、C ,求当A为何 值时，cosA 2co

9、sB2C取得最大值，并求出这个最大 值。由A+B+Cn，得B+C=2 A,所以有B+C A cos 2 =sin 2。B+C A 2AcosA+2cos 2 =cosA+2sin ? =1 2sin ? +1 n B+2，即卩 A=3 时,cosA+2cos ?当 sin A =3得最大值为3。运用三角恒等式简化三角因式最终转 化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函 数的性质求得结果。题型6:正余弦定理的实际应用例6. （2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在 同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛 上的两座灯塔的塔顶。测量船 于水面A处测得B点和D点的 仰角分别为75, 30

10、，于水面 C处测得B点和D点的仰角均为60, AC=0.1km试探究图中B, D间距离与另外哪两点间距离相等，然后 求B, D的距离（计算结果精确到 0.01km，2 1.414 ,、6 2.449）解:在厶ABC中，/ DAC=30 , / ADC=60 / DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 60 60 =60,故CB是ACAC底边AD的中垂线，所以BD=BA 在厶 ABC中,AB AC ACsin60 =迈 +/6sin NBCA 一 sinNABC 即 AB 20 ，因此，BD韭磐J33km。故B, D的距离约为0.33km。解三角形等内容提到高中来学习，又近

11、年 加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降 低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展， 但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻 理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C =n求C,由正弦定理求a、b;（2） 已知两边和夹角（如 a、b、c），应用 余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C= n,求另一角；（3） 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、 A）,应用正弦定理求B,由A+B+C= n求C,再 由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有 多种情况；（4）已知三边a

12、、b、c,应余弦定理求 A B, 再由A+B+C= n，求角Co2三角学中的射影定理：在 ABC中，b = a cosC c cos A，3 .两内角与其正弦值：A B二 sinA ：sinB，4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解 的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理 及几何作图来帮助理解” 。三、课后跟踪训练1. （2010上海文数18.）若厶ABC的三个内角满 足（ ）（B） 一定是sin A:sin B :sinC =5:11:13，则 ABC （A） 定是锐角三角形.直角三角形.（C） 一定是钝角三角形. （D） 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形由sin A:sin B:

13、si nC = 5:13及正弦定理得a:b:c=5:13由余弦定理得coscf，所以角C为钝 角2. （2010天津理数7）在厶ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 a2-b23bc， sin C=2 3si nB， 则 A=（）（A）300 （ B）600 （ C）1200 （ D）1500【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基 本应用，属于中等题。由正弦定理得c =2b=c=23b2R 2RA=3C0【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、 余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. （ 2010湖北理数）3.在abc中，a=15,b=10,A=60。

14、，贝V cosb =A 22 B 2 2 c 6 D 63 3 3 3【答案】D【解析】根据正弦定理-冬可得嘉=-气解 si nA si nB si n60 si nB得sinB=：，又因为b*：a，则B，：A，故B为锐角，所以 cosB = 1 sin? B = f，故 D 正确.4.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若 a=1,b=0A+C=2B贝V sinC=解：由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180 知,B =60.由正弦定理知，品估=鲁，即前人三由ab 知，A : B =60，则 A =30；C =180 -A-B =180

15、-30 -60=90餐 sinC = sin90=15（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BCB=2A,则ACcos A的值等于 , AC的取值范围为解析 设A八,=B = 2.由正弦定理得由锐角 ABC得0 : 290匕0川:45, 又 0：180：-3八：90= 30 60 ,故31 4 #5撐,.AC 二 2cos v （、2, 3）.6. （2009全国卷I理）在aabc中，内角 A B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且 sin AcosC = 3cosAsinC, 求 b此题事实上比较简单，但考生反应不知 从何入手.对已知条件（1） a2 - c2 = 2b左侧

16、是二次 的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好 处理，而对已知条件（2） sin AcosC = 3cosAsinC,过多 的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生 还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不 到突破口而失分.解法：在MBC中则：sin AcosC =3cos AsinC,由正弦定理（角化边）化简并整理得：2（a2c2）=b2.又由已知a -c =2b”4b = b2.角军彳得b =4或b =0（舍）.7 在 ABC中，已知 A B C成等差数列，求的值tan A+tan C tan tan C2 2 2 2因为A B C成等差数列，又A+ B+C= 180,所以 A+ C=

17、120从而A2C = 60,故tan3.由两角和的A C正切公式，得tan 2 tan2 3。4 + A, C1 -ta nta n2 2所以 tanA+tanl-ta-Atanl,A C ACtan tan .3tan tan 3。在三角函数求值问题中的解题思路，亠般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求 解，同时结合三角变换公式的逆用。a、b c，且8. （ 2009四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为 sin A=,sin B =亟 5 10（I ）求 A B 的值；（II ）若 a-bi2-1 ,求 a、b、c 的值。解（I）T A、B 为锐角，sin A=f

18、,s in B =普5 10cosA =曲战=晋,co心五二鬻cos（A B） =cosAcosB-sin Asin B =2 5 3 心 5 E 20 A B :二5 10 5 10 231A B =（II ）由（I ） 知 C0，二 sin4， 2由 得si nA sin B si nC.5a = .10b = 2c，即 a = 2b,c = 5b 又* a 一 b = . 2 一1、2b b21 b = 1 a = i.2,c = * 59. （2010陕西文数17）（本小题满分12分）在厶ABC中，已知B=45 ,D是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6求 AB的长.解在

19、 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos 三 AD2 +DC2 -AC2 =100 +36-196 12ADLDC 2X10X6 - 2 1ADB=60，ADC=120 , ADB=60 在厶 ABD中, AD=10, B=45由正弦定理得急囉sin B10. （ 2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且 2asin A = （2b c）sin B （2c b）sin C（I）求A的大小；（D） 若 sin B+s in C =1，试判断 MBC 的形状.（I）由已知，根据正弦定理得2a2 =（2b c）b （2c

20、 b）c即 a2 = b2 c2 bc由余弦定理得a2 =b2 c2 -2bccosA故 cosA = 1, A =120（H）由（I）得 sin2 A = sin2 B+sin2C +sinBsinC.又 sin B sinC =1，得 sinB = sinC因为 0 : B : 90 ,0 : C 90 ,故 B =C 所以 ABC11. （2010辽宁理数）（仃）（本小题满分12分） 在厶ABC中, a, b, c 分别为内角A, B, C的对 边，且2asin A 二（2a c）sin B （2c b）sin C.（H）求sinB sinC的最大值.（I ）由已知，根据正弦定理得 2a2 二（2b c）b （2c b）c由余弦定理得 a2 = b2 c2 一 2bccosA故 cosA=A=120 （U）由（I）得：sin B sin C =sin B sin（60 - B）3 1cosB 亠一sinB二si n（60 B）故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1教导主任签名: