算法设计与分析考试题及答案.docx

1、算法设计与分析考试题及答案1.一个算法就是一个有穷规则的集合， 其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性: , , , , 。 2.算法的复杂性有 和_ 之_ 分，衡量一个算法好坏的标准是 。_3.某 一 问 题 可 用 动 态 规 划 算 法 求 解 的 显 著 特 征 是4.若序列 X=B,C,A,D,B,C,D ， Y=A,C,B,A,B,D,C,D ，请给出序列 X 和 Y 的一个最长公共子序列 。_5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含 。_6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干 ，_先求解 ，_

2、然后从这些 的_解得 到原问题的解。7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为 。_背包问题的回溯算法所需的计算时间为 用_,动态规划算法所需的计算时间为 。_9. 动态规划算法的两个基本要素是 和_ 。_10.二分搜索算法是利用 实_现的算法。二、综合题 （ 50 分）1.写出设计动态规划算法的主要步骤。2.流水作业调度问题的 johnson 算法的思想。3.若 n=4 ，在机器 M1 和 M2 上加工作业 i 所需的时间分别为 ai 和 bi，且(ai,a2,a3,a4)=(4,5,12,10) , (bi,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求 4 个作 业的最优调度方案，并计算最优

3、值。4.使用回溯法解 0/1 背包问题：n=3 ,C=9 , V=6,10,3 , W二3,4,4, 其解空间有长度为 3 的 0-1 向量组成，要求用一棵完全二叉树表示 其解空间(从根出发，左 1 右 0 )，并画出其解空间树，计算其最优 值及最优解。5.设S= Xi, X2 , Xn是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素 X，返回的 结果有两种情形，(1 )在二叉搜索树的内结点中找到 X=Xi，其概率为bi。(2 )在二叉搜索树的叶结点中确定 X ( Xi, Xi+1 ),其概率为 ai。在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素Xi的结点深度为

4、Ci； 叶结点(Xi, Xi+1 )的结点深度为di，则二叉搜索树T的平均路长p 为多少假设二叉搜索树Tij= Xi, Xi+i Xj最优值为mij,Wij= a i-i +b i+ +b j+a j,则 mij(1二i二jv二n) 递归关系表达式为什么6.描述 0-1 背包问题。三、简答题 ( 30 分)1.流水作业调度中,已知有 n 个作业,机器 M1 和 M2 上加工作业 i 所需的时间分别为ai和bi，请写出流水作业调度问题的johnson法 则中对ai和bi的排序算法。(函数名可写为sort(s,n)2.最 优 二 叉 搜 索 树 问 题 的 动 态 规 划 算 法 ( 设 函 数

5、名binarysearchtree) )答案： 一、填空1确定性 有穷性 可行性 0 个或多个输入 一个或多个输出2.时间复杂性 空间复杂性 时间复杂度高低3.该问题具有最优子结构性质4.BABCD或CABCD或CADCD 5.一个(最优)解6.子问题 子问题 子问题7.回溯法8.o(n*2 n) o(minnc,2 n)9 .最优子结构 重叠子问题10. 动态规划法二、综合题1问题具有最优子结构性质；构造最优值的递归关系表达式；最优值的算法描述；构造最优解；2.令Ni二i|a i=b i;将Ni中作业按ai的非减序排序得到Ni 将N2中作业按bi的非增序排序得到N2Ni 中作业接 N 2中作

6、业就构成了满足 Johnson 法则的最优调度。3 .步骤为： Ni=i ， 3， N2=2 ， 4；Ni=i， 3， N2=4， 2；最优值为： 384.解空间为(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)解空间树为:n5.二叉树T的平均路长P=i 1mij=Wij+mi nmik+mk+1j (1=i=jj)6.已知一个背包的容量为C,有n件物品，物品i的重量为Wi,价值 为Vi，求应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总 价值最大。三、简答题void sort(flowjope s,i nt n)

7、int i,k,j,l;for(i=1;in) break;ag=0)if(sk.asj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;sj.b) k=j;swap(si.index,sk.index); ag,sk.tag); 2.*s,intvoid binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *w)int i,j,k,t,l;for(i=1;i=n+1;i+) wii-1=ai-1;mii-1=0; for(l=0;l=n-1;l+)Init-single-source(

8、G,s)2.S=3.Q=VGQ do u=mi n(Q)S=S U ufor each vertex 3do 4 四、 算法理解题（本题10分）根据优先队列式分支限界法，求下图中从v1点到v9点的单源最短 路径，请画出求得最优解的解空间树。要求中间被舍弃的结点用X 标记，获得中间解的结点用单圆圈O框起，最优解用双圆圈框起。五、 算法理解题（本题5分）设有n=2 k个运动员要进行循环赛，现设计一个满足以下要求的比 赛日程表：1每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次；2每个选手一天至多只能赛一次；3循环赛要在最短时间内完成。（1） 如果n=2 k，循环赛最少需要进行几天；（2） 当n=2 3=8

9、时，请画出循环赛日程表。六、 算法设计题（本题15分）分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计0-1背包问题。要求: 说明所使用的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间。七、 算法设计题（本题10分）通过键盘输入一个高精度的正整数 n（n的有效位数w 240），去掉 其中任意s个数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整 数。编程对给定的n和s,寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。【样例输入】178543S=4【样例输出】13答案：一、填空题(本题 15 分，每小题 1 分)1规则 一系列运算2.随机存取机 RAM(Random Access Machine) ；随机存取

10、存储程序机 RASP(Random Access Stored Program Machine) ；图灵机 (Turing Machine)3.算法效率4.时间 、空间、时间复杂度、 空间复杂度52n 6 最好 局部最优选择7. 贪心选择 最优子结构 二、简答题(本题 25 分，每小题 5 分)1 、 分治法的基本思想 是将一个规模为 n 的问题分解为 k 个规模较小的子问 题，这些子问题互相独立且与原问题相同；对这 k 个子问题分别求解。如 果子问题的规模仍然不够小，则再划分为 k 个子问题，如此递归的进行下 去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题 的解合并为一个更

11、大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。2 、 “最优化原理 ”用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题， 需要依次作出n个决策D1 , D2，Dn,如若这个决策序列是最优的， 对于任何一个整数 k， 1 k n ，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最 优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策 Dk+1 ，Dk+2 ， Dn 也是最优的。3、 某个问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为 最优子结构 性质。4、 回溯法的基本思想 是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深 度优先搜索，解为叶子结点。搜索过程中，每到达一个结点时，则判断该 结点为根的子树

12、是否含有问题的解，如果可以确定该子树中不含有问题的 解，则放弃对该子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜 索过程。在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜索，而 是在搜索过程，逐步构造出状态空间树，即边搜索，边构造。5、 P(Polynomial 问题)：也即是多项式复杂程度的问题。NP 就是 Non-deterministic Polynomial 的问题，也即是多项式复杂程度 的非确定性问题。NPC(NP Complete) 问题，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了 之后才能得出答案， 这样的问题是 NP 里面最难的问题， 这种问题就是 NPC 问题。三、算法填

13、空(本题 20 分，每小题 5 分)1 、 n 后问题回溯算法(1)!Mj&!Li+j&!Ri-j+N(2)Mj=Li+j=Ri-j+N=1;(3)try(i+1,M,L,R,A)(4)Aij=0(5)Mj=Li+j=Ri-j+N=02、数塔问题。( 1 )c=r trc+=tr+1c(3)trc+=tr+1c+13、 Hanoi 算法(1)move(a,c)(2)Hanoi(n-1, a, c , b)(3)Move(a,c)4、 (1) pv=NIL(2)pv=u(3)v adju(4)Relax(u,v,w)12 3 4 5 6 7821 4 3 6 5 87四、算法理解题(本题10分)

14、五、 (1) 8天(2分)；(2)当n=2 3=8时，循环赛日程表(3分)六、 算法设计题(本题15分) (1 )贪心算法 0 (nlog (n)可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。 若将这种物品全部装入背包可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止具体算法可描述如下：void Kn apsack(i nt n,float M,float v,float w,float x)Sort( n,v,w);int i;for (i=1;i=n ;i+) xi=0; float c=M;for (i=1;ic) break;xi=1;c-=wi;if (i=n) xi=c/wi;(

15、2)动态规划法 0( nc)m(i , j)是背包容量为j,可选择物品为i, i+1 ,，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i , j)的递归式如下。m(i, j)maxm(i 1, j),m(i 1, j wj v j w：m(i 1, j) 0 j Wim(n, j)Vn j wn0 0 j wnvoid Kn apSack(i nt v,i nt w,i nt c,i nt n,i nt m11)/*m(n,j)=0 0=j=wn*/mij=mi+1j;for (j=wi;j=wn*/mij=max(mi+1j,mi+1j-wi+vi);m1c

16、=m2c;if(c=w1)m1c=max(m1c,m2c-w1+v1);(3)回溯法O(2n)cw: 当前重量cp: 当前价值 bestp ：当前最优值void backtrack(int i)/ 回溯法 i 初值 1 if(i n) / 到达叶结点int jMax=min(wn-1,c);for (j=0;j=jMax;j+) mnj=0;for (j=wn;j1;i-) int jMax=min(wi-1,c);if(cw + wi bestp)/ 搜索右子树backtrack(i+1);七、算法设计题(本题 10 分)为了尽可能地逼近目标，我们选取的贪心策略为： 每一步总是选择一个使剩 下的数最小的数字删去， 即按高位到低位的顺序搜索， 若各位数字递增， 则删除 最后一个数字， 否则删除第一个递减区间的首字符。 然后回到串首， 按上述规则 再删除下一个数字。重复以上过程 s 次，剩下的数字串便是问题的解了。具体算法如下：输入s, n;while ( s 0 ) i=1; / 从串首开始找while (i length(n) & (ni1)& (n1= 0 )delete(n,1,1); / 删去串首可能产生的无用零 输出n;