零阶保持器.ppt

1、第七章 采样数据控制系统分析,7.1 概 述,一、采样控制系统 采样控制系统，又称断续控制系统、离散控制系统，它是建立在采样信号基础上的。如果控制系统中有一处或几处信号是断续的脉冲或数码，则这样的系统称为离散系统。通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统；而把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。,采用采样控制：,工业炉的温度自动控制系统的框图：,二、数字控制系统,数字控制系统是一种以数字计算机或微处理器控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，数字控制系统包括工作于离散状态下的数字计算机或微处理器和工作于连续状态下的被控对象两大部分。,

2、三、研究方法,主要阐述采样系统所必要的数学基础和基本原理。首先建立信号采样与复现过程的数学表达式；介绍 Z 变换理论和脉冲传递函数；讨论采样系统的稳定性、稳态误差；分析系统的极点分布与瞬态响应之间的关系。,7.2 信号的采样与保持,一、采样过程,把连续信号转换成离散信号的过程，叫作采样过程。,实现采样的装置叫作采样开关或采样器。,为两个单位阶跃函数之差，表示一个在 kT 时刻，高度为1，宽度为，面积为 的矩形。,将持续时间 移至和式外,取采样过程的数学描述为,或写作,式中 T(t)称为单位理想脉冲序列，而 e*(t)即为加权理想脉冲序列。,采样过程的物理意义：采样过程可以看作是单位理想脉冲串

3、T(t)被输入信号e(t)进行幅值调制的过程，其中 T(t)为载波信号，e(t)为调制信号，采样开关为幅值调制器,其输出为理想脉冲序列 e*(t)。,二、采样定理,采样过程中信号频谱的变化。,是一个周期函数，将其展开成傅里叶级数：,式中 称为系统的采样角频率。,系数,上式两边取拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理，得到,如果 E*(j)没有右半平面的极点，则令 s=j，得到,(a)连续信号e(t)的频谱,(b),(c),如果对一个具有有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率满足时，则由采样得到的离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号，这就是采样定理，也称为香农(Shannon)定理。,物理意义：

4、如果选择这样一个采样角频率，使得对连续信号中所含的最高频率信号来说，能做到在其一个周期内采样两次以上，则在经采样所获得的离散信号中将包含连续信号的全部信息。反之，如果采样次数太少，就做不到无失真地再现原连续信号。,三、采样周期的选择,采样周期选得越小，即采样角频率越高，对控制过程的 信息获得的便越多，控制效果也会也好；采样周期选得过小，将增加不必要的数据处理负担；一般的工业过程控制，采样周期在 120 s 范围内选择；,对于伺服控制系统，采样角频率可选为闭环系统的频带宽度b或开环系统的穿越频率c的10倍，即 从时域性能指标来看：或,四、信号的再现和保持器,把采样信号转变为连续信号的过程，称为信

5、号再现。,用于转换过程的装置，称为保持器。,从数学意义上说，保持器的功能是解决各采样点之间的插值问题。,实际上，保持器是具有外推功能的元件。,具有常值外推功能的保持器，称为零阶保持器。,零阶保持器的作用是使采样信号e*(t)每一采样瞬时的值e(kT)一直保持到下一个采样瞬时e(k+1)T，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。由于处在每个采样区间内的信号值为常数，其导数为零，故称为零阶保持器。,保持器的传递函数和频率特性:,零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1、宽度为 T 的矩形波gh(t)，称为脉冲过渡函数。,由于,其拉氏变换,用 j 代替 s，得到频率特性,因为，所以,零阶保持器

6、的频率特性：,信号的采样与保持过程,7.3 Z变换与Z 反变换,一、Z 变换,采样信号的数学表达式,进行拉氏变换,引入一个新的复变量,z 是用复数z平面来定义的一个新变量,Z 变换的定义式,记作,也可以写为,将定义式展开,一般项的物理意义:e(kT)表征采样脉冲的幅值，z 的幂级数表征采样脉冲出现的时刻。,二、典型信号的 z 变换,1.单位脉冲函数：,设e(t)=(t)，所以有,2.单位阶跃信号：,设e(t)=1(t)，则,3.单位理想脉冲序列：,设，则,阶跃信号采样后与单位理想脉冲串是一样的，而Z变换是对采样点上的信息有效，只要e*(t)相同，E(z)就相同。,4.单位斜坡信号：,上式两边对

7、 z 求导数，并将和式与导数交换，得,两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的 Z 变换,设e(t)=t，则,5.指数函数：,设 e(t)=e-at(a 为实常数)，则,6.正弦信号：,设 e(t)=sin t，因为,所以,7.设，求 e*(t)的 Z 变换。,将 E(s)进行部分分式展开,再求其拉氏反变换,三、Z 变换的基本定理,线性定理 若已知 e1(t)和 e2(t)的Z 变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1和a2为常数。则有,证明：由Z变换的定义,2.实数位移定理 若 e(t)的 Z 变换为 E(z)，则有,实数位移定理表明：函数在时域内延迟n个采样周期时，反映在Z域内，它的Z变换函数

8、乘以z-n；函数在时域内超前n个采样周期，只要满足0k(n-1)时，e(kT)=0，则在Z域内，它表现为Z变换函数乘上zn,否则必须将从k=0到k=n-1的初始值减去后，再乘上zn。,证明：,(1),由于 j0 时，e(jT)=0，所以和式下标取值从 j=0 开始，有,首先考虑 n=1 时,(2),同理，当 n=2 时，有,以此类推有,例 试用实数位移定理，计算延迟一个采样周期的指数函数e-(t-T)的Z变换。,解：根据实数位移定理,从Z变换表中查得，代入上式得,3.复数位移定理,若已知 e(t)的Z变换为 E(z)，则有,式中a 为常数。,复数位移定理是仿照拉氏变换的复数位移定理导出的，其含

9、义是函数e*(t)乘以指数序列eakT的Z变换，就等于在e*(t)的Z变换表达式E(z)中，以zeakT取代原算子z。,证明：根据Z变换定义,令，则,例 利用复数位移定理计算函数e-atsin t的Z变换。,解：由Z变换表查得sin t的Z变换为,由复数定理，得,4.Z域微分定理,若e(t)的Z 变换为 E(z)，则,证明：由于,将上式两边对z求导数，得,变换导数与和式的次序,所以,例 利用Z域微分定理求单位斜坡函数t1(t)的Z变换。,证明：只要对阶跃函数的 Z 变换求导数再乘上-Tz，即,5.Z 域尺度定理,若已知 e(t)的 Z 变换为 E(z)则,证明：因为,例 试求k cos t 的

10、 Z 变换。,解：由 Z 变换表,6.初值定理,若已知 e(t)的 Z 变换为 E(z)，并有 存在，则,证明：因为,所以,7.终值定理,若e(t)的Z变换为E(z)，且E(z)在Z平面的单位圆上除1之外没有极点，在单位圆外解析，则,证明：由实数位移定理,两边取极限，并由Z变换定义有,所以,四、Z反变换,从 z 域函数 E(z)，求时域函数 e*(t)，称作 Z反变换。,记作,1.部分分式展开法,部分分式展开法是将E(z)展成若干个分式和的形式，而每一个分式可通过表4-1查出所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样函数e*(t)。,例 已知 Z 变换函数,试求其 Z 反变换。,解：首先将 E

11、(z)/z 展开成部分分式,所以,查表7-1有,所以,2.幂级数法(综合除法),通常 E(z)是 z 的多项式，即,用分母除分子并将商按 z-1 的升幂排列,这是 Z 变换的定义式形式，其系数 ck(k=0,1,2,)就是 e(t)在采样时刻 t=kT 时刻的值 e(kT)。,应用综合除法,解：,例 已知 试用综合除法求其 Z 反变换。,所以,3.反演积分法(留数法),已知 e(t)的Z变换为E(z)，则可以证明，e(t)在t=kT时刻的采样函数可由下面的反演积分计算：,其中表示包围 E(z)zk-1 全部极点的封闭曲线，根据复变函数的柯西定理，上式可以写为,即,式中，m E(z)中彼此不相同

12、的极点个数；zi E(z)的极点，i=1,2,m；ri 重极点 zi 的的个数。,由 e(kT)可写出对应的原函数脉冲序列，即,解：,所以,例 已知，试用反演积分法求 e*(t)。,一、脉冲传递函数的定义,开环采样控制系统如图所示，如果输入信号为r(t)，采样后信号r*(t)的Z变换为R(z)，连续部分输出为c(t)，采样后c*(t)的Z变换为C(z)。,7.4 脉冲传递函数,若初始条件为零，则脉冲传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，用G(z)表示,零初始条件：指在 t0 时，输入脉冲序列各采样值r(-T)，r(-2T)，以及输出脉冲序列各采样值c(-T)，c(-2T

13、)，均为零。,作Z反变换得,如果已知系统的脉冲传递函数G(z)及输入信号的Z变换R(z)，那么就可得到输出采样信号的Z变换式,求解输出采样信号c*(t)的关键在于怎样求出系统的脉冲传递函数G(z)。但是对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t)，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样以相同的周期同步工作。,系统在单位理想脉冲输入r(t)=(t)作用下的响应，称为单位脉冲响应，也称脉冲过渡函数。,二、开环系统(或环节)的脉冲传递函数,1.脉冲响应函数(Impulse-response function),如果,或,又,所以,由上式给出

14、的拉氏反变换就称为脉冲响应函数，即,若,则,也称为系统的加权函数,因此，传递函数与线性时不变系统的脉冲响应函数包含着相同的系统动态信息。以单位脉冲作用于系统，根据测定系统的脉冲响应函数，就可以求得被测系统的传递函数。,当初始条件为零时，脉冲响应函数g(t)就是单位脉冲输入时线性系统的响应。,2.脉冲传递函数的推导,如果在G(s)上输入的是(t-a),即单位脉冲延迟到t=a时刻才加上，那么输出信号也相应地延迟一段时间a，而成为g(t-a)。,现在研究一系列脉冲依次加到G(s)上的情况：,脉冲序列可表示为,首先计算各段时间内的输出c(t)：,0t T时，输入脉冲为 r*(t)=r(0)(t)，输出

15、为 c(t)=g(t)r(0),将 t=0 代入得输出 c(0)=g(0)r(0),Tt 2T时，输入脉冲为r*(t)=r(0)(t)+r(T)(t-T)，输出为 c(t)=g(t)r(0)+g(t-T)r(T)，将 t=T 代入得输出 c(T)=g(T)r(0)+g(0)r(T),同理，可求得在2Tt 3T时间内的输出 c(t)=g(t)r(0)+g(t-T)r(T)+g(t-2T)r(2T)t=2T时刻的输出为 c(2T)=g(2T)r(0)+g(T)r(T)+g(0)r(2T),以此类推可得出在各个采样时刻的输出c(kT)(k=0,1,2,),于是c(t)的Z变换为,所以,注意：,若输入

16、采样函数为理想脉冲序列,分别令t=0,T,2T,kT,，从而可以得到各个采样时刻的输出响应值c(kT)(k=0,1,2,)，于是c(t)的Z变换为,因为在单位理想脉冲作用下，连续部分G(s)的输出为脉冲响应函数g(t)，根据叠加原理，在理想脉冲序列r*(t)的作用下，连续部分的输出为,将输出响应值c(kT)(k=0,1,2,)代入上式并整理得到,由Z变换的定义式得,所以,因此，开环系统（或环节）的脉冲传递函数G(z)就是连续部分的脉冲响应函数g(t)经采样后的Z变换。,连续系统的脉冲响应函数可由 s 域的传递函数求得，即,因此，开环系统（或环节）的脉冲传递函数G(z)可以这样来求：,第一步：由

17、已知系统的传递函数G(s)，用拉氏反变换求出其脉冲响应函数g(t)，即,第二步：对g(t)采样后得到g*(t)。,第三步：对g*(t)进行Z变换，从而得到G(z)。,例 系统结构如图所示，其中连续部分的传递函数,试求开环系统的脉冲传递函数G(z)。,解：首先应用拉氏反变换，求脉冲响应函数,则开环系统的脉冲传递函数为,也可由,直接查表7-1得,三、串联环节的脉冲传递函数,在连续系统中，串联环节的传递函数等于各环节传递函数之积。而采样系统中，串联环节的脉冲传递函数要视环节之间有无采样开关来确定。,1.串联环节之间有采样开关,根据脉冲传递函数的定义，,于是有,环节串联的开环系统,因此，开环系统的脉冲

18、传递函数,上式表明：由理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。,于是有,若定义,2.串联环节之间无采样开关,系统连续信号的拉氏变换为,由此可知：两个串联环节之间无采样开关隔开时的脉冲传递函数，等于两个环节传递函数乘积后的Z变换。,由上面分析看出，显然,则开环系统的脉冲传递函数,四、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,有零阶保持器的开环系统,可以将c*(t)分解为两个分量：一个分量是输入采样信号r*(t)经过G2(s)后所产生的响应，采样后信号c1*(t)的Z变换为,零阶保持器的传递函数为,另一个分量是输入采样信号r*(t)经过e-TsG2(

19、s)所产生的响应，采样后信号c2*(t)，由于e-Ts是一个延迟环节，延迟了一个采样周期，根据Z变换的实数位移定理，c2*(t)的Z变换为,所以,有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数为,在控制系统中，常见的情况为Gp(s)是s的有理分式，无重极点，且含有一个s=0的极点，即,那么,将G2(s)展开成部分分式有,式中,由变换表7-1查出式中各项相应的Z变换，代入得,得到开环系统的脉冲传递函数,它是z的有理分式，其极点仍等于连续部分传递函数Gp(s)的极点数，并一一对应。就是说，G(z)的极点数及其分布只取决于Gp(s)而与零阶保持器无关。,例 具有零阶保持器的开环采样系统结构图如图所示，其中,试求

20、开环系统的脉冲传递函数G(z)。,解：由公式求得,所以,查变换表7-1，进行Z变换,五、连续信号进入连续环节时的情况,开环采样系统结构图如图所示，输入信号未经采样开关直接进入G1(s)。,连续环节G1(s)的输入为连续量r(t)，输出也是连续量e(t)，即,对上式进行采样，,进行Z变换，有,连续环节G2(s)的输入为采样信号e*(t)，输出为连续信号c(t)，所以有,对上式采样，且E*(s)再进行采样仍为E*(s)，所以有,进行Z变换有,最后，得,当连续信号直接进入连续环节时，表示不出C(z)/R(z)的形式，只能求得输出的Z变换表达式，而求不到脉冲传递函数G(z)。,六、闭环系统脉冲传递函数

21、,1如图是一种比较常见的采样系统的结构图。图中虚线所示的采样开关是为了分析方便而虚设的，且它们均以周期同步T工作。闭环系统的输入r(t)、输出c(t)均为连续量，闭环系统脉冲传递函数是输入、输出采样信号的Z变换之比。,先看图中综合点处的连续误差信号,对上式采样,进行Z变换,反馈连续信号,对上式采样,进行Z变换,整理得,通常称E(z)为误差信号的Z变换，故,称为误差采样信号对输入信号的误差脉冲传递函数。,又因为系统输出,采样后取Z变换,所以,当系统为单位反馈时，有,则,可以看出：采样系统的脉冲传递函数及误差脉冲传递函数与连续系统有类似的形式。但要注意，因为,所以,同样因为,所以,2如图所示，求此

22、系统的闭环脉冲传递函数C(z)/R(z)。,在综合点处有,前向和反馈通道有,将式(3)代入式(2)有,再将式(4)代入式(1)有,所以有,误差脉冲传递函数,闭环脉冲传递函数,3如图又一种形式闭环系统结构图。,对于连续环节G1(s)，其输入为r(t)-b(t)，输出为d(t)，于是有,对于连续环节G1(s)H(s)，其输入为d*(t)，输出为b(t)，于是有,对上式采样有,取Z变换,所以,因为,采样后,Z变换,最后，得,7.5 采样数据控制系统的性能分析,一、稳定性,首先分析s平面与z平面的映射关系。,由Z变换的定义式知,令 s=+j，代入上式有,于是得到s 平面到 z平面的基本映射关系式为,对

23、于s平面上的虚轴，=0,s=j，映射到z平面上为,平面上的虚轴，映射到z平面上为一个模为1、相角为T的复变量的轨迹。,s平面到z平面的映射,当 从-变化到+时，在 z 平面上是一个以原点为圆心的单位圆，如图所示。当每变化宽度为s时，z平面上沿单位圆刚好逆时针转过一圈。若从-到+变化，复变量 z 在 z 平面上将沿单位圆逆时针重复转过无穷多圈。也就是说，s平面上虚轴映射为 z 平面上的单位圆。,在s平面的左半平面，复变量s的实部 0，映射为 z 平面上单位圆的外部区域。从对s平面与z平面映射关系的分析可知，s平面上的稳定区域左半s平面在z平面上的映像是单位圆的内部区域，这说明，z平面上单位圆之内

24、是z平面的稳定区域，单位圆之外是z平面的不稳定区域。,二、z 域稳定条件及稳定判据,采样系统的稳定条件是：系统闭环特征方程的根全部位于z平面的单位圆之内，或全部特征根的模小于1。只要有一个特征根在单位圆之外，系统就不稳定；在单位圆上，则系统临界稳定。,下面用解析法加以说明：,设闭环系统的脉冲传递函数为,G(z)为开环采样系统的传递函数。,令,即为系统的闭环特征方程。不妨设D(z)=0的根为pm(m=1,2,n)，则在理想单位脉冲函数输入时R(z)=1，输出的 z 变换为,对上式作Z反变换，得,因此，研究采样系统的稳定性，最直接的方法是解出特征方程的根。但是对于三阶以上的系统，这将是很繁琐的。类

25、似于连续系统，也可以不解特征根，而根据特征方程的系数来判断稳定性，如朱利(Jury)判据，可参阅有关书籍。,要使系统稳定，则要求理想脉冲瞬态响应c(kT)，随k趋于无穷，而趋于零。因此要求所有根的模|pm|1，则系统就不稳定。如果有一个根的模|pm|=1，则系统处于稳定边界。,三、z 平面到 w 平面的映射及劳斯判据,劳斯判据:判别特征方程的根是否全在s平面的左半平面，从而确定系统的稳定性。,在z平面上，稳定性取决于特征根是否全在单位圆内。因此，劳斯判据不能直接应用。,如果将z平面再复原到s平面，则由于z=eTs，使系统的特征方程出现超越函数。,所以设法再寻找一种新的变换，使z 平面的单位圆内

26、映射到一个新平面的虚轴之左，并且新平面对应的系统特征方程为多项式形式，则劳斯判据便可直接应用。这个新的平面称为 w 平面，这种新的变换称为 w 变换，或称为双线性变换。,如果令,则有,其中z、w均为复变量，可写作,将式(3)代入式(2)，整理后得,w平面的虚轴对应于u=0，即,或,式(6)为z平面中的单位圆方程。,z平面单位圆内的区域为x2+y21，对应于w平面是u0的右半平面。,z平面与w平面的对应关系,利用上述变换，可将特征方程D(z)=0转换为D(w)=0，然后就可应用连续系统中的劳斯稳定判据。其步骤是：(1)求出采样系统的特征方程D(z)=0；(2)进行w变换，整理后得D(w)=0；(

27、3)应用劳斯判据判别采样系统的稳定性。,例 设闭环采样系统的特征方程为,试判别系统的稳定性。,解：将,代入特征方程，得,化简后得,列出劳斯表,因为第一列有两次符号改变，所以有两个根在w平面的右半平面，或有两个根在z平面的单位圆之外，系统不稳定。,实际上，特征方程的根为,例 已知系统结构如图所示，采样周期T=0.1s。试求系统稳定时K的取值范围。,解：因为,由变换表7-1得,又 T=0.1 s、e-1=0.368，所以,闭环脉冲传递函数为,特征方程,将,代入上式，得,化简后得,列出劳斯表,为保证系统稳定，从劳斯表第一列可以看出，必须使,故系统稳定的K值取值范围为,若T=0.5s，重新计算K值取值

28、范围：,特征方程,将,代入上式，整理得,由 ai 0，得,解得,结论：从上例可以看出，二阶连续系统只要K0总是稳定的；而二阶采样系统当增大K时，采样系统可能变为不稳定。一般来说，减小采样周期T，会使采样系统的工作接近于相应的连续系统，使采样系统的稳定性得到改善。,四、稳态误差,G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为误差信号，e*(t)为采样误差信号，则系统的误差脉冲传递函数为,所以,假定e(z)的全部极点在z平面单位圆的内部，即系统是稳定的，用终值定理可以求出采样系统的稳态误差,1单位阶跃函数输入下的稳态误差,单位阶跃函数r(t)=1的变换式，将其代入上式，稳态误差为,定义静态位置误差系数,

29、则,当G(z)中有一个以上z=1的极点时，Kp=，则,即在单位阶跃输入下系统的静态误差为零。换言之，在阶跃输入下，系统无静差的条件是G(z)中至少有一个z=1的极点。,2单位斜坡函数输入下的稳态误差,单位斜坡函数r(t)=t，其Z变换式，代入得稳态误差,定义静态速度误差系数,则,当G(z)中有两个以上z=1的极点时，Kv=，则,即在单位斜坡输入下，系统无静差的条件是G(z)中至少有两个z=1的极点。,3单位加速度函数输入下的稳态误差,单位加速度函数,其Z变换式，代入得,定义静态加速度误差系数,则,当G(z)中有三个以上z=1的极点时，Ka=，则,即在加速度输入下，系统无静差的条件是G(z)中至

30、少有三个z=1的极点。,综上所述，采样系统在典型输入下的稳态误差与脉冲传递函数G(z)中z=1的极点数密切相关，这与连续系统传递函数G(s)中s=0的极点数完全对应。同样，把脉冲传递函数G(z)中z=1的极点数=0,1,2,的系统，称为0型、型、型和型采样系统等等。单位反馈系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，如表7-3所示。,表7.3 典型输入作用下的稳态误差,上面讨论了单位反馈系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，以及稳态误差与静态误差系数之间的相互关系。这种方法可以推广到非单位反馈采样系统的稳态误差的计算。只要求出实际系统的误差Z变换函数，利用终值定理，同样可以得到相应的终值误差。,

31、例 采样系统结构如图所示，采样周期T=0.2s，输入信号r(t)=1+t+(1/2)t2，试计算系统的稳态误差。,(1)求G(z)：因为有零阶保持器，故,解：计算分三步进行：,查变换表7-1得,将采样周期T=0.2代入上式，并化简得,(2)判别系统的稳定性：系统的特征方程,解方程得,z1,2均在单位圆内，故系统稳定。,(3)求稳态误差：,静态位置误差系数,静态速度误差系数,静态加速度误差系数,由表7.3，在r(t)=1+t+(1/2)t2作用下的稳态误差,五、闭环极点分布与动态响应的关系,在线性连续系统中，闭环极点在平面上的位置与系统的动态响应有着密切的关系。与连续系统类似，采样系统的闭环极点

32、在平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用。,设系统的闭环脉冲传递函数,当输入信号r(t)=1(t)时，系统输出的Z变换为,假定(z)无重极点，将C(z)展开成部分分式,式中,式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，其中cipik是收敛还是发散、振荡，完全取决于极点 pi 在 z 平面上的分布。,于是,1正实轴上的实数极点,设 pi 为正实数。pi 对应的瞬态分量为,(2)若 pi=1，闭环极点位于右半 z 平面上的单位圆上，其动态响应是等幅脉冲序列。,(3)若 pi 1，闭环极点位于 z 平面上的单位圆外的正实轴上，其动态响应是按指数规律发散的脉冲序列。,(1)若 0 pi 1，闭环极点位

33、于z平面上单位圆内的正实轴上，其动态响应是按指数规律收敛的脉冲序列，且pi越靠近原点衰减越快。,若令，则上式可写为,(2)若 pi=-1，闭环极点位于左半 z 平面上的单位圆上，其动态响应是正、负交替变号的等幅脉冲序列。,(3)若 pi-1，闭环极点位于 z 平面上的单位圆外的正实轴上，其动态响应是正、负交替变号的发散脉冲序列。,2负实轴上的实数极点,(1)若-1 pi 0，闭环极点位于 z 平面上单位圆内的负实轴上，其动态响应是正、负交替变号的衰减振荡脉冲序列，且离原点越近，衰减越快。,若闭环实数极点位于右半 z 平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛，且实数极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位圆上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。,若闭环实数极点位于左半 z 平面，则输出动态响应形式为双向交替正脉冲序列。实极点位于单位圆内，双