2016人教版中考数学压轴题专题十四动态问题之面积最值的存在性-2.doc

1、2016中考数学压轴题动态问题专题十一面积最值的存在性【考情分析】中考压轴题中面积最值的存在性问题，一般的解题策略：（1）根据题目中的位置关系和等量关系，写出面积关于自变量的函数关系，这里需要强调的是一定要正确的写出自变量的取值范围;21cnjycom(2)根据函数的性质，求出面积的最值.1.如图，ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y x3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y x 2bxc的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形www.21-cn-（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都

2、以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，有PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？最小值是多少？ABCODxy解答：（1）由y x3令x0，得y3，点A（0，3）令y0，得x4，点C（4，0）ABC是以BC为底边的等腰三角形B点坐标为（4，0）又四边形ABCD是平行四边形D点坐标为（8，3）将B（4，0），D（8，3）代入二次函数y x 2bxc，可得b ，c3ABCODxyPQM该二次函数的表达式为y x 2 x3（2）设点P运动了t秒时有PQAC此时APt，CQt，AQ5tPQAC，APQCAO ， 解得t 即当点P运动到距离A点 个单位处，有PQACABCODxyP

3、HQMS四边形PDCQ SAPQ SACD 8312当APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小当点P运动t秒时，APt，CQt，AQ5t设APQ底边AP上的高为h，作QHAD于H由AQHCAO可得： ，h ( 5t )SAPQ t( 5t ) ( t )2 当t 时，SAPQ达到最大值 此时S四边形PDCQ 12 故当点P运动到距离A点 个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为 点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大 E

4、FCOByQPAx2.如图，直线y x4与坐标轴分别交于点A、B，与直线yx交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）【来源：21世纪教育网】（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值分析：（1）根据直线y x4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点

5、的坐标，再利用EPBO，得出 2，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可解答：（1）在y x4中，当y0时，x8当x0时，y4，A（8，0），B（0，4）EFCOByQPAx图1EPBO，APEAOB 2，PA2PE四边形PEFQ为矩形，PEFQOQPA2OQ点P运动的速度是每秒2个单位长度（2）如图1，当PQFQ时，矩形PEFQ为正方形FECOByQPAx图2FQOQt，PA2t，PQ83t83tt，t2如图2，当PQPE时，矩形PEFQ为正方形OQt

6、，PA2t，OP82tPQt( 82t )3t83t8t，t4当t为2秒和4秒时，矩形PEFQ为正方形EFCOByQPAx图3（3）如图3，当P在Q右侧时FQOQt，PQ83tSPQFQ( 83t )t3t 28t3( t )2 当t 秒时，S有最大值 EFCOByQPAx图4如图2，当P在Q左侧时FQOQt，PQ3t8SPQFQ( 3t8 )t3t 28t抛物线的对称轴为t 当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动0t 4抛物线开口向上当 t 4时，S随t的增大而增大当t4秒时，S有最大值34 28416综上所述，当t为4秒时，矩形PEFQ的面积S最大，最大值为16点评：此题主要考查了

7、二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键3已知二次函数y mx 23mx2的图象与x轴交于点A（2 ，0）、点B，与y轴交于点C21cnjy（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQAC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQAC，设点P的运动时间为t21世纪*教育网当t为何值时，点A 恰好落在二次函数y mx 23mx2图象的对称轴上；设四边形PQAC 落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值分析：（1）将A（2 ，0）代入抛物线解析式可求m

8、的值，得到抛物线解析式，令y=0求x的值，得到B对坐标；（2）可根据解析式可得出点C点的在坐标，和函数的对称轴；在RtAOC讨论，可得AQ=AQ，同时，过点A作AHx轴，此时可根据两个等量式即可得出QH的长，从而可得出t的值，此时要分情况讨论，分当0t1时和当1t2时的情况，利用三角函数的知识和四边形求面积的知识即可得出www-2-1-cnjy-com解答：（1）将A（2 ，0）代入y mx 23mx2得0 m( 2 )23m2 2，解得m y x 2x2令y0，得 x 2x20，解得：x1，x22B（，0）（2）由y x 2x2，令x0，得y2C（0，2）ABCOAxPHCy(Q)y x 2

9、x2 ( x )2 二次函数图象的对称轴为直线x 过A 作AHOA于H在RtAOC中，OC2，OA2OAC30，OCA60PQA150，AQH60，AQAQ2QH点A 在二次函数图象的对称轴上 解得QH AQ，CP1t1分两种情况：）当0t 1时，四边形PQAC 落在第一象限内的图形为等腰三角形QADABCOAxPQHDCyDQAQtAHAQsin60t tSSADQ t t t 2当0t 1时，S随t的增大而增大当t1时，S有最大值 ）当1t 2时，四边形PQAC 落在第一象限内的图形为四边形EOQAS四边形EOQA S梯形PQAC SOPQ SPCEABCOAxPQHECy2 ( 2t )

10、2 ( 2t )2 t 2 t 24t2 t 24t2 ( t )2 且1 2，当t 时，S有最大值 ，S的最大值是 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果2-1-c-n-j-y4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y x与直线l2：yx6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N21*cnjy*com（1）求M、N的坐标；（2）在矩形ABCD中，已知AB1，BC2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动设矩形ABCD与OMN的重合部分的面积为S，移动的时间为t（从

11、点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；【来源：21cnj*y.co*m】（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值ABl1NMxl2CDyO分析：（1）解两条直线的解析式组成的方程组的解，即可求得交点M的坐标，在y=-x+6中，令y=0即可求得点N的横坐标，则N的坐标即可求解；（2）分成0t1，1t4，4t5，5t6，6t7五种情况，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，即可求得函数的解析式；（3）分别求得每种情况下函数的最值或函数值的范围，即可确定【版权所有：21教育】解答：（1）对于yx6，令y

12、0，得x6点N的坐标为（6，0）由题意，得 解得 点M的坐标为（4，2）ABl1NMxl2CDyO（2）当0t 1时，S t 2当1t 4时，S t Al1NMxl2CDyOBAl1NMxl2CDyOB当4t 5时，S t 2 t Al1NMxl2CDyOB当5t 6时，St Al1NMxl2CDyOB当6t 7时，S ( 7t )2（3）解法一：当0t 1时，S最大 当1t 4时，S最大 点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及联立两函数解析式求交点坐标，面积求解，求分段函数的解析式，二次函数的增减性，正确表示出函数的解析式是解题的关键 5如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶

13、点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线yax 2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E【出处：21教育名师】（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？xOyADCBFG图1E图1P图1Q（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值21教育网分析：（1）

14、根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为ya( x1 )24，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4-t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4 、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2-；最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SAEG+SCEG= ( t2 )21，由二次函数的最值可以解得t=2时，SACG的最大值为1；（3）因为菱形

15、是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上21世纪教育网版权所有xOyADCBFG图1E图1P图1Q解答：（1）A（1，4）由题意，可设抛物线解析式为ya( x1 )24抛物线过点C（3，0）0a( 31 )24，a1抛物线的解析式为y( x1 )24即yx 22x3（2）A（1，4），C（3，0）可求直线AC的解析式为y2x6P（1，4t）将y4t代入y2x6中，解得点E的横坐标为x1 点G的横坐标为1 ，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4 GE( 4 )( 4t )t 又点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为2 即SACG SAEG SCEG EG EG( 2 ) 2( t )

16、( t2 )21当t2时，SACG的最大值为1（3）t 或t208xOyADCBE图1P图1QHN提示：A（1，4），C（3，0），AB4，BC2AC 2，cosBAC PEAB，APt，AE tCE2 t若EQCQ，则在矩形ABCD内存在点H，使四边形CQEH为菱形过点Q作QNEC于N，则CE2CN在RtQNC中，CNCQcosACDCQcosBAC t2 t t，解得t 若CECQ，则在矩形ABCD的AD边上存在点H，使四边形CQHE为菱形xOyADCBE图1P图1QH2 tt，解得t208点评：本题考查了二次函数的综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法