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1、数学与文学第7讲 数学与文学我的心智始终把学问探讨，使我困惑不解的问题已经很少。七十二年我日日夜夜苦苦寻思，如今才懂得我什么也不曾知晓。这是11世纪波斯（今伊朗）著名数学家奥马海牙姆（Omar Khayyam, 10481131）写的四行诗（张鸿年译）。古稀之年、满腹经纶的数学家反省自己，却发现自己一无所知，着实让世上那些自命不凡的半瓶醋们感到羞愧不已。奥马海牙姆不要忘了，奥马海牙姆在诗歌史上的地位甚至超过他在数学史上的地位！而在我们今天看来，数学和文学似乎是相互对立的两个学科，分属英国学者斯诺（C. P. Snow, 19051980）所说的“两种文化”，而这两种文化阵营里的人们之间，一如斯

2、诺所言，有着深深的隔阂，有着难以逾越的鸿沟。但是，如果翻开文学史的画卷，我们会发现：数学常常为文学家所利用，而文学也常常为数学家所利用。早在公元前5世纪，古希腊作者亚里士托芬尼（Aristophanes）在其作品鸟（Birds）中提到，天文学家梅顿（Meton）用直尺和圆规作出某个图形，“使圆变成了正方形”。尽管实际上梅顿并非在化圆为方，而只是将圆等分为四部分，但亚里士托芬尼至少告诉我们一个信息：化圆为方问题在他所生活的时代已经是广为人知了。而古希腊另一几何难题倍立方问题的起源则是古代某个悲剧诗人在其作品中给出的一个故事：米诺斯（Minos）为海神格劳克斯（Glaucus）修建了一座坟墓，但他

3、对坟墓边长100英尺感到不满意。于是米诺斯错误地说，必须将边长增加一倍，以便把坟墓造得两倍大。据说，“数学”（Mathematics）在希腊文中的最初意义相当宽泛，是指“学到的或理解了的东西”，只有到了亚里士多德时代才开始专门化；而“诗学”（Poetics）的最初意思则是“完成的、做好的、或取得的东西”。因此，“数学”和“诗”在公元前4世纪以前很可能指的同一件事。7-1 诗歌中的数学问题在历史上，用诗歌形式来表达数学问题的例子的确很多。印度约公元前800-600年讨论建造祭坛几何方法的绳法经（ulbastras）即是以诗歌形式写成的。后世印度天文学家也常常以诗歌形式进行写作；如，公元6世纪，瓦

4、拉哈米希拉（Varhamihira, 505?587）所著太阳知识（Sryasiddhnta）中包含了诗歌形式的正弦表。约公元500年希腊学者米特洛多鲁斯（Metrodorus）所编希腊选集中，含有诗歌形式的丢番图墓志铭，是一个著名的一元一次方程实例：行人啊，请稍驻足这里埋葬着丢番图上帝赋予他一生的六分之一享受童年的幸福再过十二分之一，两颊长胡又过了七分之一，燃起结婚的蜡烛贵子的降生盼了五年之久可怜那迟到的宁馨儿只活到父亲寿命的半数便进入冰冷的坟墓悲伤只有通过数学来消除四年后，他自己也走完了人生旅途12世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bhaskara, 11141185）在其题献给自己女儿的数学

5、著作丽罗娃蒂（Llvat）中，亦包含许多以诗歌形式来表达的数学问题，如：园内花开扑鼻香，诱得蜜蜂采蜜忙。嘤嘤嗡嗡闹如市，熙熙攘攘数难详。总数之半开平方，飞入花间把身藏。又有总数九之八，徜徉园外戏春光。 一只雄蜂循香至，可怜身陷莲花房。一只雌蜂来救援，悲伤低回在花旁。 丽罗娃蒂请教我，蜜蜂数目可知详？真是春光明媚、“数”趣盎然。它上是一个一元二次方程问题。丽罗娃蒂是婆什迦罗最出名的一本数学著作，丽罗娃蒂是他女儿的名字。有一个故事说：占星家预测丽罗娃蒂的婚姻永远无成，但是婆什迦罗找到了一个解运的办法。他做了一个可漂浮在水面上的杯子，底部开一个很小的洞，水可慢慢流进，一小时后若杯子沉没，则女儿就可摆

6、脱厄运。在一个良辰吉日，婆什迦罗施行解运术。由于好奇心，女儿丽罗娃蒂观看杯中水逐渐上升，突然，有一颗珍珠从她身上掉入杯子里，恰好堵住了进水口，一小时后杯子并没有沉没！因此，丽罗娃蒂还是要面对永远结不了婚的命运。为了安慰女儿，婆什迦罗说：“我要写一本书，以你的名字为书名，让你流芳万世；因为好名声是一个人的第二生命，也是不朽的基础。”婆什迦罗做到了，了却了他的心愿。16世纪，意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia, 14991557）发现三次方程的解法后，为了避免遗忘，将其编成一首隐诗。众所周知，中国明代数学家程大位算法统宗中多以诗歌来表达问题的解法，特别是最后的“难题”都以诗或词的形式

7、表述。如“以碗知僧歌”是个算术问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，恰合用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹。请问先生能算者，道来寺内几多僧。”而一首“水仙子”则表达了一个一次同余组问题：元宵十五闹纵横，来往观灯街上行。我见灯下红光映。绕三遭，数不真。从头儿三数无零，五数时四瓯不尽，七数时六盏不停。端的是几盏明灯？一首“浪淘沙”则是中国古代典型的盈不足问题：昨日独看瓜，因事来家。牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过，听得争差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借问人瓜各有几，已会先答。又如“西江月”：平地秋千未起，扳绳离地一尺。送行二步恰竿齐，五尺板高离地。仕女佳人争蹴，

8、终朝语笑欢戏。良工高士请言知，借问索长有几。是一个勾股问题。16-17世纪，英国的数学课本盛行用诗歌体裁。英国数学家雷科德（R. Record, 15101558）在算术课本艺术基础（The Ground of Artes, 1543）和几何课本知识之途（The Pathway to Knowledge, 1551）中都不乏诗歌之例。在知识之途中，雷科德利用诗歌形式来宣扬几何学的价值（参阅阅读材料7-1）。而巴克里（W. Buckley）则干脆将自己的算术课本取名为记忆算术（Arithmetica Memorativa, 1550），书中各种算术运算一律用诗歌来表达。1570年左右的一部英国数

9、学手稿中的“乘法原可恼，除法尤可厌；比例之法太艰涩，习之使我欲狂癫”由于道出了那些讨厌数学运算者的心声而风行一时。另一位作者希尔（T. Hylles）在其1592年出版的通俗算术中利用诗歌语言宣扬数学的价值，借以吸引学生（参阅阅读材料7-2）。书中的种种运算法则也都是用诗歌来表达的。罗伯特雷科德18世纪的数学刊物女士日记（The Ladies Diary, 1704-1840）在创办初期所载的数学问题往往是用是用诗歌形式来表达的，而且问题的答案也是以诗歌形式给出。如1710年的问题13：主人雇工三十天，约法三章定工钱。干活一日十六元，偷闲一天二十减。眨眼合同期限满，主仆结账不食言。主人不付一子

10、儿，佣工分厘未能添。欲知佣工勤与懒，几日劳作几日闲？这不过是一个二元一次方程组问题。而1711年问题17则是这样叙述的：一天晚上遇见个补锅匠，他的舌头比脑瓜更灵光。他口若悬河不停对我讲，说自己的手艺举世无双。我要他做个平底的酒壶，试探他是不是吹牛大王：壶顶壶底是大小两个圆，直径的长短按照五三量。十二英寸高分厘不能爽，十三加仑啤酒恰恰满装。他爽快答应立即动手忙，把锤子敲得叮叮当当响。做成了酒壶再把容积量，十三加仑水溢出往外淌。他改短直径脚乱又手忙，结果十三加仑又不够装。他又修改尺寸费尽思量，这回十三加仑恰恰满装。量量直径可惜又不够长，吹牛的补锅匠好不懊丧。酒壶一会太大一会太小，最后把壶儿弄得不成

11、样。他信誓旦旦还信口雌黄：不达目的便毁一切家当！于是我请求帮他一个忙，生怕他断了生路空悲伤。凭他那平平庸庸脑袋瓜，永远也别想找出直径长！显然是一个圆台体积问题。7-2 吟诗论数除了上面介绍的古代数学文献中数学家所写的诗歌，我们在西方文学史上也能见到文人赋诗论数学家的传统。从16世纪开始直到19世纪，常有人写诗歌颂数学名家或数学教材的作者。如17世纪，查普曼（George Chapman, 15591634）作诗献给同时代英国著名代数学家哈里奥特（Thomas Harriot, 15601621）：你心灵的深度测量着高度以及一切重物的所有标尺对于所有重大的和永久的发明理性是基础、是结构、是装饰而

12、你清澈的眼睛是理性运转的球体18世纪英国著名诗人蒲柏（A. Pope, 16881744）为牛顿（I. Newton, 16421727）撰写墓志铭：自然和自然的规律黑夜里隐藏上帝说，让牛顿来吧，于是一切都变得光亮蒲柏在人论（An Essay on Man）第二札（Epistle II）中也提到牛顿。诗歌从文化角度反映了人们对于数学的看法。在17世纪的大部分时间里，英国诗人写的往往都是抒情诗，他们极少了解数学和科学。少数涉及数学或科学的诗人，对于它们的新发展也一无所知。著名诗人弥尔顿（John Milton, 16081674）尽管对于伽利略推崇有加，但在其作品中却仍固守着托勒密理论，另外一些

13、诗人甚至对数学进行嘲笑。布特勒（Samuel Butler, 16121680）在他著名的讽刺诗Hudibras（1663）的第一部分中写道： 在数学上，他的成就比第谷或帕特更伟大； 因为他，利用几何这秆秤， 能把酒壶的大小量不差。 如果面包或黄油缺了斤两他就用符号和切线来解决它；利用代数学，他明智地告诉人们么时辰闹钟敲了几下萨缪尔布特勒 Hudibras封面19世纪的诗人曾表现出对于牛顿机械论的强烈反感。美国著名诗人惠特曼（Walt Whitman, 18191892）于1855年出版的诗集草叶集（Leaves of Grass）中的一首这样写道：当我聆听博学的天文学家讲演当证明、图形一栏栏

14、摆在我的面前当他出示图表和图形，要我对它们进行加、除和测量当我坐在教室里聆听天文学家讲课，下面的听众不断地鼓掌 我很快变得莫名的倦怠和厌恶 直到起身悄然离开，独自漫步 在那神秘、潮湿的夜色中 万籁俱寂间，不时抬头仰望星空诗歌有时和文学传记一样，也反映了某个时代数学教育的状况，如法国著名作家和诗人雨果（Victor Hugo, 18021885）于1864年用诗歌向我们描述了他少年时代学习数学的经历：我是数的一个活生生的牺牲品这黑色的刽子手让我害怕我被强制喂以代数他们把我绑上Bois-Bertrand的拉肢刑架在恐怖的X和Y的绞刑架上他们折磨我，从翅膀到嘴巴雨 果诗与数学之间最深刻的关系莫过于数

15、学概念或意象（imagery）与诗歌的结合。事实上，中世纪欧洲两个最伟大的诗人但丁（Dante, 12651321）和乔叟（G. Chaucer, 13421400）的作品无不充满着数学知识。17世纪，英国著名形而上学诗人约翰多恩（John Donne, 15721631）和安德鲁马佛尔（Andrew Marvell, 16211678）通过圆规、欧氏几何中的手持神曲的但丁 乔 叟平行线之类的数学概念来类比爱情。如后者的爱的定义： 象直线一样，爱也是倾斜的它们自己能够相交在每个角度但我们的爱确实是平行的尽管无限，却永不相遇。19世纪初，英国著名诗人雪莱（P. B. Shelley, 17921

16、822）的诗歌解放了的普罗米修斯中第四幕的一节：我在黑夜的金字塔下转动，这金字塔怀着欢欣高耸入天空，在我沉醉的睡梦里把胜利的欢歌呢哝；如同一个年轻人躺在美丽的阴影中，做着缱绻的好梦，轻声叹息，光明和温暖坐在身边细心地侍奉。雪 莱同时期英国著名数学家怀特海德（A. N. Whitehead, 18611947）认为，“只有内心世界展现着一幅特定几何图形的人才能写出这样的诗歌来，而讲解这张图形，常常正是我在数学课堂中要做的事情。”在20世纪，英国著名诗人艾普生（William Empson, 19061984）和美国著名诗人斯蒂文斯（Wallace Stevens,18801995）等人的作品都以

17、其中数学概念的融入而著称。7-3 小说中的数学19世纪，英国著名作家狄更斯（Charles Dickens, 18121870）在其名著艰难时代（1854）中利用茜茜朱蓓（Sissy Jupe）学习比例一事来批判时弊。在查尔斯道奇森（Charles Dodgson, 18321898）维多利亚时代牛津大学基督堂学院的一位数学讲师，笔名刘易斯卡罗尔（Lewis Carroll）的爱丽丝漫游奇境记和爱丽丝镜中奇遇记中，怪诞的数学和逻辑被用来反映“表面上看起来毫无意义的世界里人类的荒谬状态”。还有学者指出，爱丽丝在奇境中的许多场合里都不过是一张在不同变换之下保持不变性质的几何图形而已。另一位维多利亚

18、时代的英国作家阿波特（E. A. Abbott）是伦敦一市立中学的校长。在他的数学幻想小说平面国传奇里，讲述了一个平面国知识分子一个正方形向国人宣扬三维空间理论，最后身陷囹圄的故事。一天，正方形主人公不幸被一个来自三维空间世界的球体所覆盖在平面国的人看来，球当然只是一个圆，先从一个点开始逐渐增大，而后又逐渐减小，最后消失。球体降落多次，它向正方形描述了三维世界的奇迹，并使他意识到自己被限制在平面上的不幸境况。最后，这位陌生人将正方形带去环游三维空间。回国后，他热衷于向国人传授自己刚刚发现的三维空间理论，但被平面国的最高统治阶级圆形的僧侣们视为异端，被判终生监禁。作者利用数学主题讽刺了维多利亚时

19、代的社会等级制度和性别歧视。在19世纪的欧洲和俄国，数学与更严肃的文学发生了联系。俄国大文豪陀思妥耶夫斯基（F. Dostoevsky, 18211881）在其长篇小说卡拉马卓夫兄弟第2部第2卷第3节“兄弟俩互相了解”中，伊凡和阿辽沙兄弟俩在一家酒店喝茶聊天。在谈到上帝是否存在的问题时，伊凡说：“假如上帝存在，而且的确是他创造了大地，那么我们完全知道，他也是照欧几里得的几何学创造大地和只有三维空间概念的人类头脑的。但是以前有过，甚至现在也还有一些几何学家和哲学家，而且还是最出色的，他们怀疑整个宇宙，说得更大一些整个存在，是否真的只是照欧几里得的几何学创造的，他们甚至还敢幻想：按欧几里得的原理是

20、无论如何也不会在地上相交的两条平行线，也许可以在无穷远的什么地方相交。因此我决定，亲爱的，既然我连这一点都不能理解，叫我怎么能理解上帝呢？”这里，非欧几何的观念成了挑战传统的上帝信仰的有力工具。在奥地利著名小说家穆西尔（R. Musil, 18801942）出版于1906年的小说年轻的特尔莱斯里，主人公特尔莱斯遇到虚数后，开始考虑生命的复杂性和模糊性。特尔莱斯原来把数学看作“生命的预备工具”，因此为虚数所困扰。他认为，虚数不可能是一个真正的数；但同时，通过虚数运算所得到的真实结果又把他给迷住了。他承认，这样的运算使他感到有点“晕乎乎”，似乎是通往“上帝所知道的路”。对特尔莱斯而言，实数和虚数代

21、表着人性中的理性的一面和非理性的一面。俄国著名小说家扎米亚金（Y. Zamyatin, 18841937）也将虚数与人的灵魂联系在一起。在反乌托邦小说我们（1924）中，扎米亚金虚构了一个用数学来管理的极权主义国家。在这个国家，统治者是“万数之数”；诗歌是严格按照乘法表来写的；人名是用数字来表示的。我们中的故事是围绕一位国家数学家、“积分号”宇宙飞船的设计者D-503展开的。当D-503与一位反政府的女革命者I-330有产生爱情后，他的理性受到了挑战。早在遇见I-330以前，D-503就已经发觉虚数“奇怪、陌生、可怕”，他痛恨这种数，希望这种数不存在。遇见I-330之后，虚数成了D-503情感

22、与理智紊乱以及他无视国家法规的象征。D-503被诊断为“有灵魂和想象力”，最后被用新发明的运算方法切除，D-503也因此恢复了他国家数学家的地位。穆西尔和扎米亚金都把虚数当作挑战数学理性的工具，藉此宣扬人类信仰、情感等所具有的非理性的一面。 而俄国大作家列夫托尔斯泰（Tolstoy, 18281910）在战争与和平中则利用数学来支持自己的历史理论。托尔斯泰利用古希腊著名的芝诺悖论阿基里斯追不上乌龟来说明：历史是不能够作为一系列离散的片段来分析的，历史不是离散的事件，而是一个连续的过程，是无穷小量（“历史的微分”）的和（“积分”）。只有找到求和的方法，人们才有望认识历史的法则。托尔斯泰还试图用比

23、率和方程来说明：除了数量，士气也是一个军队获得胜利的重要因素，士气乘上数量就等于力量。一支小的部队如果士气高，也能够打败大的部队。他举例说（以X和Y表示士气）：“10个人，10个营，或10个师，同15人，15个营，或15个师作战，把15个那一方打败了，也就是说，把对方一个不剩地全部打死，或俘虏了，而自己损失了4个人，这就是说，一方损失了4 个，另一方损失了15个。这样一来4 个就等于15个，这就是说4X15Y。因而X:Y15:4，这个方程式并未告诉我们那个未知数的值，但是告诉了我们那两个未知数的比率。可以取各种各样的历史单位（战斗、战役、战争阶段）列成这种方程式，得出许多系列数字，在那些数字里

24、，应当存在一些法则，它是可以发现的。”数学也是作家刻画人物聪明才智的一种工具。我国当代武侠小说家金庸在射雕英雄传第29回和31回中通过宋元时期的数学问题（开方、幻方、天元术、四元术、同余问题等）来刻画才智过人的黄蓉形象。英国小说家赫胥黎（A. Huxley, 18941963）在小阿基米德中讲述了一个关于数学和音乐小天才吉多的动人故事。在故事里，吉多自己发现了勾股定理的一个几何证明（与后人推测的毕达哥拉斯证法一致）。捷克剧作家斯托帕德（Tom Stoppard）在阿卡迪亚 中讲述一个19世纪的13岁女数学天才的故事；克里夫顿（M. Clifton, 19061963）在聪明的思达中讲述了一个3

25、岁小女孩思达发明莫比乌斯带，并发明了一种可以将自己输送到四维空间去、在时间隧道中往前或往后旅行的方法。文学作品不仅利用了数学的概念，而且也利用数学的方法。19世纪，演绎方法在侦探小说中找到了用武之地。美国著名侦探小说家阿兰波伊（E. Allan Poe, 18091849）笔下的杜宾、英国著名侦探小说家柯南道尔（A. Conan Doyle, 18591930）笔下的福尔摩斯，都是家喻户晓的推理高手。在波伊摩戈大街谋杀案的开篇，杜宾认为“数学研究，特别是最高等的数学分支，即分析，很可能大大提高案情分析的能力”；在道尔血字的研究第2章，福尔摩斯在一篇文章中自称“他得出的结论会像欧几里得的命题一样

26、准确”！7-4 数学家与诗人在历史上，集数学家与文学家于一身的不乏其人。17世纪法国著名数学家帕斯卡（B. Pascal, 16231662）也以其文学才能著称于世。瑞士著名数学家雅各伯努利（Jacob Bernoulli, 16541705）在其猜想的艺术（Ars Conjectandi）中赋诗一首，表达对于无穷级数有和的惊喜之情：区区一个有限数，无穷级数囊中收。“巨大”之魂何处寻？细小之中长居留。“有限”不是等闲物，狭小范围岂可囿。无穷大中识微细，人生快乐复何求。广袤无边管中窥，物外神奇我心游！19世纪，英国著名数学家布尔（G. Boole, 18151864）、哈密尔顿（W. R. Ha

27、milton, 18051865）、麦克斯韦（J. C. Maxwell, 18311879）、柯克曼（T. P. Kirkman, 18061895）、西尔维斯特（J. J. Sylvester, 18141897）、法国数学家柯西（A. L. Cauchy, 17891857）、德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass, 18151897）等都曾写过诗歌，不过，他们在诗歌上的名声都不及奥马海牙姆。20世纪，出现了许多直接关于数学的严肃诗歌。如阿波斯托尔（T. Apostol）的诗歌： s的Zeta函数的零点在哪里？ 黎曼作出了猜想有巧思。他说，它们都在一条关键直线上，它们的密度

28、比要大一。讲的是黎曼猜想。德国著名数学家豪斯道夫（F. Hausdorff, 18681942）曾发表过诗歌、警句，还创作过一出滑稽戏，于1912年成功地搬上了舞台。俄国著名女数学家索菲亚柯瓦列夫斯卡娅（Sofya Kovalevskaya, 18501891）在文学上也富有盛名，她的童年的回忆具有经久不衰的文学价值。在1890年秋写给文学家蒙特维德（Montvid, 1845？）的信中，柯瓦列夫斯卡娅这样写道：“我理解你对我能同时在数学和文学方面进行工作而感到惊奇。许多从来没有机会更多地探索数学的人们把数学与算术混为一谈，并且认为它是一门枯燥乏味的科学。但事实上，它是一门需要最为丰富的想象力

29、的科学。本世纪最杰出的数学家之一（魏尔斯特拉斯）曾经完全正确地说过，没有诗人的心灵是不可能成为一位数学家的。对我来说，诗人只是感知了一般人所没有感知到的东西，他们看得也比一般人更深刻。其实数学家所做的不也是同样的事吗？拿我自己来说吧！我这一辈子始终无法决定到底更偏好数学呢，还是更偏好文学。每当我的心智为纯抽象的玄思所苦，我的大脑就会立即偏向人生经验的省察，偏向一些美好的文艺作品；反之，当生活中的每一件事令我感到无聊且提不起劲来时，只有科学上那些永恒不朽的法则才能吸引我。如果我集中精力于一门专业，我很可能会在这一专业上做出更多的工作，但我就是不能放弃其中的任何一门。”柯瓦列夫斯卡娅另一方面，也有

30、一些文学家显示出了对于数学的兴趣和才能。英国著名诗人德莱顿（Dryden, 16311700）曾对诗人提出这样的要求：“一个人要成为完美的和优秀的诗人，就应该通好几门科学，并且应该有一个理性的、哲学的、以及某种程度上是数学的头脑。”而美国著名诗人爱默生（R. W. Emerson, 18021883）则写道：“我们不会去特别注意倾听一个仅仅是诗人的人的诗句；也不会去倾听一个仅仅是代数学家的人的问题；但倘若一个人既熟悉事物的几何基础同时又熟悉事物的欢乐的光辉，他的诗歌就会精密；同时他的算术就象音乐般地好听。”一流的作家，除了前面提到过的陀思妥耶夫斯基、穆西尔外，德国诗人诺瓦里斯（Novalis,

31、 17721801）、法国诗人瓦雷里（P. Valry, 18711945）、奥地利作家布罗赫（H. Broch, 18861951）、德国作家司米特（A. Schmidt, 19141979）、前苏联著名作家、1970年诺贝尔文学奖得主索尔仁尼琴等都曾受过很好的数学训练。瓦雷里年轻时对数学和科学十分着迷，因为它们向他展示了小时看大海时所欣赏到的美和神秘。后来他始终保持着对于数学和科学的爱好，1925年当选为法兰西科学院院士。索尔仁尼琴则当过数学教师。另外一些作家，像德国的卡斯特涅（A. G. Kstner, 17101800）、英国的卡莱尔（T. Carlyle, 17951881）、道奇生等，也都是数学家，都曾对数学教育作出过重要贡献。的确，当海牙姆那智慧的诗句震撼着我们凡俗的心灵，当柯瓦