2017人教版八年级上数学培优精编讲义习题.doc

1、第十一章 全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写

2、在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的；平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等

3、的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，

4、而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.证明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD分析：要证ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明AB

5、FCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF与CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且B

6、FAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于

7、折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对

8、应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考点拨：【例1】如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD即可证明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA说明：证明角（或线段）相等可以从证

9、明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。【例2】如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过D点作DFAC交BE于F点，证明AECFED即可。证明：过D点作DFAC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=

10、ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例1】如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，构造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需证DEBE问题便可以解决证明：在AB上截取AEAC，连结DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AEAC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方

11、法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC求证：OBOC3. 如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三

12、角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：DCEF是等边三角形。4.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线。求证：ADAC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，求证：BF=CG。1、轴对称的性质：（）关于某条直线对称的图形是全等形；（）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。2、轴对称作（画）图：（）画图形的对称轴（）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图

13、形的对称轴。（）画某点关于某直线的对称点的方法（）画已知图形关于某直线的对称图形注意：（）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。（）性质（）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。【例8】如图，ABC和ABC关于直线对称，下列结论中：ABCABC；BACBAC；l垂直平分CC；直线BC和BC的交点不一定在l上，正确的有( )A4个 B3个 C2个 D1个举一反三：1、如图，ABC与A/B/C/关于直线l对称，则B的度数为（ ）FEDCBAA50 B30 C100 D902、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若AFC+BC

14、F=150，则AFE+BCD的大小是（）150 300 210 330【例9】如图，点P在AOB内，点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO的对称点，若PEF的周长为15，求MN的长等腰三角形专题讲解【知识精读】（）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两