集合论与中学数学.docx

1、集合论与中学数学现代数学与中学数学期末作业集合论与中学数学主讲教师： 张晓伟 开课学期： 2015年春季学期 学生所在单位： 教师教育学院 专业方向： 学科教学（数学） 姓 名： 周桐 学 号： 1411290012 提交日期： 2015年 6 月1 日（以上为研究生填写）成 绩： 任课教师签章： 集合论与中学数学摘要：集合论语言作为数学的语言和基础，几乎涉及到所有数学分支，许多重要的近代数学，如实变函数、泛函分析、概率论及数理统计等都建立在集合论的基础上，集合论作为中学代数的重要内容之一，同时也对整个中学数学产生了巨大的指导意义。本文主要介绍集合论的产生发展以及对中学数学的指导意义。尽快地让

2、学生接触集合，可以使学生对初等数学中的一些基本概念理解得更深刻，表达更明确，同时也可以为以后学习近代数学提供有利的条件。关键字：集合论语言；集合论思想；中学数学1.集合论的产生及其发展集合论的奠基人是德国数学家G.康托（G.Cantor）。1871年，G.康托（G.Cantor）考察由函f（x）构造出的三角级数在区间内哪些点上收敛于f（x）的问题。这些收敛点构成一个点集，康托研究了它的性质，这便是集合论的开始。由于康托的集合论是建立在解释与说明的基础上，所以人们常称之为“朴素”集合论，以后康托又提出一般的抽象集合，并研究集合中元素之间的一一对应问题，引出基数的概念，接着又把自然数的依大小排列的

3、序数推广到无限序数情形，即超越数系统，这些涉及“无限”的集合论研究引起许多人的反对。19世纪末20世纪初，集合论中出现了悖论，特别是1903年的罗素悖论，是数学出现了第三次危机。为了赶走悖论，意大利数学家策梅罗（Zermelo）提出了公理集合论。由于集合论可能出现悖论，许多人开始时都对它抱怀疑态度，但集合论的语言很简洁、明了，概括性极强，而且在通常范围内不会出现悖论，所以各科数学都愿意把本学科建立在集合论的基础之上并成为人们的常识。2.集合论语言对中学数学各主要内容的指导意义中学数学的内容主要包括几何、代数、三角学、解析几何、初等微积分、概率统计等。集合论语言是学习、掌握和使用数学语言的基础，

4、运用统一的语言，采用公理化的方法，为现代数学的结构化、形式化、统一化提供了较好的表达组织方式。因此，集合作为基础的中学数学内容中必需考虑渗透和运用集合论语言。2.1中学几何内容运用集合论语言，容易使叙述更加简明准确、各种几何知识形成系统直线与直线的相交与平行、直线与平面的相交与平行、平面与平面的相交与平行等，线线、线面、面面关系等，如果用集合语言描述是非常直观、准确、简洁的。例如，直线a，b交于点O可表示为ab=O，平面与平面平行可表示为=等等。显然，这样叙述并未增加难度，而且使用起来也很方便。但是，欧式几何通常把点、直线、平面作为原始概念。任何一个几何图形都是依照一定的规律由以上元素构成的，

5、如果用集合论的不加定义的概念-点来翻译所有几何图形以及一些概念会很复杂、很繁琐。总之，把集合论语言完全运用到中学几何并不是一件易事，中学几何应该取其优点而用之，把集合语言看成一种朴素的语言，不要刻意地去生搬硬套，应该有所选择，这样才能体现集合语言使叙述更加简明、准确，使各种几何知识形成系统的优势。2.2集合论语言表达的函数定义给了认识函数图像和运用数形结合思想研究问题的启示集合论语言在代数中的运用比较广泛，例如方程和方程组的解的集合，不等式与不等式组的解集，轨迹是满足某些条件的点的集合等等。当使用集合论语言时，许多数学概念的形成就显得简单多了，例如，在中学代数中，函数的图像是函数关系的一种几何

6、表示。若给定函数y=f（x）（xA），则在直角坐标平面xoy上，对于任何一个xA，都有一个点（x，f（x）与它对应。我们把定义域A上所有x在直角坐标平面上确定的点的集合C叫做函数y=f（x）的图像。2.3借助于集合论语言来描述事件之间的关系和运算是概率的一个非常重要的思想概率论中的概念和事件之间的关系完全可以用集合论语言来描述，如A蕴含B可表示为A奂B，A与B不交且A与B之和是全集可表示为AB=AB=等等。中学概率中的基本数学思想是用集合论语言和集合论方法来分析基本事件和描述事件与事件之间的关系和运算。总之，把集合论语言作为中学数学各部分内容统一的语言，这种语言正是数学的基本语言。在荷兰数学家

7、、教育家弗赖登塔尔看来：集合是很基础的概念，它看起来好像没有用到什么模型作为媒介，而被直接用于实践，但是不能因为它的这种特点而把一些毫无关系的东西都塞进集合论的框架中去。3.集合思想在数学解题中的运用3.1巧用集合思想解决概念类、逻辑推理类问题用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生将概念推广的研究精神，并能使学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。逻辑推理则主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或者此概念是彼此概念的特殊情形。如对立体几何中常见的四棱柱，可建立如下的概念系统:多边形四边形梯形平行四边形矩形正方形。运用集合思想在解决逻辑推理问题时也有独特的优势。如

8、:“一个班有45人。有34人做完语文作业，37人做完数学作业，所有人的语文或数学作业都至少完成了一个。你想想看:这个班语文、数学作业都做完的有多少人?”通过运用集合思想和韦恩图很容易得出:做完语文作业的人数，减去其中没做完数学作业的人数，即为语、数作业同时做完的人数:34(4537)=348=26(人)，在这里就不做详细说明。3.2巧用集合思想解决排列组合问题高中数学中的概率问题和排列组合问题一般条件都较为复杂，对于学生而言，难于理清题目思路，这时运用集合思想，就能巧妙地将题目中的限制条件转换成集合运算，探求题目各条件间的关系，将题目化难为易，从而理清思路，找到解决问题的方法。如:有篮球运动员

9、10人，7人能打中锋，4人能打后卫，今从中选出3中锋2后卫参赛，问共有多少种出场方案?和上题类似，设A=会打中锋的人，B=会打后卫的人据题意运用集合思想可画出韦恩图，AB=甲，按甲打中锋、打后卫、不出场三种情况，可得出场方案共有=165种。3.3巧用集合思想解决函数、不等式中的问题函数的定义域和值域就是两个集合，解析式则表示了这两个集合间的对应关系。因此，对集合的知识的考查常常通过函数这个载体来体现。如:若集合S=y|y=2x，x，T=y|y=+1，x，则ST是( )。A. S B. T C 1 D 有限集合此题出错的频率较高，容易误选为C，认为是求两函数的交点x=1，原因在于未正确理解集合概

10、念所致。事实上，S、T中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=2x，y=+1的值域，由S=y|y，T=y|y1，知TS，因此ST=T，选B。集合的运算和不等式的解法相结合是高考中常见考点。此类问题主要分两类:一是不含参数问题，一般可直接求解。如:已知集合A=x|3x40，B=x|x3|4，则A(B)为_二是含参数问题，往往进行等价转换，然后根据数形结合进行分类讨论。如:已知关于x的不等式0的解集是(，1)(12，+)，则a_近年来的高考试题大都是将集合思想与函数、不等式等知识结和起来进行考核的，充分把握集合思想的理论内涵，对于高中学生解决函数、不等式等问题能够起到很大的帮助作用，也能够提高其分

11、析问题和解决问题的能力。3.4巧用集合思想解决圆、圆锥曲线、三角函数问题集合与圆、圆锥曲线、三角函数的交汇一般是以集合的符号语言来表述题意，而我们可以运用集合的思想进行转化，从而解决圆、圆锥曲线、三角函数等问题。如:求圆A=+=，r0与直线A=2x+y=1的交点弦问题。解此类问题的一般方法是:透过集合语言和符号语言叙述的外表，利用已掌握的解析几何的知识求解。3.5巧用集合思想解决几何问题运用集合思想，能够充分考虑到代数和几何图形间的内在联系，用实数形式对几何图形的性质进行合理的表达，通过集合思想的理解运用，可以利用代数理论思路来解决几何问题，也可以用几何图形来解释代数问题，使数学问题变得更生动有趣，拓宽数学问题的解决思路和解决办法。譬如教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，而且便于学生理解。因此学生必须对集合的基础知识有一个熟悉的把握，并且要多对习题进行练习操作，熟悉解题思路，做到举一反三，提高自己的思维创造能力。参考文献1张奠宙, 一心. 现代数学与中学数学M. 上海教育出版社, 1990.2刘晨亮. 论集合论语言对中学数学的指导意义J. 教育教学论坛, 2011 (6): 163-163.3杨元超. 集合论的思想方法对高中数学解题的指导作用J. 语数外学习 (数学教育), 2013, 7: 073.