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1、理论力学题库第五章理论力学题库第五章理论力学题库第五章 一、填空题 1. 限制力学体系中各质点自运动的条件称为 。质点始终不能脱离的约束称为 约束，若质点被约束在某一曲面上，但在某一方向上可以脱离，这种约束称为 约束。 2. 受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是 ，此即 原理。 3. 基本形式的拉格朗日方程为 ，保守力系的拉格朗日方程为。 4. 若作用在力学体系上的所有约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则这种约束称为约束。 5. 哈密顿正则方程的具体形式是和。 5-1. n个质点组成的系统如有k个约束，则只有 3n - k 个坐标是独立的. 5-2.可积分的运动约束与几何约束在物理实质

2、上没有区别，合称为 完整约束 . 5-3自度可定义为：系统广义坐标的独立 变分数目 ，即可以独立变化的 坐标变更数 . 5-4.广义坐标就是确定力学体系空间位置的一组 独立坐标 。 5-5.虚位移就是 假想的 、符合约束条件的、无限小的、 即时的 位置变更。 5-6.稳定约束情况下某点的虚位移必在该点曲面的 切平面上 。 5-7.理想、完整、稳定约束体系平衡的充要条件是 主动力虚功之和为零 . 5-8.有效力的总虚功等于 零 。 5-9.广义动量的时间变化率等于 广义力 。 5-10.简正坐标能够使系统的动能和势能分别用 广义速度 和 广义坐标 的平方项表示。 5-11.勒让德变换就是将一组

3、独立 变数变为另一组 独立 变数的变换。 5-12.勒让德变换可表述为：新函数等于 不要的变量 乘以原函数对该变量的偏微商的 和 ，再减去原函数。 5-13.广义能量积分就是 t 为循环坐标时的循环积分。 5-14. 泊松定理可表述为：若?(q,p,t)?c1,?(q,p,t)?c2是正则方程的初积分，则 是正则方程的初积分. ?,?c3 也?p?,H ； q?q?,H 。 5-15.哈密顿正则方程的泊松括号表示为： p5-16.哈密顿原理可表述为：在相同 始终 位置和 等时 变分条件下，保守、完整力系所可能做的真实运动是 主函数 取极值. 5-17.正则变换就是 使正则方程 形式不变的广义坐

4、标的变换。 5-18.正则变换目的就是通过正则变换，使新的H 中有更多的 循环坐标 。 *?5-19. 哈密顿正则方程为：q?H?H? ；p 。 ?p?q?s5-20. 哈密顿正则变换的数学表达式为：H(p,q,t)? ?q1?L?L 。 ?q二、选择题 5-1. 关于广义坐标的理解，下列说法正确的是：A 广义坐标就是一般的坐标； B 广义坐标可以是线量，也可以是角量； C 一个系统的广义坐标数是不确定的； D系统广义坐标的数目一定就是系统的自度数 5-2. 关于自度数目的理解，下列说法正确的是： 【B】 【B】 A系统的自度数目就是系统的独立的一般坐标的数目； B系统的自度数目与系统的广义坐

5、标的独立变更数目一定相同； C 一个系统的自度数目是不确定的，与系统广义坐标的选取有关； D系统的自度数目一定与系统的广义坐标的数目相同。 5-3. 关于分析力学中的概念，找出错误的说法： 【D】 A 拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组成的方程组；B 哈密顿正则方程是2S个一阶常微分方程组成的方程组；C 拉格朗日函数和哈密顿函数的变量不同； D 拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程，不能相互推演。 5-4. 分析力学的特点中，正确的有： 【C】 A 分析力学是对力学体系的分析过程的理论； B分析力学中系统的广义坐标一定与系统的空间坐标有关； C分析力学的研究方法是通过选定系统

6、的广义坐标从而确定系统的运动规律； D 分析力学的研究方法只对力学体系有效 5-5. 关于系统约束的分类，错误的描述有： 【D】 A 系统约束可分为几何约束和运动约束；B 系统约束可分为稳定约束和不稳定约束； 5-6. 分析力学中的循环坐标，下列描述中错误的有： 【D】 C 约束就是对物体运动的位置或速度进行限定；D运动约束就是完整约束。 A 循环坐标是指拉格朗日函数中或哈密顿函数中不显含的广义坐标； B 循环坐标能使拉格朗日方程或哈密顿正则方程求解简单； C 循环坐标可以是线坐标，也可以是其它物理量； D 系统确定，循环坐标数目就一定确定 5-7. 关于广义动量和广义速度，下列说法正确的有：

7、 A广义速度可以是线速度，也可以是其他的物理量； B广义动量就是动量； C 广义动量等于系统的广义速度乘以系统的质量； D 广义动量的增量等于力对时间的冲量。 5-8. 关于虚功指的是 【B】 【A】 A 当质点发生位移时力所作的功； B 质点在约束可能范围内发生虚位移时力所作的功 ； C 虚力在质点发生位移时所作的功； D 虚力和虚位移所作的功。 9. 设A、B两质点的质量分别为mA、mB，它们在某瞬时的速度大小分别为vA、vB，则C (A) 当vA=vB，且mA=mB时，该两质点的动量必定相等； (B) 当vA=vB，而mA?mB时，该两质点的动量也可能相等； (C) 当vA?vB，且mA

8、?mB时，该两质点的动量有可能相等； (D) 当vA?vB，且mA?mB时，该两质点的动量必不相等； 12-2. 设刚体的动量为K，其质心的速度为vC，质量为M，则B (A) K=MvC式只有当刚体作平移时才成立； (B) 刚体作任意运动时，式K=MvC恒成立； (C) K=MvC式表明：刚体作任何运动时，其上各质点动量的合成的最后结果必为一通过质心的合动量，其大小等于刚体质量与质心速度的乘积； (D) 刚体作任何运动时，其上各质点动量合成的最后结果，均不可能为一通过质心的合动量。 10. 如果质点系质心在某轴上的坐标保持不变，则D (A) 作用在质点系上所有外力的矢量和必恒等于零； (B)

9、开始时各质点的初速度均必须为零； (C) 开始时质点系质心的初速度必须为零； (D) 作用在质点系上所有外力在该轴上投影的代数和必恒等于零，但开始时质点系质心的初速度并不一定等于零。 11. 图示三个均质圆盘A、B、C的重量均为P，半径均为R，它们的角速度?的大小、转向都相同。A盘绕其质心转动，B盘绕其边缘上O轴转动，C盘在水平面上向右滚动而无滑动。在图示位置时，A、B、C三个圆盘的动量分别用KA、KB、KC表示，则C(A)KA=KB=KC; (B)KA?KB?KC; A R ? (C)KA?KB=KC; (D)KA=KB?KC; ? B C R R ? 12. 图a所示机构中，O1A?O2B

10、，且O1A=O2B=10cm，曲柄O1A以匀角速度?=?2rad/s绕O1轴朝逆时针向转动，O1、O2位于同一水平线上。图b所示CD杆的C端沿水平面向右滑动，其速度大小vC=20cm/s，D端沿铅直墙滑动。图c所示EF杆在倾角为45?的导槽内滑动，契块以匀速u=20cm/s沿水平面向左移动。设AB、CD、EF三均质杆的重量相等，在图示位置时，它们的动量矢量分别用KAB、KCD、KEF表示，则B F D 45? E B A u ? C 45? vC O1 45? O2 45? (b) (a) (c) (A)KAB=KCD?KEF; (B)KAB= KEF ? KCD; (C)KAB?KCD? K

11、EF; (D)KAB=KCD= KEF. 13. 图示均质杆AB重W，其A端置于水平光滑面上，B端用绳悬挂。取图示坐标系oxy，此时该杆质心C的坐标xC=0。若将绳剪断，则C y B C W A x o (A) 杆倒向地面的过程中，其质心C运动的轨迹为圆弧； (B) 杆倒至地面后，xC0； (C) 杆倒至地面后，xC=0； (D) 杆倒至地面后，xC14. 一圆盘置于光滑水平面上，开始处于静止。当它受图示力偶(F,F)作用后A y F c F o x (A) 其质心C将仍然保持静止； (B) 其质心C将沿图示轴方向作直线运动； (C) 其质心C将沿某一方向作直线运动； (D)其质心C将作曲线运

12、动。 15. 试判断以下四种说法中，哪一个是正确的？B (A) 质点系的动量必大于其中单个质点的动量； (B) 质点系内各质点的动量均为零，则质点系的动量必为零； (C) 质点系内各质点的动量皆不为零，则质点系的动量必不为零； (D) 质点系的动量的大小等于其各个质点的动量的大小之和。 16. 图示三物体在地面附近某一同样的高度分别以不同的质心初速va、vb、vc(vavbvc)抛出，它们的质量均为M。若不计空气阻力，它们的质心加速度分别以aa、ab、ac表示。以下四种说法中，哪一个是正确的？A(A) aa=ab=ac； (B) aa(C) aaabac； (D) aaab(a) (b) (c

13、) va vb vc 17.图示三物体在地面附近某一同样的高度分别以不同的质心初速va、vb、vc(vavbvc)抛出，它们的质量均为M。若不计空气阻力，它们的速度在坐标轴上的投影，有以下四种说法，其中哪些是正确的？AD(a) (b) (c) va vb vc (A) vax=常量，vbx=常量，vcx=常量； (B) vax?常量，vbx=常量，vcx=常量； (C) vay?常量，vby=常量，vcy?常量； (D) vay?常量，vby?常量，vcy?常量。 18.图示均质方块质量为m，A、B两处装有两个大小忽略不计的圆轮，并可在光滑水平面上滑动，开始时方块处于静止状态，若突然撤去B端的

14、滑轮支撑，在刚撤去滑轮B的瞬时，以下几种说法中，哪些是正确的？CEF A C B (A) 在刚撤滑轮B的支撑时，方块的质心加速度ac?AC向下； (B) 只有在刚撤滑轮B的支撑时，方块的质心加速度ac铅直向下； (C) 滑轮B的支撑撤去后，方块质心加速度ac始终铅直向下； (D) 只有在刚撤滑轮B的支撑时，方块质心速度vc铅直向下； (E) 滑轮B的支撑撤去后，方块质心速度vc在x轴上的投影始终为零； (F)滑轮B的支撑撤去后，方块质心的x坐标xc始终保持不变。 19. 图示一均质圆盘以匀角速度?绕其边缘上的O轴转动，已知圆盘的质量为m，半径为R，则它对O轴的动量矩GO大小为A O ? 2(A

15、) GO=3mR?/2 (B) GO=mR2? C 2(C) GO=mR?/2 R (D) GO=mR2?/3 20.图示一均质圆盘的质量为m，半径为R，沿倾角为?的斜面滚动而无滑动。已知轮心O的速度大小为v，则它对斜面上与轮的接触点C的动量矩大小GC为C (A) GC=mRv/2; O (B) GC=mRv; R v (C) GC=3mRv/2; C (D) GC=5mRv/2. ? 21.图示两均质细杆OA与AB铰接于A，在图示位置时，OA杆绕固定轴O转动的角速度为?，AB杆相对于OA杆的角速度亦为?，O、A、B三点位于同一铅直线上。已知OA和AB两杆的质量均为m，它们的长度均为L，则该系

16、统此时对O轴的动量矩大小为GO为A (A) GO=21mL2?/6; O ? (B) GO=11mL2?/4; (C) GO=8mL2?/3; A (D) GO=5mL2?/3. ? B 22.图示z轴通过某物体的质心C，该物体的质量为m，图示z1、z2、z三轴彼此平行，z1与z两轴相距为a，z与z2两轴相距为b，z1与z2两轴相距为d，则转动惯量的平行轴定理可得A z 22(A) Jz1-Jz2=m(a-b); b z2 z1 a (B) Jz2= Jz1+md2; (C) Jz=Jz1+ma2; (D) Jz2= Jz+mb2. C x d y 23.图示一细棒铁质和木质两段构成，两段长度

17、相等，都可视为均质的，其总质量为M。此棒对通过A、B、C的三轴z1、z2、z3的转动惯量分别用Jz1、Jz2、Jz3表示，则B (A) Jz1Jz2Jz3; z3 z2 z1 (B) Jz2 Jz1 Jz3; 铁木 B (C) Jz1=Jz2Jz3; A C (D) Jz1=Jz3+M(L/2)2。 L/2 L/2 24.图示A、B两轮的转动惯量相同。图a中绳的一端挂一重W的物块，图b中绳的一端作用一铅直向下的拉力T，且T=W。A轮的角加速度和它对转轴A的压力大小分别用?A和PA表示，B轮的角加速度和它对转轴B的压力大小分别用?B和PB表示，则A (A) ?AA r B r (a) W (b)

18、 T (B) ?A=?B; (C) ?A?B; (D) PA=PB; 25.图示一绳索跨过均质的定滑轮B，绳的一端悬挂一质量为m1的重物A；另一端悬挂一质量为m3的重物C。滑轮B的质量为m2，半径为R，其角加速度?设为顺时针向。绳索的质量忽略不计，则滑轮B的转动微分方程为C(A) m3 A m1 C B R ? 1m2R2?(m3?m1)gR 21m2R2?(m1?m3)gR 21m2R2?m3(g?R?)R?m1(g?R?)R 21m2R2?m1(g?R?)R?m3(g?R?)R 2(B) (C) (D) 26.图示杆OA的重量为P，它对O轴的转动惯量为J，弹簧的刚性系数为c，当杆位于铅直位

19、置时，弹簧无变形，则OA杆在铅直位置附近作微小摆动时的运动微分方程为B O a b B ? C P A (A) (C) ?ca2?Pb? J? (B) (D) ?ca2?Pb? J?ca2?Pb? ?J?ca2?Pb? ?J?27.图示均质圆盘，其转动惯量为JO，可绕固定轴O转动，轴承的摩擦不计。盘上绕以绳索，绳的两端各挂一重物A和B，它们的重量分别为PA和PB，且PAPB。设绳与圆盘间有足够的摩擦，使绳不在圆盘上打滑。悬挂A、B两重物的绳索的张力分别为TA和TB。以下几种说法中，哪些是正确的？AD AB(A) TATB； (B) TA=TB； (C) TA(D) 若在圆盘上加一适当大小的逆时

20、针转向的力偶，有可能使TA=TB； (E) 若在圆盘上加一适当大小的顺时针转向的力偶，就可能使TA=TB。 28.图示圆轮重为P，半径为R，绕固定轴O转动，若轴承的摩擦不计。图(a)、(d)两轮的质量均匀分布在轮缘上，可视为均质圆环，而图(b)、(c)两轮的质量均匀分布在其轮面内，可视为均质圆盘。图(a)和图(b)中的圆轮受P力作用，图(c)受力偶矩为M=PR/2的力偶作用，图(d)的圆轮上挂一重为P的重物。以下四种说法中，哪些是正确的？B M=PR/2 P P P (d) (b) (c) (a) (A) 图(a)中圆环的角加速度与图(b)中圆盘的角加速度相等； (B) 图(a)中圆环的角加速

21、度与图(c)中圆盘的角加速度相等； (C) 图(a)中圆环的角加速度与图(d)中圆环的角加速度相等； (D) 图(b)中圆盘的角加速度与图(d)中圆环的角加速度相等。 29.图示半径为R的均质圆盘，可沿光滑水平面在铅直面内作平面运动，其受力情况如图所示。若四图中各圆盘质心O的加速度分别以aO(a)、aO(b)、aO(c)和aO(d)表示，其绕质心O的角加速度分别以?(a)、?(b)、?(c)、?(d)表示。以下几种说法中，哪些是正确的？ADE(a)(A) aO(a)= aO(b)= aO(c)； (D) ?(a) ?(b) ?(c)； (b)(c)(d)(C) aO(a)= aO(d)； O

22、P O R/2 P O M=PR P O (B) aO(a) aO(b)aO(c)； (E) ?(a)= ?(d)。 30.图示均质圆盘重P，半径为r，圆心为C，绕偏心轴O以角速度?转动，偏心距OC=e，该圆盘对定轴O的动量矩为BO (A) e C ? P(r?e)2? 2g (B) P2(r?2e2)? 2g(C) P(r2?e2)? 2g (D) P(r2?2e2)? 4g31.图示无重刚杆焊接在z轴上，杆与z轴的夹角?90?，两质量相同的小球A、B焊接在杆的两端，且AO=OB，系统绕z轴以不变的角速度?转动。以下四种说法中，哪个是正确的？B ? (A) 系统对O点的动量矩守恒，对z轴的动

23、量矩不守恒； B (B) 系统对O点的动量矩不守恒，对z轴的动量矩守恒； O (C) 系统对O点和对z轴的动量矩都守恒； A ? (D) 系统对O点和对z轴的动量矩都不守恒。 32.图示均质圆轮重为Q，半径为R，两重物的重分别为P1和P2，平面的摩擦忽略不计。以下所列的求圆轮角加速度的公式中，哪个是正确的？C(A) 1QR2?PR 22g P2 (B) (Q?P1?P2)R2?PR 2g(D) QR2?PR?PR 21P1 R (C) (Q?2P1?2P2)R2?PR 22g g33.图示均质圆轮绕通过其圆心的水平轴转动，轮上绕一细绳，绳的右端挂一重为P的重物，左端有一重量也是P的小孩，图(a

24、)的小孩站在地面上，拉动细绳使重物上升；图(b)的小孩离地在绳上爬动而使重物上升。问以下的几种说法中，哪一个是正确的？B(b) (a) (A) 两种情况，其整个系统对转轴的动量矩都守恒。 (B) 图(a)的整个系统对转轴的动量矩不守恒，而图(b)的整个系统对转轴的动量矩守恒。 (C) 图(a)的整个系统对转轴的动量矩守恒，而图(b)的整个系统对转轴的动量矩不守恒。 (D) 两种情况，其整个系统对转轴的动量矩都不守恒。 rMm 7.半经为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试用虚功原理证明棒的全长为：第题图4?c2?2r2? l?c 解

25、：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心c上，方向竖直向下，即P?mgj 虚功原理得 ?AF?mgj?xi?yj?mg?y?0 图可知y?c?sin? ?l?2?4r2?c2l?4r2?c2?又几何关系知sin? 所以y?c? 2r22r?4r2?c2l?11?y?c?c?4r2?c22r2?2r2?对c求变分得?1?12?2c?c? 4r2?c2?24r2?c2?c?2c?l?c4r?4r2?c2代入虚功原理得mg?24r2?c2?c?2c?l?c?0 4r?22于?c?0 故24r?c?c?2c?l?0 ?4c2?2r2整理得l? c 8.五根长度相同的匀质杆，各重为P用铰连接，与固

26、定边AB成正六边形，设在水平杆的中点施力F以维持平衡，用虚功原理求力F之大小？ ? 解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标 虚功原理得：?AF?2p?y1?2P?y2?P?y3?F?y3?0 aa3acos?,y2?acos?cos?cos?,y3?2acos? 222a3asin?，?y2?2asin? 变分?y1?sin?，?y2?22几何关系知 y1?代入虚功原理 ?a?3a?2P?sin?2P?sin?P?2asin?F?2asin? ?2?2?6Pasin?2Fasin?6P?2F?asin?0于?的任意性，sin?0,?0 所以F?3P 9.等边六角形连杆铅直放置，各

27、杆间用光滑铰链连接，底边固定不动，C、D点用绳拉紧，连杆AB中点受力Q作用，已知平衡时ACD=，试用虚功原理求平衡时Q与绳内张力T之间的关系？ 解：设六边形边长为a，建坐标系如图，取角?为广义坐标 虚功原理得： ?AF?Q?y1?T?xC?T?xD?0 aa?acos?),xD?acos? 22几何关系知 y1?2asin?,xC?(变分?y1?2acos?,?xC?asin?,?xD?asin? 代入虚功原理?Q2acos?Tasin?Tasin?0 (?Qcos?Tsin?)2a?0于的?任意性，?0 所以Q?Ttan? 10.如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆AB组成一正六边

28、形，杆AF中点与杆BC中点有一刚度系数为k的水平弹簧相连，已知各杆长度用弹簧原长均为l，其重量与各铰接处摩擦均不计，若在ED中点作用一铅垂力F，则此机构平衡时角?的大小为多少。 解：以AB杆中点为原点建立坐标系，ox轴沿AB方向，oy轴竖直向上。解除弹簧约束以力T1、T2代替。虚功原理得：?AF?T1?x1?T2?x2?F?YF?0 llll?cos?),x2?cos? 2222ll变分得?yF?2lcos?,x1?sin?,x2?sin? 22几何关系知 yF?2lsin?,x1?(代入虚功原理T1?sin?T2?又T1?T2?k?x?k?2?l?2?l?sin?F?2lcos?0 ?2?l

29、cos?klcos? 2klcos?lsin?2Flcos?0,?klsin?2F?0 于?0 故?arcsin?2F? ?kl?11.图示系统，均质轮C质量为m1，半径为R1，沿水平面作纯滚动，均质轮O的质量为m2，半径为R2，绕轴O作定轴转动。物块B的质量为m3，绳AE段水平。系统初始静止。 求：轮心C的速度?C、物块B的加速度?B；两段绳中的拉力。 解，以整体为研究对象，设物块B的速度为?B，加速度为aB，如图?a则有 ?0?BR，?0?BR，?C?CR?B2R 2112系统的动能为 T?1111222mB?B?J0?0?m1?C?Jc?c2 2222 ?3m1?4m2?8m32? 16

30、理想约束不作力，受力的功率为 P?m3g?B 应用功率方程： dT?P dt3m1?4m2?8m3?aB?B?m3g?B 8得 aB?进而得 8m3g 3m1?4m2?8m3aC?4m3g1 aB?23m1?4m2?8m3再以物块B为研究对象，受力如图，质点的运动微分方程 m3g - FT1 = m3aB 得 FT1?m3g?m3aB?3m1?4m2?m3g 3m1?4m2?8m3绕最后勤部轮O为研究对象，受力如图，刚体定轴的转动微分方程 J0?0?FT1R2?RT2R2 得 FT2?3m1m2g 3m1?4m2?8m312.图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦的滑动。质量为m2的均质圆柱体O沿三棱柱体的斜面AB向下作纯滚动，斜面倾角为?。以x和s为广义坐标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，并求出三棱柱体的加速度。 解：以三棱柱体AB